Bài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến sốBài tập trong Giải tích một biến số
Trang 1Toán I-Phần bài tập-Tuần 1 Nguyễn Đức Hậu
1
Bài tập trong Giải tích một biến số (Trường ĐHTL)
1-19 (tr.87-88)
18-62 (tr.90-92)
25 (tr.251)
33-43 (tr.278)
Trang 2Toỏn I-Phần bài tập-Tuần 1 Nguyễn Đức Hậu
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Đ2 Hàm số một biến số Bài 1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị của tất cả cỏc hàm số sơ cấp cơ bản:
α
x
y = ; y = ax; y = loga x; y = sin x; y = cos x; y=tanx;
cot
y= x; y = arcsin x; y = arccos x; y=arctanx; y=arccotx
Bài 2 Tỡm miền xỏc định của cỏc hàm số sau:
2
1
x x
x
y
−
−
= ; 2.y = lg [ 1 − lg ( x2 − 5 x ) ] ; 3.y = arcsin ( 1 − x ) ( ) + lg lg x
Bài 3 Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
1.
2 arccos
x
2
x+ x=π
1
x y
xy
±
∓
(xy<1); 4.
2
arctan arcsin
1
x x
x
=
+
Bài 4 Tỡm miền giỏ trị của cỏc hàm số sau:
1.
9
2
2 +
=
x
y ; 2.y = 2 x − 1 − x2 ; 3.y = sin x − 5 cos x
Bài 5 Tìm miền xác định và giá trị của hàm số
2
2
1 ln 1
x y
x
+
=
− và tính y x ( )0
với x thoả mãn điều kiện 0 0
0
1 5
x x
Bài 6 Cho hàm số
2
1 ) (
x
x x
f
+
= Hóy tỡm: 1. f [ f (x ) ]; 2. fn( x ) = f [ f ( ( f ( x ) ) ) ]
Bài 7 Giả sử f ( x + T ) = − f ( x ) với mọi giỏ trị x thuộc tập xỏc định của hàm số f
Chứng minh rằng f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỡ là 2T
Đ3 Giới hạn của dóy số thực Bài 1 Chứng minh cỏc đẳng thức sau đõy:
2
lim =
+∞
n
n
+∞
→
n
!
2 lim =
+∞
n
!
lim =
+∞
an
+∞
k
n
(a>1);
+∞
→
n
+∞
→
n
n nq , q < 1; 8. lim log = 0
+∞
nk a
Bài 2 Tỡm cỏc giới hạn:
1.
1
2
lim 2
+
+∞
n
( ) (4 )4
4 4
1 1
1 1
lim
− + +
−
− +
+∞
n n
n n
3 2 lim
1 1 +
+ + + +∞
1
! sin lim 2
+
+∞
n n
+∞
+ + + +
+∞
n
n
2
2
3 2
2 2
1 lim 2 3 ; 7.lim sin ( 2 + 1 )
+∞
+∞
→
2 2
sin
+ +
+ +
+ +
+∞
→
n n n
n
1
2
1 1
1
+
=
+
n n n
x x
2
1
+∞
Trang 3Toỏn I-Phần bài tập-Tuần 1 Nguyễn Đức Hậu
3
Bài 4 Cho dóy { }x n được xỏc định như sau: x1 = a; x2 = b;
2
2
1 ư
ư +
= n n n
x x
n
+∞
→
lim
Bài 5 Cho dãy số { }x n với x0 =a; x n+1= +1 bx n
Tìm các số thực a; b để dãy số { }x n hội tụ Tính giới hạn trong các trường hợp đó
Bài 6 Tính giới hạn lim sin( !.2 )
→+∞
Bài 7 Cho dãy số { }x n với x1 =b; 2 2
x+ = x + ư a x +a Tìm các số thực a; b để dãy số { }x n hội tụ Tính giới hạn trong các trường hợp đó
Bài 8 Cho dãy số { }a n với a1 =1; a k =k a( kư1 +1); k≥2
Tính giới hạn
lim 1 1 1
n
n
→+∞
Đ4 Giới hạn của hàm số thực Bài 1 Tớnh cỏc giới hạn sau đõy:
1.
x x
x x x
x
2 7 1
2 2
ư +
ư +
+
x x x
x x
+ +
+∞
2
1
2
5 2 9 lim 3
ư +
x
xlim 3 3 + 3 2 ư 2 ư 2
+∞
0
lim
x
→
nx
x sin
sin lim
π
→
*
, n N
7.
x x
x x
1 2 cos 2
sin
lim
ư
ư
→π
0
2 cos cos
1 lim
x
x x
x
ư
3
3
lim cos
6
x
x
→
ư
+
( 2)
0 ln 1
cos ln lim
x
x
x x x sin 3
1
0 cos
lim +
lim
tan 2
x
x
→
sin 2
x
x
π
→
;
0
lim
x
x
→
ư
3
1 sin 0
1 tan lim
1 sin
x x
x x
→
+
; 16.xlim (sin x + 1 ư sin x )
+∞
1 2
01
lim +
x x x
1 sin lim
2
0
x
ex x
+
∞
→
1 ln lim ; 20.
c x
a
∞
+
+
lim ; 21. ( x)x
1 2 0
lim +
Bài 2 Tớnh cỏc giới hạn sau đõy:
( )β
α
π
π
x
x
x sin
sin
lim
1
( cos( ) )
ln
) cos(
ln lim
ax
2
2
1 lim 2
2 x
x
ư
+
∞
ln
1 ln
lim 10
2 + +
+
ư
+∞
x x
2 2
0
1 ln
1 ln
lim
x x
x n nx
ư +
2 2
0
cos lim
2
x
x
ex x
ư
a x
x
ax a a
ư
→
lim ;a > 0;a ≠ 1;
xlim + 2 ln + 2 ư 2 + 1 ln + 1 + ln
+∞
a x
a
xx a a
ư
→
lim ;a > 0; 10.
2
1 2
2 lim
x
x
+
+
∞
Trang 4Toán I-Phần bài tập-Tuần 1 Nguyễn Đức Hậu
4
0
1 sin 0
1 tan lim
1 sin
x x
x x
→
+
+
x
+
∞
→
1 cos
1 sin
n
x n
nlim cos
+∞
15.
x x
x
x
1
1
0
2
1 2
lim
+ +
−
Bài 3 Tính các giới hạn sau đây:
1.
1
1
lim
−
q p
x
x
x
; p q r s, , , ∈N; 2.
x
x a x
n
x
−
− +
→ 0
x
x a x
a x
) sin(
) sin(
lim
0
−
− +
4.
x
x tgx
x 0 sin3
sin
lim −
2 sin
cos sin
2 1 lim
x x
x
− +
x
x
→ 1 cosα ; α
4
1 1
+∞
1
2
x
x
2 3
2 2
2 2 lim
+
∞
−
+ x
x
1 3
0 1 2
x
x cos
1
2
)
(sin
lim
π
→
; 12
x
1 2
2
+
+
∞
Bài 4 Tính các giới hạn sau đây:
0
lim
tan
x
x
x
→
−
x
x x
2 cos cos
lim
0 −
−
3 2 0
lim
x
x x
→
) (
5 sin 3 sin lim
x x
x x
5.
x
x
a
+
+∞
2
2
2 0
lim
x
→
−
+∞
0
ln(cos )
lim
x
x
x
x
x x
x
π
→+∞
−
+
+
−
+∞
arcsin 2
lim
2
x
x x
x
π
0
1 lim
x
chx x
−
12.
) sin(
) sin(
lim
e
e x x
β α
−
−
x
ex x
) 2 ln(
∞
2
1 2
2 lim
2 x
x
+
+
∞
x (sin x)
lim
0 +
x x −
→
1 1
1
lim ;
17.
tgx
sin
1
0
lim −
→
x
x
xlim sin ln( + 1 ) − sin ln
+∞
x x x
+∞
n
nlim sin sin sin x
+∞
+∞
Bài 5 Tính các giới hạn một phía:
1
1
2
lim −
→ ±
x
x
; 2.
x x
e
1 0
1
1 lim
+
±
3
1 3
2
1 lim
−
→
+
±
x x
x
2 lim
2 ± +
→π
; 5.
x
x x
) sin(
lim
2
π
π ±
→
6. lim f ( x )
x→ π ± nếu f(x)=1+cosx khi x > π; f(x)=2 khi x = π; f(x)=1-x2 khi x < π
§5 Hàm số liên tục
Xét tính liên tục và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau đây:
1.
x
x x
f ( ) = sin nếux ≠ 0; f(x) = 1 nếu x=0; 2.
x
x x
f ( ) = sin nếu x ≠ 0; f(x)=1 nếu x=0
3.f(x)=2ex nếu x<0; f(x)=a+2x nếu x ≥ 0; 4.f(x)=2x+a nếu x∈[ ]0,1 ; f(x)= ax2+2 nếu x∈[ ]1, 2
Trang 5Toỏn I-Phần bài tập-Tuần 1 Nguyễn Đức Hậu
5
)
(
x
x x
nếu x ≠ 0; f(0)=A trong đú A là một hằng số nào đú
6.f(x)=x2 nếu x∈[ ]0,1 ; f(x)=2-x nếu x∈(1, 2]
7.
2 cos
)
nếu x ≤ 1; f ( x ) = x − 1 nếu x > 1
x x
n n x
− +∞
−
= lim
)
x f
+
=
+∞
1 lim ) ( ; x∈ +∞[0, )
10.f[g(x)] và g[f(x)] biết: a f(x)=sgnx; g(x)=1+x2; b f(x)=sgnx và g(x)=x(1-x2); 11.f(x)=1/lg|x|
ễn tập chương I Bài 1 Xột ỏnh xạ từ R vào R như sau:
1 2
1 2
+
−
=
x
x y
2
1
−
≠
2
1 =
−
Chứng minh ánh xạ đã cho là song ỏnh và tỡm ỏnh xạ ngược của nó
Bài 2 Cho ỏnh xạ x ֏ y = x + 1 − 2 x với x ≥ 0
a) Chứng minh rằng nú khụng là đơn ỏnh
b) Xỏc định hai khoảng mà trong mỗi khoảng ấy nú là đơn ỏnh Tỡm ỏnh xạ ngược trong mỗi
trường hợp ấy
Bài 3 Xột tớnh chẵn lẻ của cỏc hàm số sau:
1.y = x3 x − cos x; 2 y = x + 2 − x − 2; 3.y = lg(sin x ); 4.y=lg(sin2x); 5.
1
1
+
−
= x x
a
a
x
y
4
1
16 −
= ; 7.y = 1 + x + x2 − 1 − x + x2 ; 8.
3
3 lg
−
+ +
=
x
x x
Bài 4 Xột sự tuần hoàn và tỡm chu kỡ (nếu cú) của cỏc hàm số sau:
1.y=tan x; 2 y=cos2x; 3.y = sin x + cos x;
Bài 5 Tớnh giới hạn của dóy số:
+∞
n
n
2
1 2
2
5 2
3
2
1
1
2 ) 1 2 (
4 3 2 1 lim
2 +
−
− + +
− +
−
+∞
n n
2 2
2
2
) 2 (
6 4
2
) 1 2 (
5 3
1
lim
n
n
− + + + +
+∞
1 9
3 2 1 lim
4 +
+ + + +
+∞
n
+∞
1
3 2 1 lim
n
n n
n n
−
−
−
+∞
1 1
3
1 1 2
1
1
lim
n
x x
x x n
2 4
2
1
1 1
1
+∞
Bài 6 Tớnh cỏc giới hạn sau đõy:
x
x x
x
x
1 3 1 2 1
1
lim
0
− + +
+
) 1 ( 5 1
lim
5
2
x
0
lim
tan
x
x x x
→
+
;
0
sin 3 tan 5
lim
x
x x
) 2 3 1
ln(
3 2
x x x
+
− +
0
(1 cos ) arctan
lim
tan
x
→
−
4
3 2
0
2 1 1
lim
x x
x x
−
− +
→
n
→+∞
Bài 7 Xỏc định f(0) để cỏc hàm số sau liờn tục tại x=0
1.
x x
x
f ( ) = cos 1; 2.
x
e e x f
bx
ax −
=
)
x
x x
x
f ( ) = ln( 1 + ) − ln( 1 − )