Phương trình và nội dung dạy học về phương trình trong chương trình toán 8 (2018)

Trong chương này khóa luận trình bày một số định nghĩa phương trình.Nội dung phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trìnhchứa ẩn ở mẫu, giải bài toán bằng cách lập phươn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ YẾN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC VỀ

PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến ThS Dương Thị Luyến - người trực tiếp tận tình hướng dẫn,chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình em làm bài khóa luậncủa mình Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

tổ Đại số và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thànhtốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinhviên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2018

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Yến

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng

em dưới sự hướng dẫn của cô ThS Dương Thị Luyến Trong khinghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tàiliệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương trình và nội dungdạy học về phương trình trong chương trình toán 8” là kết quảcủa việc nghiên cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặp vớikết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2018

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Yến

Mục lục

1.1 Định nghĩa 6

1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn 10

1.3 Phương trình tích 11

1.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 11

1.5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 12

2 Các dạng bài tập về phương trình trong chương trình toán 8 16 2.1 Các dạng bài tập có cách giải tổng quát 16

2.2 Một số bài toán khác 31

3 Hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm 35

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán lớp 8, phương trình được dạy học ở chương

3 gồm 16 tiết chiếm 11.5 phần trăm chương trình toán 8 Nhìn thấy tầmquan trọng của vấn đề này cùng với mong muốn tìm hiểu sâu về lĩnh vựcnày dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán học và trong phạm vi củamột khóa luận tốt nghiệp, cùng sự giúp đỡ tận tình của cô giáo - ThS.Dương Thị Luyến em đã thực hiện đề tài “Phương trình và nội dungdạy học về phương trình trong chương trình toán 8”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, đồng thời muốn

đi sâu tìm tòi nghiên cứu, phân tích nội dung chương trình dạy học vềphương trình ở lớp 8 để qua đó có sự lựa chọn phương pháp cách thứcdạy học phù hợp nội dung phương trình ở lớp 8

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về nội dung phương trình trong chương trình toán 8

4 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Phương trình

Trong chương này khóa luận trình bày một số định nghĩa phương trình.Nội dung phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trìnhchứa ẩn ở mẫu, giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8

Chương 2: Các dạng bài tập phương trình toán 8

Trong chương này đưa ra phân loại các dạng bài tập về phương trình có

cách giải tổng quát và một số bài toán hay về phương trình ở lớp 8.Chương 3: Hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm.

Chương này đưa ra một hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm về phươngtrình ở lớp 8 để đánh giá năng lực học sinh

có cái nhìn tổng quát và sâu hơn về nội dung bài học.

Định nghĩa 1.1 (Đại sơ cấp, Hoàng Kỳ, trang 92) Cho hai hàm số của

n biến phức x1, x2, , xn là f (x1, x2, , xn) và g(x1, x2, , xn)

Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1, x2, , xn) ∈ Cn là một điểm trongkhông gian phức n chiều Cn Khi đó các hàm số và được xem là các hàmmột biến f (x), g(x) trong Cn Giả sử f (x) có miền xác định là D1 ⊂ Cn,g(x) có miền xác định là D2 ⊂ Cn

Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) (1) là ký hiệu của hàm mệnh

đề “giá trị của hai hàm số f (x) và g(x) là bằng nhau”

Ta gọi x là ẩn của phương trình (1) Nếu coi f và g là hàm của nbiến x1, x2, , xn trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn

x1, x2, , xn Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số đượcgọi là miền xác định của phương trình (1), đó là tập S = D1 ∩ D2.Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f (a) = g(a) là một đẳng thức đúng thì ađược gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thoả mãn phươngtrình (1) hoặc phương trình (1) được thoả mãn với a

Đối với một phương trình có thể xảy ra một trong ba trường hợp sauđây:

a) Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này không có giá trị anào của S sao cho f (a) và g(a) bằng nhau, tức là f (a) = g(a) là mộtmệnh đề sai với mọi a ∈ S Nói khác đi tập nghiệm M của phương trình(1) là tập rỗng : M = ∅

b) Bất kỳ giá trị a nào của x (a ∈ S) cũng thoả mãn phương trình, tức

là M = S Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S.c) Có ít nhất một giá trị nhưng không phải là mọi giá trị a ∈ S thoảmãn phương trình

Trong hai trường hợp b và c ta nói rằng phương trình có nghiệm

Giải một phương trình là tìm một tập hợp nghiệm M của nó Nếu Mđược biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là côngthức nghiệm tổng quát của phương trình M có thể là một tập hữu hạnhay vô hạn

Đây là định nghĩa tổng quát chính xác và đầy đủ về phương trình tuynhiên với nội dung chương trình lớp 8 học sinh chưa được tìm hiểu vềánh xạ, hàm mệnh đề, không gian phức thì định nghĩa này là không phù

hợp, quá khó và ngoài khả năng để các em học sinh lớp 8 có thể tiếpthu Chương trình đại số lớp 8 chỉ dừng ở việc nghiên cứu về phươngtrình bậc nhất một ẩn nên việc xét tập xác định là chưa cần thiết phảiđặt ra (đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu cũng chỉ cần đặt điều kiện

ở ẩn để mẫu khác không) Vì vậy Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, PhanĐức Chính tổng chủ biên, trang 5 có trình bày:

Định nghĩa 1.2 Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong

đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

Theo định nghĩa này khái niệm phương trình rất hẹp, chỉ nói về cácphương trình như x − 2 = 2(x − 4), Còn với dạng phương trình như:

x = 2 đối với định nghĩa này sẽ không thoả mãn

Chính vì vậy sách giáo khoa toán 8, Phan Đức Chính tổng chủ biên đãnêu chú ý

“Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình.Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó”

Tuy nhiên yêu cầu về nội dung phần này chỉ là học sinh hiểu được kháiniệm phương trình và các thuật ngữ vế trái, vế phải bước đầu làm quenvới nó Vì thế tổng thể định nghĩa phương trình một ẩn trên là rõ ràng

dễ hiểu phù hợp với nội dung chương trình lớp 8 yêu cầu

Trên thực tế học sinh lớp 8 đã được tiếp xúc rất nhiều với phương trình

từ bậc tiểu học thông qua các dạng toán như điền số vào chỗ trống haytìm x là các dạng bài toán thường gặp ở bậc tiểu học Ví dụ như: tìm x:

x + 5 = 10 Như vậy học sinh đã được làm quen về phương trình ngay

từ bậc tiểu học tuy nhiên đến chương trình lớp 8 mới đưa định nghĩaphương trình để dạy cho học sinh

Đến chương trình lớp 10 các em học sinh lại được học một định nghĩa

về phương trình hoàn thiện hơn so với định nghĩa các em được học ởchương trình lớp 8

Sách giáo khoa Đại số 10 - Nâng cao, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên trang

66 trình bày như sau:

Định nghĩa 1.3 Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác địnhlần lượt là Df và Dg Đặt D = Df∩ Dg Mệnh đề chứa biến f (x) = g(x)được gọi là phương trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và Dgọi là tập xác định của phương trình Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm củaphương trình f (x) = g(x) nếu f (x0) = g(x0) là mệnh đề đúng

Đến chương trình lớp 10 học sinh đã được học về mệnh đề, mệnh đềchứa biến vì vậy các em học sinh được học về khái niệm phương trìnhtheo hàm mệnh đề Định nghĩa phương trình như trên áp dụng vào mọitrường hợp cụ thể Cả phương trình mà ta phải tìm nghiệm lẫn phươngtrình biểu thị những đại lượng vật lý như: s = vt, cũng như phươngtrình biểu diễn đường: y = 3x2 đều có thể hiểu theo nghĩa đó

Trong nội dung dạy học định nghĩa cần lưu ý đến chú ý về số nghiệm củamột phương trình như sau: “Một phương trình có thể có một nghiệm,hai nghiệm, ba nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc

có vô số nghiệm Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phươngtrình vô nghiệm.”

Tập nghiệm của phương trình được định nghĩa như sau: “Tập hợp tất cảcác nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phươngtrình đó và thường được ký hiệu bởi S” Thông qua đó đưa đến học sinhhiểu thế nào là giải phương trình: “Giải phương trình là tìm tất cả các

nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó”.

Thông qua tập nghiệm của một phương trình hai phương trình tươngđương được định nghĩa như sau: “Hai phương trình có cùng tập nghiệm

là hai phương trình tương đương”

1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.7] trình bày:

Định nghĩa 1.4 Phương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đãcho và a 6= 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Như vậy chương trình lớp 8 đã giới thiệu đến học sinh một cách rõràng chính thức định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn mặc dù ở lớpdưới các em đã được làm quen khá nhiều về phương trình này nhưngchưa được giới thiệu một cách chính thống Định nghĩa này giúp các emphân biệt rõ phương trình bậc nhất một ẩn với phương trình có dạng

ax + b = 0 Tuy nhiên điều quan trọng trong mục tiêu chương trình yêucầu chính là học sinh nắm được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân và vậndụng thành thạo chúng để giải các phương trình bậc nhất Để làm đượcđiều này sách giáo khoa toán 8, đã trình bày 2 quy tắc biến đổi phươngtrình như sau:

“Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang

vế kia và đổi dấu hạng tử đó”; “Trong một phương trình ta có thể nhân

cả hai vế với cùng một số khác không”; “Trong một phương trình ta cóthể chia cả hai vế cho cùng một số khác không”

Từ 2 quy tắc trên học sinh áp dụng để chuyển phương trình ban đầu về

phương trình mới tương đương với phương trình đã cho để giải phươngtrình.

1.3 Phương trình tích

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.15] trình bày:

“Ví dụ 1: Giải phương trình (2x − 3)(x + 1) = 0

Phương trình như trong ví dụ 1 được gọi là phương trình tích”

Như vậy phương trình tích không được định nghĩa cụ thể mà chỉ đượcđưa ra thông qua ví dụ cụ thể Trong phần này mục tiêu dạy học trọngtâm vẫn là học sinh nắm được phương pháp giải một phương trình tíchnhư thế nào Để giải phương trình tích yêu cầu học sinh phải biết đượcmệnh đề “Trong một tích nếu có một thừa số bằng không thì tích đóbằng không và ngược lại nếu tích bằng không thì ít nhất một trong cácthừa số của tích bằng không”

Tính chất này được sử dụng từ tính chất của một miền nguyên: a.b = 0suy ra a = 0 hoặc b = 0 Các vành số Z, Q, R, C đều là miền nguyên

1.4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là dạng phương trình mà ở mẫu thức cóchứa ẩn Đây là dạng phương trình yêu cầu học sinh phải tìm điều kiệnxác định của phương trình ở bước đầu tiên khi giải phương trình để loại

đi các nghiệm mà tại đó ít nhất một mẫu thức trong phương trình nhậngiá trị bằng 0

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.19-20] trình bày:

“Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhấtmột mẫu thức trong phương trình nhận giá trị bằng 0 chắc chắn khôngthể là nghiệm của phương trình Để ghi nhớ điều đó người ta thường đặtđiều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 và gọi

đó là điều kiện xác định của phương trình” Đây cũng chính là cách tìmđiều kiện xác định của phương trình Như vậy mục tiêu học sinh nắmvững khái niệm điều kiện xác định của một phương trình, cách tìm điềukiện xác định của phương trình đã được cụ thể hoá

Mục tiêu nội dung chương trình toán 8 phần phương trình chứa ẩn ởmẫu còn có một mục tiêu trọng tâm đó là học sinh nắm được cách giảicác phương trình chứa ẩn ở mẫu, cách trình bày bài hợp lí, đặc biệt làbước tìm điều kiện xác định của phương trình và bước đối chiếu với điềukiện xác định của phương trình để nhận nghiệm Vì vậy Sách giáo khoađại số 8 tập 2,[[2], tr.21] trình bày:

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: (Kết luận)Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giátrị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình

đã cho

1.5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Sách giáo khoa đại số 8 tập 2, [[2], tr.25] có trình bày các bước giải bàitoán bằng cách lập phương trình như sau:

“Bước 1:Lập phương trình

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình nghiệmnào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn rồi kết luận”.Như vậy mục tiêu của phần này chính là học sinh nắm được các bướcgiải bài toán bằng cách lập phương trình Chương trình lớp 8 chú trọngcho học sinh cách giải các bài toán bằng cách lập phương trình thôngqua đó để các em áp dụng vào các bài toàn thực tế

Đặc trưng của loại toán này có đề bài bằng lời văn và thường được xentrộn nhiều dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học,ngôn ngữ vật lý, ) Hầu hết các bài toán có dữ liệu ràng buộc nhau ẩn

ý dưới dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được

sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập phương trình mà thựcchất vấn đề ở đây là giải phương trình Một đặc thù riêng của loại toánnày là các bài toán đều được gắn với nội dung thực tế Chính vì vậy việcchọn ẩn thường là những số liệu liên quan thực tế Do đó khi giải toánhọc sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế dẫn đến quên điều kiện,điều kiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên

hệ ràng buộc của thực tế Vì vậy học sinh rất sợ và ngại làm loại toánnày Chính vì vậy muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình thìquan trọng là phải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài

thành những mối quan hệ toán học.

Như vậy, nội dung dạy học về phương trình trong chương trình toán 8

đã trình bày các nội dung sau đây để giảng dạy cho học sinh:

+ Định nghĩa phương trình một ẩn, tập nghiệm của một phương trình,thế nào là giải phương trình, hai phương trình tương đương

+ Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn, hai quy tắc biến đổi phươngtrình, cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, cách giải phương trìnhđưa được về dạng ax + b = 0

+ Phương trình tích và cách giải

+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện xác định của một phươngtrình, cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các nội dung về phương trình được đưa vào giảng dạy một cách mạchlạc, logic, dễ hiểu:

+ Mở đầu học sinh được giới thiệu về định nghĩa phương trình một ẩn

và các vấn đề liên quan như giải phương trình và phương trình tươngđương để từ đó có cái nhìn tổng quát về phương trình Sau đó học sinhđược học cụ thể các dạng phương trình là phương trình bậc nhất một

ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa

ẩn ở mẫu và cuối cùng học sinh được học về ứng dụng thực tiễn củaphương trình thông qua nội dung giải bài toàn bằng cách lập phươngtrình

+ Dẫn dắt học sinh từ tập nghiệm của phương trình sang thế nào là giảiphương trình, thế nào là hai phương trình tương đương

+ Dẫn dắt học sinh từ hai quy tắc biến đổi phương trình đến ứng dụng

của nó để đưa một phương trình về phương trình bậc nhất một ẩn.+ Dẫn dắt học sinh từ tính chất của 1 miền nguyên: a.b = 0 suy ra a = 0hoặc b = 0 sang cách giải phương trình tích.

+ Dẫn dắt học sinh từ điều kiện xác định của phương trình sang việcloại nghiệm trong giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chương 2

Các dạng bài tập về phương trình trong chương trình toán 8

2.1 Các dạng bài tập có cách giải tổng quát

Dạng 1 Chứng minh một số là nghiệm của phương trình

Phương pháp giải Dùng mệnh đề sau:

• x0 là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ⇔ A(x0) = B(x0)

• x0 là không nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ⇔ A(x0) 6=B(x0)

Ví dụ 2.1.1 Xét xem x0 = −2 có là nghiệm của phương trình saukhông?

3.(2 − x) + 2 = 4 − 5x

Giải: Thay x0 = −2 vào phương trình 3.(2 − x) + 2 = 4 − 5x ta có:

3.(2 − (−2)) + 2 = 4 − 5.(−2)

⇔ 3.4 + 2 = 4 + 10 ⇔ 14 = 14

Vậy x0 = −2 là nghiệm của phương trình trên.

Phương pháp giải Dùng mệnh đề sau:

• Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm khi và chỉ khi A(x) 6=B(x) ∀x

• Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm khi và chỉ khi A(x) =B(x) ∀x

Ví dụ 2.1.2 Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm:

i) Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.

ii) Sử dụng các phép biến đổi tương đương biến đổi phương trình nàythành phương trình kia

Ví dụ 2.1.3 Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?

3x − 3 = 0 và x − 1 = 0

Giải: Ta có: 3x − 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1

Tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Phương trình x − 1 = 0 ⇔ x = 1

Tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Vậy hai phương trình 3x − 3 = 0 và x − 1 = 0 là hai phương trình tươngđương

Các bài tập tương tự

Bài 1 Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?

Phương pháp giải Để đưa 1 phương trình về 1 phương trình bậc nhất

ta cần sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình để chuyển các hạng tửchứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2(x + 2) = 2(x − 4) + 10

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

0; −52

.Các bài tập tương tự

Bài 1 Giải phương trình: