Hàm số và nội dung dạy học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11 (2018)

phương pháp làm, cho ví dụ minh họa và bài tập áp dụng; và đưa ramột số ứng dụng của lượng giác trong đại số.Chương 3 "Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm" do hình thứcbài thi đánh giá

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành Đại số

Hà Nội – Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành Đại số

Người hướng dẫn khoa học

ThS DƯƠNG THỊ LUYẾN

Hà Nội – Năm 2018

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tậntình của các thầy cô, em đã học hỏi và tiếp thu được nhiều tri thứckhoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làmquen với công việc nghiên cứu khoa học.

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán, cácthầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, dìu dắt chúng emtrưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Thạc sỹDương Thị Luyến, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng gópnhiều ý kiến quý báu cho em trong thời gian thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thâncòn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em rất mongnhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên đểkhóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của cô giáo Thạc sỹ Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắngcủa bản thân

Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quảnghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quảnghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả củacác tác giả khác

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt 1

1.1 Khái niệm hàm số lượng giác 4

1.1.1 Định nghĩa hàm số 4

1.1.2 Hàm số lượng giác 7

1.2 Phương trình lượng giác 12

2 Các dạng bài tập 14 2.1 Hệ thống bài tập trong chương trình toán 11 14

2.1.1 Hàm số lượng giác 14

2.1.2 Phương trình lượng giác 26

2.2 Ứng dụng của lượng giác trong giải toán 39

2.2.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 40

2.2.2 Giải phương trình 42

2.2.3 Giải hệ phương trình 44

2.2.4 Tìm GTLN, GTNN 46

3 Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm 49

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Do đó em quyết định chọn đề tài "Hàm số và nội dung dạyhọc về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11".Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thìkhóa luận gồm ba chương

Chương 1 "Hàm số và phương trình lượng giác " phân tích nộidung dạy học phần hàm số và phương trình lượng giác trong chươngtrình toán 11 Chỉ ra được sự phát triển của mạch kiến thức lượnggiác từ những lớp dưới lên đến lớp 11 Từ đó người dạy có sự lựa chọnphương pháp cũng như cách thức dạy học phù hợp để đạt được hiệuquả tốt nhất

Chương 2 "Các dạng bài tập" từ những yêu cầu về kiến thức, kĩnăng, tư duy, năng lực HS cần nắm được trong nội dung hàm số vàphương trình lượng giác chương này sẽ đưa ra các dạng bài tập với

phương pháp làm, cho ví dụ minh họa và bài tập áp dụng; và đưa ramột số ứng dụng của lượng giác trong đại số.

Chương 3 "Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm" do hình thứcbài thi đánh giá năng lực HS trong kì thi THPT Quốc gia hết lớp 12

là hình thức thi trắc nghiệm nên việc đưa ra câu hỏi trắc nghiệm theocác dạng bài tập đã được phân dạng ở chương 2 sẽ là bước đầu để các

em làm quen dần với hình thức thi này từ những lớp dưới

Chương 1

Hàm số và phương trình lượng giác

1.1.1 Định nghĩa hàm số

Hàm số là một khái niệm đã xuất hiện từ rất sớm Từ 1000 năm trướccông nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệmtrong thiên văn và như vậy họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số.Trong quá trình hình thành và phát triển có rất nhiều định nghĩakhác nhau về hàm số Trong toán học có hai khuynh hướng cơ bản

đó là định nghĩa hàm số dựa vào đại lượng biến thiên và định nghĩahàm số dựa vào ánh xạ Do đó việc dạy định nghĩa hàm số cho HScũng cần hết sức lưu ý qua các lớp học

Sách giáo khoa (SGK) Đại số 10 nâng cao (nhà xuất bản Giáo dụcViệt Nam, tái bản 2011, Đoàn Quỳnh - Tổng chủ biên) có đưa ra địnhnghĩa hàm số như sau:

"Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂ R

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc

D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó gọi là giá trị của

hàm số f tại x.

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hayđối số của hàm số f."

Tức là đến lớp 10 HS mới có định nghĩa hàm số một cách chính xác.Tuy nhiên ở các lớp dưới HS đã được làm quen với định nghĩa hàm

số Chẳng hạn:

- SGK Toán 7, tập 1 (nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, tái bản năm

2011, Phan Đức Chính - Tổng chủ biên) có khái niệm hàm số như sau:

"Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗigiá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì

y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số." Ở đây, khái niệm hàm

số được định nghĩa dựa vào đại lượng biến thiên, không có khái niệmTXĐ và HS được học hai hàm số là y = ax và y = a

x(a 6= 0) (trongphần đọc thêm)

- Lớp 9 HS vẫn sử dụng định nghĩa hàm số như ở lớp 7 và có bổ sungthêm khái niệm TXĐ nhưng không được định nghĩa cụ thể mà đượcmiêu tả: "Khi hàm số được cho bằng công thức y = f (x), ta hiểu rằngbiến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đó f (x) xác định." (Tr42, SGKToán 9 tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, tái bản năm 2011, Phan ĐứcChính - Tổng chủ biên) Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến đãđược đưa vào chương trình và HS chủ yếu nghiên cứu hai hàm số là

y = ax + b và y = ax2(a 6= 0)

Khi lên bậc đại học khi nghiên cứu về hàm số trong cuốn "Đại số

sơ cấp - Hoàng Huy Sơn" có đưa ra định nghĩa hàm số như sau:

"Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý Nếu có một quy tắc f cho tương

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm

từ X vào Y, kí hiệu

f : R −→ R

x 7−→ y = f (x)Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số"

Như vậy từ các định nghĩa trên ta có thể rút ra một số nhận xétnhư sau:

+ Theo như cách định nghĩa hàm số của Hoàng Huy Sơn thì hàm số

là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ do đó các tính chất của ánh xạđều đúng với hàm số Nhờ đó ta có một số lưu ý khi dạy định nghĩahàm số cho HS cần nhấn mạnh đến tính đơn trị và xác định khắp nơi.Hơn nữa, việc đưa ra định nghĩa như trên giúp người đọc thấy đượcnhững sự tương ứng khác trong thực tế cuộc sống như: HS - chiều caocủa HS đó, sản phẩm - giá của sản phẩm đó, khu dân cư - số dân, + Ở cả lớp 7 và lớp 9 HS được học định nghĩa hàm số dựa vào đạilượng biến thiên và chưa có khái niệm TXĐ Lên đến lớp 10 với chươngtrình nâng cao khái niệm hàm số mới được trình bày theo quan điểmhiện đại, chặt chẽ hơn, dùng lí thuyết tập hợp để định nghĩa đi vàobản chất của khái niệm và đề cập đến TXĐ Không những vậy, cáckhái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, đặc điểm của những hàm số nàyhay một số phép biến đổi đồ thị đã được đưa ra cho HS Do yêu cầuđối với HS khi này là cần nhận dạng được đâu là hàm số, chỉ ra đượcTXĐ, miền giá trị hay tính đồng biến - nghịch biến của hàm số màchưa cần đi sâu vào nghiên cứu hàm số; các khái niệm này các em

sẽ được tìm hiểu sâu hơn khi học đại học Tuy nhiên nó cũng tồn tại

những hạn chế nhất định đó là không nhìn thấy được mối liên hệ giữatoán học với đời sống như định nghĩa hàm số trong cuốn Đại số sơ cấpcủa Hoàng Huy Sơn.

1.1.2 Hàm số lượng giác

Từ lớp 9, HS đã làm quen với khái niệm lượng giác thông qua tỉ sốlượng giác của một góc nhọn, các em được học về các giá trị lượnggiác như sin α, cos α, tan α, cot α với α ∈ 00; 900 dựa vào tỉ lệ chiềudài các cạnh của một tam giác vuông như sau Cho tam giác ABCvuông tại C như hình vẽ và độ dài các cạnh BC=a, AC=b, AB=h.Khi đó giá trị lượng giác của góc A được xác định như sau:

Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x; y) trên

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

vòng tròn và chiều dương của trục 0x Khi đó các hàm lượng giác cóthể được định nghĩa như sau:

sin ϕ = y cos ϕ = x tan ϕ = y

x

y.Đến lớp 11, HS làm quen với khái niệm hàm số lượng giác nhưngkhông được định nghĩa trực tiếp mà được kế thừa theo định nghĩahàm số trong SGK Đại số 10 nâng cao SGK Đại số và giải tích 11nâng cao đưa ra định nghĩa hàm số lượng giác của các hàm cơ bảnsin x, cos x, tan x và cot x theo các mục lần lượt như sau:

Các hàm số y = sin x; y = cos x

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số

đo radian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số

đo radian bằng x được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y = cos x

TXĐ của các hàm số y = sin x, y = cos x là R Do đó các hàm số sin

và cos còn được viết như sau:

sin : R −→ R

x 7−→ sin x

cos : R −→ R

x 7−→ cos xTính tuần hoàn của các hàm số y = sin x và y = cos x

Ta thấy số T = 2π là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn sin(x+T ) =sin x và cos(x + T ) = cos x Do đó ta nói hai hàm số trên tuần hoàn

với chu kì 2π.

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) vànghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) ; k ∈ Z

Đồ thị hàm số y = cos x

Các hàm số y = tan x, y = cot x

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với tan của góc lượng giác có số

đo radian bằng x được gọi là hàm số tan, kí hiệu là y = tan x và cómiền xác định là D = R\ π

2 + kπ |k ∈ Z



Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cot của góc lượng giác có số

đo radian bằng x được gọi là hàm số cot, kí hiệu là y = cot x và cómiền xác định là D = R\kπ |k ∈ Z

Tính tuần hoàn của các hàm số y = tan x và y = cot x

Ta thấy số T = π là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn tan(x+T ) =tan x và cot(x + T ) = cot x Do đó ta nói hai hàm số trên tuần hoànvới chu kì π

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) ; k ∈ Z

Đồ thị hàm số y = cot x

Từ đây ta có một số lưu ý khi dạy học hàm số lượng giác như sau:

- Chỉ rõ TXĐ của các hàm lượng giác cơ bản, từ đó HS có thể tìmđược TXĐ của một hàm số lượng giác bất kì

- Nhấn mạnh tập giá trị của các hàm số lượng giác

+ Hàm số y = sin x; y = cos x có tập giá trị là [-1;1]

+ Hàm số y = tan x; y = cot x có tập giá trị là R

- Lưu ý đến chu kì của các hàm số lượng giác

+ Hàm số y = sin x; y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π nên góc x(rad)

và góc x + k2π(rad) có sin và cos bằng nhau

+ Hàm số y = tan x; y = cot x tuần hoàn với chu kì π nên góc x(rad)

và góc x + kπ(rad) có tan và cot bằng nhau

- Cho HS phân biệt đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x; y = tan x

và y = cot x tránh sự nhầm lẫn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Tương tự như khái niệm hàm số đến lớp 10 HS có định nghĩa phươngtrình một cách chính xác như sau:

"Cho hai hàm số y = f (x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là DfvàDg Đặt D = Df T Dg

Mệnh đề chứa biến "f (x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn; xgọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f (x) = g(x) nếu

f (x0) = g(x0) là mệnh đề đúng."

Định nghĩa trên là định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề(mệnh đề chứa biến) Nhưng không phải đến lúc này HS mới được học

về phương trình mà đã được học từ trước đó nhưng chưa có khái niệm

cụ thể Chẳng hạn: ở lớp 2 HS được làm bài tập điền số thích hợp vào

ô trống, lên lớp 3 HS được làm quen với một dạng toán mới đó là tìm

x, ví dụ như: Tìm x biết 12 : x = 2

Đến lớp 8 HS được học khái niệm phương trình một ẩn "Một phươngtrình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phảiB(x) là hai biểu thức của cùng một biến x." (SGK Toán 8, tập 2, NXBGiáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính - Tổng chủ biên), SGK toán

8 trình bày về cách giải phương trình ax+b = 0, khái niệm hai phươngtrình tương đương

SGK Toán 9, tập 2, NXB Giáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính Tổng chủ biên đưa ra khái niệm phương trình bậc hai một ẩn "Phươngtrình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình

-có dạng

ax2 + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 6= 0."

và đưa ra công thức nghiệm

Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng HS được làm quen với kháiniệm phương trình từ rất sớm, ngay từ những năm đầu của bậc tiểuhọc tuy rằng chưa có khái niệm về phương trình nhưng lại được tiếpxúc với những bài toán ẩn tàng của giải phương trình Đến bậc Trunghọc cơ sở, HS được học các khái niệm phương trình cụ thể, đó là bậcnhất và bậc hai một ẩn; bước đầu được trang bị có những khái niệm

cơ bản như tập nghiệm, hai phương trình tương đương nhưng chưa cóđịnh nghĩa cụ thể Và cho đến lớp 10 khái niệm phương trình đã đượcđịnh nghĩa một cách chính xác dựa trên mệnh đề chứa biến Nhìn vàotổng thể của cả quá trình khái niệm phương trình được trình bày từ

cụ thể đến trừu tượng theo hướng mở rộng đã tạo điều kiện phát triểnnăng lực toán học cho HS Điều này phù hợp với sự phát triển của tưduy từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng

Quay lại vấn đề mà chúng ta cần nói tới đó là khái niệm phươngtrình lượng giác Thực chất phương trình lượng giác là một trườnghợp đặc biệt của khái niệm phương trình đã được đưa ra ở lớp 10,trong đó các hàm f(x) và g(x) là những hàm số lượng giác Kế thừađiều đó, SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao không đưa ra khái niệmphương trình lượng giác cụ thể mà chỉ nhắc tới phương trình lượnggiác cơ bản và một số dạng phương trình lượng giác đơn giản trongbài 2 và bài 3 chương 1 Đại số và giải tích 11

Chương 2

Các dạng bài tập

Dựa vào hệ thống bài tập trong quyển Đại số và giải tích 11, sách bàitập Đại số và giải tích 11 nâng cao ta có thể phân loại bài tập thànhmột số dạng cụ thể Các bài toán đưa ra dưới đây được lựa chọn từbài tập trong SGK, sách bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, Giảitoán lượng giác 11 (NXB Hà Nội, Lê Hồng Đức - Chủ biên), Giải toán

và câu hỏi trắc nghiệm Đại số - Giải tích 11 (NXB Giáo dục, nhómtác giả Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa) vàtài liệu trên internet ở các trang http://www.luyenthithukhoa.vn;https://toanmath.com

2.1.1 Hàm số lượng giác

Dạng 1 Tìm TXĐ của hàm số lượng giác y = f (x)

Phương pháp Có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

- D là tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x) có nghĩa

- Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của x để f (x) không có nghĩa; từ

2x + π

Ví dụ 2 Cho hàm số f (x) = psin4x + cos4x − 2m sin x cos x.Tìm các giá trị của m để f (x) xác định với mọi x

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

1 + 2 cos x − 1 − cos x

1 − 2 cos xc) y = 1

cot x −√

1p

− tan x −√3

.Dạng 2 Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Trong phần này sẽ có các dạng bài tập như sau:

- Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn

- Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x)

- Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì

Mỗi dạng bài tập sẽ có từng phương pháp làm cụ thể, ta sẽ đi vàotừng dạng bài

Dạng 2.1 Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn.Phương pháp

Ví dụ Chứng minh hàm số y = 2 cos

2x − π

6

2+ 1 là một hàm sốtuần hoàn

Giải

Ta có y = 2 cos

2x − π

6

2+ 1 = cos

4x − π

3

+ 2 có TXĐ D = R.Xét T0 = π



− π3

#+ 2 = cos

"

4x − π

3

+ 2π

#+ 2

Vậy hàm số trên tuần hoàn

Dạng 2.2 Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x)

Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa mãn f (x + T ) = f (x)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Vậy hàm số y = f (x) = sin 2x có chu kì là T = π

Dạng 2.3 Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì

Phương pháp Thực chất bài tập dạng này chính là tổng hợp của haidạng bài tập trên Để thực hiện được ta cần sử dụng những kết quảsau:

- Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π

Mở rộng, hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) với a 6= 0 tuần hoànvới chu kì 2π

a .

- Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kì π

Mở rộng, hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) với a 6= 0 tuần hoànvới chu kì π

Ví dụ Trong những hàm số sau đây hàm số nào là hàm số tuần hoàn,xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của nó

a)f (x) = tan

3x + π

a) Hàm số tuần hoàn với chu kì T = π

3.b) f (x) = sin2x = 1 − cos 2x

c) Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π

Hàm số y = sin 3x tuần hoàn với chu kì 2π

3 tuần hoàn với chu kì 3π.

Do đó hàm số trên tuần hoàn với chu kì 6π



b)f (x) = tan x√

xc)f (x) = cos x + 2 cos2x + 4 cos3x d)f (x) = √

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

+ Nếu f (−x) 6= f (x) thì kết luận y = f (x) là hàm số không chẵnkhông lẻ

Chú ý Tính chất của các hàm lượng giác cơ bản

+ ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D

+ Ta có f (−x) = 1

sin(−x) = −

1sin x.

Ta thấy f (−x) = −f (x) nên hàm số y = f (x) = 1

sin x là hàm số chẵn.c) +TXĐ D = R nên ∃x ∈ R ⇒ −x ∈ R

+ Xét x = π

6 ta có f

 π6



−π6



và f  π

6

6= −f



−π6



Do đó hàm số trên không chẵn không lẻ

Bài tập áp dụng Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f (x) = x

2sin x + tan x b) f (x) = |x| sin x c) f (x) =

sin2018x + 2018cos x .Đáp án

a) Hàm số lẻ b) Hàm số lẻ c) Hàm số chẵn

Dạng 4 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giácPhương pháp

- Với các hàm lượng giác cơ bản

+ Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên khoảng  π

2 + k2π;

3π

2 + k2π

với k ∈ Z

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịchbiến trên khoảng (k2π; π + k2π) k ∈ Z

+ Hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng

k ∈ Z

+ Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (kπ; π + kπ) với k ∈ Z

- Các phép biến đổi đồ thị cơ bản

- Với các hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có các kết quả từ đồ thịhàm số y = f (x):

+ Đồ thị hàm số y = |f (x)| gồm phần đồ thị phía trên trục hoànhcủa hàm số y = f (x) và phần đối xứng của đồ thị y = f (x) phía dướitrục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị hàm số y = f (|x|) gồm phần bên phải 0y và đối xứng vớiphần đồ thị đó qua 0y của đồ thị y = f (x)

+ Để suy ra phần đồ thị y = |f (|x|)| ta thực hiện liên tiếp hai quytắc và có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

+ Đường cong |y| = f (x) gồm phần đồ thị phía trên tục hoành của

y = f (x) và phần đối xứng của đồ thị trên qua trục hoành

Ví dụ

Ví dụ 1 Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2x trên một chu kìcủa nó

Giải

+ Hàm số tuần hoàn với chu kì π

2, do vậy ta xét sự biến thiên củahàm số trên miền D =

0; π2



\ π4



Ta có hàm số y = tan 2x đồng biến trên khoảng

0; π4



Ví dụ 2 Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy suy ra đồ thị của các hàm

b) Từ đồ thị hàm số y = sin x ta thực hiện như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị ở phía trên trục 0x

- Lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới trục 0x qua 0x

Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = |sin x|

Đường liền nét là đồ thị hàm số y = |sin x|, đường nét đứt là đồ thịhàm số y = sin x

c) Từ đồ thị hàm số y = sin x ta thực hiện như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị ở bên phải trục 0y

- Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục 0y

Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = sin|x|

Đường liền nét là đồ thị hàm số y = sin|x|, đường nét đứt là đồ thịhàm số y = sin x

Bài tập áp dụng

Bài 1 Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên một chu kì của nó:a) y = sin x − cos x

b) y = cos 2x

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

c) y = 4 sin



x + π6

cos



x − π6

+ 3 b) y = p1 − sin (x2) − 1

Giải

a)−1 ≤ cos



x + π3



≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 cos



x + π3

+ 3 ≤ 5, ∀x ∈ R.Vậy GTLN của hàm số là 5, GTNN của hàm số là 1

b)−1 ≤ sin x2
≤ 1 ⇔ −1 ≤ p1 − sin (x2) − 1 ≤ √

2 − 1, ∀x ∈ R.Vậy GTLN của hàm số là √

2 − 1, GTNN của hàm số là -1

Ví dụ 2 Tìm GTNN của hàm số y = 1

sin x +

1cos x biết x ∈

0;π2

.Giải

Theo bđt Cauchy, ta có

y = 1

sin x +

1cos x ≥ √ 2

sin x cos x =

2√2

√sin 2x ≥ 2√2

⇔ x = π

4.Bài tập áp dụng

Bài 1 Tìm GTLN,GTNN của hàm số:

a)y = 3sin2x + 4 sin x cos x − 5 cos2x + 2

b)y =16

3 sin

3x cos 3x + cos3x sin 3x
+ 3 cos 4x

Bài 2 Với α là một góc cố định cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất củahàm số y = tan2(x + a) + tan2(x − a)

Biết rằng hàm số thỏa mãn các điều kiện xác định cho trước

Bài 3 Tìm GTNN của hàm số y = 4x + π

2

x +

√sin x +√

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

2.1.2 Phương trình lượng giác

Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản

Ta xét các phương trình lượng giác cơ bản sin x = m; cos x = m; tan x =m; cot x = m

1) Giải và biện luận phương trình sin x = m

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

Bước 2 Nếu |m| ≤ 1 và m = sin α với α là một góc nào đó thì

sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔

Bước 1 Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

Bước 2 Nếu |m| ≤ 1 và m = cos α với α là một góc nào đó thì

cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔

Bước 2 Đặt m = tan α với α là một góc nào đó thì

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

4) Giải và biện luận phương trình cot x = m ta thực hiện các bướcnhư sau:

Bước 1 Điều kiện x 6= kπ, k ∈ Z

Bước 2 Đặt m = cot α với α là một góc nào đó thì

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.

3x + π

a) sin 3x − cos 2x = 0 ⇔ sin 3x − sin π

sin 5x

2 − π4



= 0

sin 5x

2 − π4

sin



x − π12

3x + π

3x − 13π

2 = − cos 2x − 30

0
⇔ 2 cos 5x

4 − 150

cos

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

#

=

√22Bài 2 Giải phương trình cos

2x + yπ

Bài 1 x = 11π

12 + kπ ∨ x =

7π

12 + kπ (k ∈ Z) Bài 2

+ Với |a| ≤ 1 hoặc a = ±√

3 thì phương trình vô nghiệm

+ Với a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) \

n

±√3

ophương trình có hai họnghiệm

Dạng 2 Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm lượnggiác

Đó là các phương trình dạng

asin2x + b sin x + c = 0acos2x + b cos x + c = 0atan2x + b tan x + c = 0acot2x + b cot x + c = 0

Phương trình bậc ba đối với một hàm lượng giác ta cũng làm tương

tự như đối với phương trình bậc hai

Chú ý

Cần ghi nhớ những công thức sau để áp dụng nhanh vào từng bài tập

cụ thể:

sin2x + cos2x = 1

cos 2x = cos2x − sin2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x

sin 2x = 2 sin x cos x

sin4x + cos4x = 1 − 1

2sin

22xsin6x + cos6x = 1 − 3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học PHẠM THÚY NGA

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 2 (Đề thi TSĐH D-2002) Giải phương trình

cos 3x − 4 cos 2x + 3cos x − 4 = 0, ∀x ∈ [0; 14] (∗)

Giải

(∗) ⇔ 4cos3x − 3cos x
− 4 2cos2x − 1
+ 3cos x − 4 = 0

⇔ 4cos3x − 8cos2x = 0 ⇔ 4cos2x (cos x − 2) = 0



Ví dụ 3(Đề thi tuyển sinh Cao đẳng xây dựng số 2 năm 2007).Giải phương trình cos4x − sin4x + cos 4x = 0(∗)

Bài 1(Đề TSĐH A-2002) Giải phương trình

Bài 2 (Đề TSĐH A-2005) Giải phương trình

cos23x cos 2x − cos2x = 0

Bài 3 (Đề TSĐH B-2004) Giải phương trình

5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan2x(∗)

Dạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình dạng

a sin x + b cos x = c (1)

Để giải phương trình này ta thực hiện theo một trong hai cách sau:Cách 1

- Bước 1 Kiểm tra

+ Nếu a2 + b2 < c2 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu a2 + b2 ≥ c2 ta chuyển sang bước 2

- Bước 2 Chia cả hai vế của phương trình cho √

a2 + b2 ta được,(1) ⇔ √ a

a2 + b2 sin x + √ b

a2 + b2 cos x = √ c

a2 + b2.Vì