CHỨNG MINH HAI đoạn THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG của CHÚNG BẰNG NHAU
Trang 1CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU THÔNG QUA VIỆC CHỨNG MINH HAI BÌNH PHƯƠNG CỦA CHÚNG BẰNG NHAU
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn tâm O đường AB và đường tròn tâm O’ đường kính AC cắt AC và AB lần lượt tại E và F Gọi M và N lần lượt là giao điểm của các đoạn thẳng CF và đoạn thẳng BE với đường tròn (O) và (O’)
Chứng minh:
a) tứ giác BEFC nội tiếp
b) AM = AN
F
O'
E O
A
b) ta có tứ giác BFEC nội tiếp => góc ABC = góc AEF => tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g) => AE/AB = AF/AC => AE.AC = AF.AB
Lại có góc AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác AMB vuông tại M có MF là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AM2 = AF.AB
Tương tự ta có AN2 = AE.AC
=> AM2 = AN2 => AM = AN
Bài toán 2.
Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD của hai đường tròn (C thuộc (O); D thuộc (I)) Đường thẳng AB cắt CD tại K
Chứng minh: KC = KD
Trang 2Xét tam giác KBC và tam giác KCA có
Góc CKB chung; góc KCB = góc KAC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
=> tam giác KBC đồng dạng với tam giác KCA (g.g)
=> KB/KC = KC/KA => KC2 = KA.KB
Chứng minh tương tự ta có KD2 = KA.KB
=> KC2 = KD2 => KC = KD
Bài toán 3.
Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài (O), từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,
C là tiếp điểm); Vẽ dây BD của (O) song song với AC, AD cắt (O) tại điểm thứ hai E, tia BE cắt AC tại K Chứng minh K là trung điểm của AC
Xét tam giác KEC và tam giác KCB có
Góc EKC chung; góc KCE = góc KBC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
=> tam giác KCE đồng dạng với tam giác KBC (g.g) => KC2 = KE.KB
Lại có góc ABE = góc ADB = góc EAK => tam giác KAE đồng dạng với tam giác KBA => KA2 = KE.KB
=> KA2 = KC2 => KA = KC hay K là trung điểm của AC
Bài toán 4.
Trang 3Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và
C là các tiếp điểm) Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O)
Chứng minh: MK = MA.
O
K
A
M
B
C
Gọi I, H là giao điểm của BC và đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC với đường thẳng OA
+ OBA vuông tại B có:
OB = OI.OA = (OH - HA)(OH + HA) = OH - HA
+ AHM vuông tại H có:
MA = HA + MH = OH - R + MH (1)
+ OHM vuông tại H có:
OH + HM = OM (2)
Từ (1)(2) MA = OM - R (*)
+ OKM vuông tại K có :
MK = OM - OK = OM - R (**)
Từ (*)(**) MA = MK MA = MK
Bài toán 5.
Cho đường tròn tâm O, từ điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm) Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn (O) tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt (O) tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, gọi H là giao điểm của MO và AB Chứng minh
a) tứ giác MBHF nội tiếp
b) MN = NH
Trang 4a) ta có AE//MO => góc EAB = 900 => BE là đường kính (O) => góc BFE =900
mà góc MHB = 900 => tứ giác MBHF nội tiếp
b) ta có tứ giác MBHF nội tiếp => góc MHF = góc MBF = góc BAF => tam giác NHF đồng dạng với tam giác NAH => NH2 = NF.NA
ta cũng chứng minh được tam giác NMF đồng dạng với tam giác NAM
=> NM2 = NF.NA
=> NH2 = NM2 => NM = NH
Bài toán 6.
Cho đường tròn (O) đường kính AB, trên AB lấy điểm I, vẽ đường tròn (I; IB) cắt AB tại C, tiếp tuyến tại C của (I) cắt (O) tại D Vẽ tiếp tuyến AE của (I) sao cho E là tiếp điểm; E và D khác phía với AB Chứng minh AD = AE.
Ta có góc ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tam giác ADB vuông tại
D lại có DC vuông góc với AB
Trang 5Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AD2 = AC.AB Lại có góc AEC = góc ABE
=> tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABE (g.g) => AE2 = AC.AB
=> AD2 = AE2 => AD = AE