NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG HIỂU CỦA HỌC SINH VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ

Học sinh có thể hiểu nghĩa của khái niệm đạo hàm trong thể thức hình học độ dốc của tiếp tuyến, đồ thị hệ số góc của tiếp tuyến, giải tích biểu thức, ngữ cảnh vật lý tốc độ thay đổi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN KIÊM MINH

Huế, Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

Hồ Thị Bình

Lời Cám Ơn

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo

và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạmHuế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoaToán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên nghành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua

Tôi cũng xin chân thành cám ơn tập thể lớp 12B1 trường THPT Phan Châu Trinh, thành phố Đông Hà,tỉnh Quảng Trị đã tạo điều kiện cho tôi thực nghiệm thực trên thực tế

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô trong nhà trường, tổ chuyên môn Toán - Tin trường THPT Phan Châu Trinh đã tạo điều kiện cho tôi đi học

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

lời cám ơn iii

Mục lục 1

Danh mục bảng 3

Danh mục hình 4

LỜI GIỚI THIỆU 5

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 8

1.1 Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm 8

1.2 Khái niệm đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam 12 1.3 Tổng quan về các nghiên cứu về dạy học đạo hàm 19

1.4 Ghi nhận và đặt vấn đề 20

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 22

2.1 Hình ảnh khái niệm (concept image) và định nghĩa khái niệm (concept definition) 22

2.2 Đối ngẫu quy trình/khái niệm và lý thuyết APOS 22

2.3 Khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy toán học của học sinh 25

2.4 Tư duy toán học trong ngữ cảnh đạo hàm 26

2.5 Hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval 29

2.6 Câu hỏi nghiên cứu 30

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 31

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu 31

3.2 Phương pháp nghiên cứu 31

3.3 Phiếu học tập 31

3.3.1 Nội dung phiếu học tập 31

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 32

3.4 Phỏng vấn 41

Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 42

4.1 Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu 42

4.2 Phân tích khả năng hiểu của học sinh về khái niệm đạo hàm trong các hệ thống biểu đạt khác nhau 42

4.3 Phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau 51

Chương 5 KẾT LUẬN 69

5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 70

5.2 Vận dụng 70

5.3 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 PHỤ LỤC P1

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm 18

Bảng 4.1 Kết quả định lượng của bài 3 44

Bảng 4.2 Kết quả định lượng bài 6 và bài 7 47

Bảng 4.3 Kết quả định lượng bài 1 53

Bảng 4.4 Kết quả định lượng bài 10 53

Bảng 4.5 Kết quả định lượng bài 2 56

Bảng 4.6 Kết quả định lượng bài 4 59

DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1 Sơ đồ minh họa lý thuyết APOS 24

Hình 2.2 Ba phạm vi biểu đạt toán học (Tall, 2013) 26

Hình 4.1 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 3 45

Hình 4.2 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 6 47

Hình 4.3 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 7 48

Hình 4.4 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 9 50

Hình 4.5 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 1 54

Hình 4.6 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 10 55

Hình 4.7 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 2 57

Hình 4.8 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 4 60

Hình 4.9 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 5 62

Hình 4.10 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 8 64

Hình 4.11 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 11 65

Hình 4.12 Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 12 66

Hình 4.13 Hình ảnh học sinh làm bài 1 67

Hình 4.14 Hình ảnh học sinh làm bài tập 3 68

LỜI GIỚI THIỆU

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất và cũng là công

cụ nền tảng của Giải tích toán học Trong chương trình môn Toán ở bậc THPT, khái niệm đạo hàm cùng với các khái niệm giới hạn và tích phân tạo thành phân môn Giải tích, và thường được giảng dạy ở các lớp cuối cấp và ở bước chuyển thể chế THPT/Đại học Nắm vững nội dung và ý nghĩa của khái niệm đạo hàm là nền tảng để tiếp thu các nội dung của các môn học như Vật

lý, Hóa học, Sinh học…

Nghiên cứu về dạy học đạo hàm ở Phổ thông và Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981,[35]; Vinner and Dreyfus, 1989,[40]; Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997; Zandieth, 2000,[41] ; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006 ,[22]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2009[32]; Ubuz, 2007,[39]; Villegas, Castro & Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys, 2012,[31]; Nagle, Moore-Russo,[32]; Viglietti & Martin, 2013; Aydin & Ubuz, 2014) Tuy mỗi nghiên cứu đều tập trung tìm hiểu một khía cạnh liên quan đến dạy học khái niệm đạo hàm, nhưng hầu hết đều thừa nhận rằng khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm khó đối với học sinh Khó khăn đầu tiên là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh và phạm vi khác nhau (vật lý, hình học, giải tích) liên quan đến các khái niệm tốc độ thay đổi và độ dốc của tiếp tuyến (Moore-Russo,[32]; Conner & Rugg, 2011; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo,[24], Viglietti & Martin, 2013)

Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải khi học khái niệm đạo hàm là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (Artigue, 1990,[6]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2008) Học sinh có thể hiểu nghĩa của khái niệm đạo hàm trong thể thức hình học (độ dốc của tiếp tuyến), đồ thị (hệ số góc của tiếp tuyến), giải tích (biểu thức), ngữ cảnh vật lý (tốc độ thay đổi tức thời) nhưng lại gặp khó khăn khi kết nối các thể thức và hệ thống biểu đạt này Chẳng hạn, học sinh có thể vẽ đồ thị

của một hàm đạo hàm, nhưng lại gặp khó khăn khi liên kết đồ thị này với biểu thức giải tích của hàm số tương ứng (Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997) Trong xu hướng này, một số tác giả quan tâm đến nghiên cứu việc hiểu định tính mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó (Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006,[22]; Ubuz, 2007,[39]) Tuy nhiên, các nghiên cứu này chủ yếu tập trung phân tích mối liên hệ định tính giữa hàm số và đạo hàm trong thể thức đồ thị và với đối tượng là sinh viên các năm đầu Đại học

Trong chương trình môn Toán hiện hành ở Việt Nam, học sinh tiếp cận khái niệm đạo hàm bắt đầu từ lớp 11 Nhìn chung, chương trình và SGK chủ yếu tập trung vào khái niệm đạo hàm trong phạm vi giải tích, học sinh chủ yếu làm việc trên các biểu thức giải tích của hàm số và thực hiện các phép tính về đạo hàm Có khá ít bài toán đề cập đến khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh khác nhau, và đặc biệt mối liên hệ định tính giữa một hàm số và đạo hàm (cấp 1, cấp 2) của nó

ít được đề cập

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khả năng hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các phạm vi và hệ thống biểu đạt khác nhau như hình học,

đồ thị, giải tích, ngôn ngữ, bảng biến thiên… Chúng tôi một mặt tập trung vào nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong cùng một hệ thống biểu đạt, nhưng mặt khác cũng nhấn mạnh khả năng kết nối và chuyển đổi qua lại giữa các phạm vi và hệ thống biểu đạt đó Theo Duval (2006), những khả năng kết nối và chuyển đổi như vậy là cơ bản để đạt được việc hiểu sâu sắc một đối tượng toán học Trong nghiên cứu này, chúng tôi hướng đến các mục tiêu là:

hàm

hàm của nó trong các phạm vi và và hệ thống biểu đạt khác nhau (hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ)

Luận văn này gồm 5 chương:

+ Chương 1: Đặt vấn đề Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược lịch

sử khái niệm đạo hàm, tổng quan các nghiên cứu về dạy học đạo hàm, khái niệm đạo hàm,ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình

và sách giáo khoa Việt Nam Các phân tích lịch sử, tổng quan nghiên cứu cho phép chúng tôi đặt ra khi nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau

+ Chương 2: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khung

lý thuyết tham chiếu để làm cơ sở khoa học bao gồm : hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm, đối ngẫu quy trình/ khái niệm và lý thuyết APOS, khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy học sinh, hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval, xây dựng khung lý thuyết phân tích việc hiểu khái niệm đạo hàm Chúng tôi mô tả và phân tích làm rõ khung lý thuyết này để đặt ra nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau Dựa trên khung lý thuyết này, chúng tôi đã cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu Khung lý thuyết này cũng cho phép chúng tôi phân tích và diễn giải dữ liệu thực nghiệm ở các chương sau

+ Chương 3: Thiết kế nghiên cứu Chương này trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu

và phương pháp nghiên cứu Chúng tôi giới thiệu phiếu học tập, nội dung bảng hỏi, các câu hỏi của buổi phỏng vấn Phân tích tiên nghiệm phiếu học tập và nội dung bảng hỏi

+ Chương 4: Kết quả nghiên cứu Trong chương này, chúng tôi phân tích các kết quả từ phiếu học tập và bảng hỏi Đối với phiếu học tập, chúng tôi phân tích kết quả theo hai hướng chính đó là việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau dựa trên khung lý thuyết đã trình bày trong chương 2 + Chương 5 Kết luận Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các yếu tố cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu đối với câu hỏi nghiên cứu Sau đó chúng tôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như định vị nghiên cứu của chúng tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên quan đến chủ đề này

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm

nền tảng của Giải tích toán học Nghiên cứu về dạy học đạo hàm ở Phổ thông và Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981, [35]; Vinner and Dreyfus, 1989, [40]; Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997,[7]; Zandieth, 2000,[41] ; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006,[22] ; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2009,[33]; Ubuz, 2007,[39]ư; Villegas, Castro & Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo, Viglietti & Martin, 2013; Aydin & Ubuz, 2014,[9],[10]) Tuy mỗi nghiên cứu đều tập trung tìm hiểu một khía cạnh liên quan đến dạy học khái niệm đạo hàm, nhưng hầu hết đều thừa nhận rằng khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm khó đối với học sinh Đó là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh và phạm vi khác nhau (vật lý, hình học, giải tích) liên quan đến các khái niệm tốc độ thay đổi

và độ dốc của tiếp tuyến (Moore-Russo, Conner & Rugg, 2011,[24]; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo,[32] Viglietti & Martin, 2013) và mối quan

hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (Artigue, 1990,[6]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2008)

Các nghiên cứu lịch sử và tri thức luận cho thấy khái niệm đạo hàm được hình thành từ hai ngữ cảnh : ngữ cảnh thứ nhất là các bài toán trong vật lý như vận tốc tức thời, tốc độ thay đổi của một đại lượng ; ngữ cảnh thứ hai là các bài toán tìm cực trị và xác định tiếp tuyến của của một đường cong (Boyer, 1959, [12]) ; Grabiner, 1983, [21] ; Ngô Minh Đức, 2013, [1] ; Phạm Văn Tuân, 2014, [5]) Nghiên cứu của Grabiner,1983, [21] cho thấy rằng khái niệm đạo hàm được

sử dụng đầu tiên như một công cụ để giải quyết các bài toán đặt ra trong hai ngữ cảnh trên, sau đó mới được khám phá và phát triển, và cuối cùng được định nghĩa hình thức một cách chặt chẽ

Nhà toán học người Pháp Pierre de Fecmat là một trong những người đầu tiên giới thiệu một phương pháp mới trong việc giải các bài toán cực trị và xác định tiếp tuyến đường cong Fermat minh họa phương pháp tìm cực trị của mình năm 1630 qua việc giải bài toán đơn giản sau đây : “Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất”

Fermat giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa, tức

là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất Với đáp số thứ hai này chúng

2

đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau

ABA  AEBEE  ABA  AEE BE Từ đó

2

B

0

hàm số tại điểm cực trị của nó :

càng ngày càng gần lại cho đến khi trùng khít với nhau Việc một cát tuyến “trở thành” một tiếp tuyến như thế nào không hề được giải thích rõ ràng, tuy vậy các phương pháp tìm tiếp tuyến lại dựa trên cách tiếp cận này Fermat, Descartes, John Wallis, Isaac Barrow và nhiều nhà toán học thế kỉ 17 khác đều đã có thể tìm được tiếp tuyến thông qua việc xem xét độ dốc của cát tuyến.Tuy nhiên đến thời điểm này thì một quy trình tổng quát để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến đường cong đã xuất hiện nhưng cơ sở lý thuyết của nó vẫn chưa được thấu hiểu rõ ràng

Đến năm 1660, mối quan hệ giữa bài toán cực trị và bài toán tìm tiếp tuyến đã được hiểu rõ Đó là, cực đại hay cực tiểu được tìm thấy bằng cách tính toán độ dốc của tiếp tuyến và yêu cầu nó phải bằng 0 Như vậy là mặc dù đạo hàm vẫn chưa xuất hiện nhưng nó đã được sử dụng một cách ngầm ẩn trong một phương pháp tổng quát và đầy tiềm năng Khái niệm tiếp tuyến vẫn chưa được định nghĩa một cách rõ ràng và hoàn thiện

Lịch sử cho thấy Newton và Leibniz đã độc lập với nhau đưa ra những lập luận cho cái mà ngày nay chúng ta gọi là định lý cơ bản của giải tích: đạo hàm và tích phân là hai khái niệm đảo ngược lẫn nhau Newton dùng thuật ngữ "fluxion"

để chỉ đạo hàm, một thuật ngữ ám chỉ tốc độ dòng chảy Leibniz nhìn nhận đạo hàm như là tỉ số của hai đại lượng vô cùng nhỏ và gọi là "differential quotient" Nhưng dù cho những thuật ngữ nào đã được sử dụng, khái niệm đạo hàm ngày nay đã được lồng vào một khái niệm tổng quát – phép tính vi tích phân – và mối quan hệ của nó với một khái niệm cơ bản khác là tích phân đã được hiểu rõ (Grabiner, 1983)

Đối với Newton, dù ban đầu ông cũng tiếp cận với ý tưởng mới trong các phương pháp tìm tiếp tuyến nhưng khái niệm đạo hàm mà ông xây dựng nên lại dựa trên những quan niệm cơ sở đến từ vật lí Newton xây dựng các yếu tố của giải tích trên cơ sở khái niệm chuyển động, và đạo hàm được xem như là tốc độ biến đổi của một đại lượng theo thời gian

Còn đối với Leibniz dựa trên khái niệm cơ sở là các vi phân để xây dựng

lý thuyết của mình Vì lý do thiếu một cơ sở vững chắc (lý thuyết giới hạn) nên giải tích mà Newton và Leibniz xây dựng đều phải dựa trên những khái niệm không rõ ràng như “các đại lượng vô cùng bé”, hay các “tỉ số tới hạn”… Dù còn

nhiều điểm mơ hồ nhưng lý thuyết của hai ông vẫn hoạt động đầy hiệu quả và mang đến một công cụ vô cùng mạnh mẽ cho những giai đoạn phát triển về sau

Một phát minh quan trọng khác được Brook Taylor đưa ra năm 1715 mà bây giờ chúng ta biết đến nó với tên gọi: công thức khai triển Taylor Sau đó là các nghiên cứu của Euler và Lagrange vào năm 1797, Lagrange phát biểu rằng , bất kỳ một hàm số nào đều có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa

f x h  f x  p x h q x h 

Trong khai triển này, Lagrange đã đưa ra định nghĩa cho một hàm số mới:

chính là nguồn gốc của từ “đạo hàm” mà chúng ta sử dụng bây giờ, cùng với đó

từ đặc trưng này ông đã xây dựng một bất đẳng thức tương ứng và sau này trở thành một gợi ý quan trọng cho Cauchy trong nỗ lực xây dựng cho đạo hàm một

cơ sở chặt chẽ

Năm 1823, Cauchy lần đầu tiên đã đưa ra một cách quan niệm mới rõ ràng

và mạnh mẽ về khái niệm đạo hàm Về thực chất, Cauchy cũng định nghĩa đạo hàm theo quan điểm như các nhà toán học đi trước đó là xem đạo hàm như là một giới hạn của tỉ số các vi phân Điểm khác biệt quan trọng là ở cách hiểu rõ ràng

và chính xác của ông về khái niệm giới hạn, cụ thể Cauchy định nghĩa đạo hàm

đạo hàm Tuy nhiên vẫn còn một điểm chưa chính xác trong định nghĩa này, đó

mà giả thiết này là tương đương với sự hội tụ đều của tỷ số hai số gia

Từ các phân tích tổng quan và tóm lược về lịch sử hình thành phép tính vi tích phân và khái niệm đạo hàm như trên, chúng ta rút ra một số nhận xét :

lĩnh vực hình học, khái niệm đạo hàm gắn liền với phương pháp xác định tiếp tuyến của đường cong và đạo hàm được định nghĩa như là tỷ số các vi phân Trong lĩnh vực vật lý, khái niệm đạo hàm gắn liền với chuyển động của các vật thể và đạo hàm được xem như là tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo thời gian

có ý nghĩa quan trọng và nền tảng trong quá trình hình thành khái niệm đạo hàm

ngữ cảnh như tốc độ thay đổi của một đại lượng, độ dốc của đường cong biểu diễn hàm số tại điểm đó, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó

1.2 Khái niệm đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam

Phần kiến thức về đạo hàm trong chương trình phổ thông được trình bày trong chương V Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 và chương I sách giải tích

12 Theo Trần Văn Hạo, 2007, [2], khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự:

Chú ý: Đại lượng   x x x0 được gọi là số gia của đối số tại x0 Đại lượng

đó Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó

f :

 

 '

chung là đạo hàm một bên

 Định lý 4: Hàm số y f x( ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi ' 

nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

0

 Định lý 7: giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

 

0 ;

điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Theo Ðoàn Quỳnh, 2007, [3] , khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự:

     được gọi là số gia của hàm số tương ứng với số

 Ðịnh nghĩa 2: Cho hàm số f xác định trên tập J ,trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó

0

f x f x

x x



Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên

khoảng hay một đoạn

o Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K  a b; nếu nó có đạo

0 0

f x 

0

0

f x  và '' 

một điểm, trên một khoảng

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm bao gồm:

một khoảng, tính đơn điệu, cực trị của hàm số

nhỏ nhất của hàm số

Số lượng ví dụ và bài tập liên quan đến mỗi kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa

và sách bài tập được thống kê trong bảng 1.1:

Bảng 1.1 Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm

Ví

dụ

Bài tập

1

2

3

4

hàm số tại một điểm, trên một khoảng,tính đơn

điệu,cực trị của hàm số

5

6

7

Nhận xét:

Các khái niệm được định nghĩa dựa trên ngôn ngữ phổ thông Dựa vào tỉ lệ các

thống bài tập chủ yếu thiên về tính toán, chú trọng biểu diễn đại số (công thức), thao tác đại số, chứng minh hình thức, ít chú ý đến khả năng chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt (chuyển đổi từ hình học sang đại số,từ ngôn ngữ sang hình học ) Do

đó học sinh khi học đạo hàm chủ yếu nắm các quy tắc, định lý để vận dụng vào làm các bài tập tính toán chứ không hiểu hết ý nghĩa của khái niệm đạo hàm, cũng như rèn luyện khả năng chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt khác nhau (đại số, hình học,ngôn ngữ, bảng biến thiên, độ dốc của đường tiếp tuyến ) Đặc biệt là các

ví dụ và bài tập liên quan đến trải nghiệm về đạo hàm với hình ảnh trực quan còn hạn chế Trong khi đó nghiên cứu ri thức luận và lịch sử đã cho thấy khái niệm đạo hàm có nguồn gốc từ các bài toán vật lý và hình học

1.3 Tổng quan về các nghiên cứu về dạy học đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản của giải tích toán học và thường được bắt đầu giảng dạy cho học sinh ở những năm cuối của bậc Trung học phổ thông và đầu Đại học Vấn đề dạy học khái niệm này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm từ lâu

Chẳng hạn, một số nghiên cứu tập trung tìm hiểu nhận thức và tư duy toán học của học sinh về khái niệm đạo hàm trong các phạm vi biểu diễn khác nhau như vật lý, đồ thị, biểu thức, số học (Tall, 2004, [37] ; Presmeg, 1986, [30] ; Zandieh, 2000, [41] ; Aydin & Ubuz, 2014, [9],[10]) Ví dụ, Zandieh (2000, [41]), Park, 2013,[29]) đã xây dựng một khung lý thuyết để nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh trong các ngữ cảnh và phạm vi biểu diễn khác nhau như đồ thị, ngôn ngữ vật lý, biểu tượng… Trong khung lý thuyết này, đạo hàm được xem xét như một quy trình-đối tượng, được biểu diễn bởi các kiểu biểu diễn khác nhau

García, Llinares & Sánchez-Matamoros, 2009, [33] nói về đặc trưng cấu trúc cơ bản khác nhau của lược đồ đạo hàm của sinh viên (hành động- quy trình – đối tượng – lược đồ), cũng như khả năng chuyển đổi linh hoạt mối quan hệ giữa

hàm số, đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai, sử dụng mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm để nhận biết cấu trúc cơ bản của lược đồ Natsheh & Karsenty, 2013, [23] nhấn mạnh vai trò của lập luận trực quan để giải quyết các bài toán về đạo hàm cũng như mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó Bingolbali & Monaghan, 2008, [11] tập trung xem xét hình ảnh khái niệm của sinh viên khi học về khái niệm đạo hàm cũng như mối quan hệ giữa thực hành dạy học và sự phát triển hình ảnh khái niệm về đạo hàm của sinh viên

Ở Hoa Kỳ và Châu Âu, đã có nhiều lời kêu gọi thay đổi trong cách giảng dạy các khái niệm giải tích từ lâu (Habre & Abboud, 2006, [22]) Một trong những thay đổi cơ bản là nhấn mạnh đến khía cạnh trực quan trong dạy học các khái niệm giải tích Zimmermann (1991,[42]) xem trực quan toán học như là hạt nhân cơ bản của chương trình cải cách toán học nhà trường Theo Zimmermann,

tư duy trực quan đóng vai trò cơ bản trong việc hiểu các khái niệm giải tích Chương trình cải cách ở các nước cũng nhấn mạnh vai trò của công nghệ trong việc cung cấp nhiều kiểu biểu diễn khác nhau cho cùng một khái niệm hay đối tương toán học, đặc biệt là các khái niệm của giải tích như hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân…

Một hướng nghiên cứu khác liên quan đến đạo hàm là xem xét việc hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó (Park, 2013, [29] ; Habre & Abboud, 2006, [22] ; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]) Các nghiên cứu này chủ yếu tập trung tìm hiểu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ định tính giữa đạo hàm cấp một với hàm số trong phạm vi biểu đạt đồ thị Các nghiên cứu đã cho thấy rằng học sinh gặp nhiều khó khăn khi mô tả dáng điệu của đồ thị của hàm số đạo hàm tương ứng với đồ thị một hàm số cho trước Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu này đều thực hiện trên đối tượng tham gia là sinh viên năm thứ nhất và thứ hai ở các trường đại học Các nghiên cứu trên đối tượng là học sinh phổ thông, những người mới tiếp cận khái niệm đạo hàm, vẫn còn khá ít

1.4 Ghi nhận và đặt vấn đề

Trong chương 1, chúng tôi đã điểm qua lịch sử hình thành khái niệm đạo hàm, tổng quan các nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm hàm số và khái niệm

đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam Các phân tích lịch sử, tổng quan nghiên cứu và thể chế dạy học đạo hàm này cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề khi nghiên cứu dạy học đạo hàm: học sinh hiểu về khái niệm đạo hàm như thế nào? Khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các phạm vi và hệ thống biểu đạt khác nhau (hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ) như thế nào? Khả năng chuyển đổi linh hoạt giữa các hệ thống biểu đạt về khái niệm đạo hàm của học sinh được thể hiện như thế nào?

Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày các yếu tố lý thuyết làm cơ sở cho nghiên cứu và phân tích dữ liệu thực nghiệm

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Hình ảnh khái niệm (concept image) và định nghĩa khái niệm (concept definition)

Theo Bingolbali & Monaghan (2008, [11]), hình ảnh khái niệm và định

nghĩa khái niệm là các yếu tố quan trọng trong giáo dục toán học Hình ảnh khái

niệm bao gồm tất cả các cấu trúc nhận thức trong tâm trí của cá nhân được liên kết với một khái niệm cụ thể (Tall & Vinner, 1981, [35]) Hình ảnh khái niệm được hình thành theo thời gian và thông qua các trải nghiệm của cá nhân Mỗi cá nhân có một hình ảnh khái niệm riêng và duy nhất đối với mỗi khái niệm toán học Thuật ngữ “định nghĩa khái niệm” được sử dụng để chỉ một dạng từ ngữ dùng để chỉ rõ định nghĩa khái niệm đó Định nghĩa khái niệm mang tính chính thức và được giới thiệu cho học sinh trong quá trình học Trong thực hành dạy học ở hầu hết các nước, khái niệm đạo hàm thường được giới thiệu một cách không chính thức trước (bằng trực giác hay hình học), sau đó mới đưa vào định nghĩa chính thức Điều này có nghĩa là hình ảnh khái niệm được xây dựng trước bất kỳ một định nghĩa khái niệm chính thức nào Đôi lúc các hình ảnh khái niệm này tạo ra những xung đột, mâu thuẫn với định nghĩa khái niệm và đó là nguồn gốc của những quan niệm sai lầm của học sinh Hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm có thể xem như là một pha trong quá trình hình thành khái niệm theo Vygotsky Vinner (1992) lưu ý rằng giáo viên đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành hình ảnh khái niệm ở học sinh Trong giáo dục toán, đã có rất nhiều tác giả đề cập đến hai khái niệm này Chẳng hạn, một số tác giả xem xét hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm của học sinh về khái niệm giới hạn, về đạo hàm và vi phân (Tall, 1981, [31]; Orton, 1983, [28]; Tall, 1991, [36])

2.2 Đối ngẫu quy trình/khái niệm và lý thuyết APOS

Dubinsky và các cộng sự (Cottrill và cộng sự, 1996, [14]; Dubinsky, 1991, [15]; Dubinsky,

1994, [16]; Dubinsky & MacDonald, 2001, [17]; Dubinsky và cộng sự, 2005, [18]);Lê Thị ái Tiên,2013,[4] Lý thuyết APOS (Action-Process-Object-

Schema) chịu ảnh hưởng quan niệm kiến tạo của Piaget trong việc học các khái niệm toán học Lý thuyết APOS cho rằng để xây dựng ý nghĩa cho một khái

niệm toán học, học sinh cần phải có các cấu trúc trí tuệ (mental structures) tương thích Các cấu trúc trí tuệ ở đây bao gồm hành động (action), quy trình (process), đối tượng (object) và lược đồ (schema)

Để nhận thức được một khái niệm toán học, theo lý thuyết APOS, học

sinh nên bắt đầu bằng việc thao tác trên các đối tượng qua các hành động

Asiala và cộng sự, 1997, [7] cho rằng việc hiểu một khái niệm toán học bắt đầu thông qua viêc thao tác trên các đối tượng vật lý hoặc tư duy được xây dựng trước đó để tạo nên các hành động Một hành động có thể xem như một thao tác về mặt trí tuệ hoặc vật lý có tính lặp lại và biến đổi đối tượng vật lý hoặc trí tuệ đó theo một cách nào đó Như vậy, các hành động mang tính thuật toán và ban đầu chịu ảnh hưởng từ yếu tố bên ngoài

Khi mà học sinh có thể tiến hành các hành động này một cách dễ dàng và xem chúng như một quá trình tổng thể có tính lặp lại, ta nói các hành động này đã

được tiếp thu (interiorize) thành quy trình (process) Lúc này, hành động không còn

chịu sự điều khiển bởi các yếu tố bên ngoài nữa vì nó đã trở thành một ý niệm nội tại (gọi là quy trình) của học sinh Ở cấp độ quy trình, học sinh đã có thể phản ánh,

mô tả về chúng, thậm chí có thể biến đổi, phối hợp hoặc đảo ngược quy trình tính toán… để hình thành các quy trình mới khác Việc phối hợp nhiều quy trình liên quan là cần thiết khi người học gặp một chủ đề mới và nhận ra các cấu trúc cơ bản cho phép ứng dụng nhiều quy trình khác nhau được phát triển trong các ngữ cảnh khác nhau Việc đảo ngược (reversal) một quy trình cho phép người học nhận thức một quy trình mới ngược lại với quy trình ban đầu

Khi mà học sinh có thể thực hiện thành thạo trên một quy trình như vậy, ta

nói quy trình đã được tóm lược (encapsulate) thành đối tượng (object) Cuối cùng, lược đồ (schema) chỉ sự tổ chức sắp xếp tổng quát của hành động, quy

trình và đối tượng Lược đồ là cấu trúc tổng quát của một khái niệm Người học

sử dụng lược đồ để sắp xếp, hiểu nghĩa của các đối tượng toán học Theo Asiala

và cộng sự, 1997, [7], khái niệm lược đồ ở đây cũng gần giống với khái niệm hình ảnh khái niệm của Tall & Vinner, 1981, [35]

Hình 2.1 Sơ đồ minh họa lý thuyết APOS

Theo Dubinsky, 2010, [16], lý thuyết APOS và ứng dụng của nó vào thực hành dạy học được dựa trên hai giả định sau dây:

hướng đáp ứng các tình huống / bài toán được lĩnh hội và phản ánh về chúng trong một ngữ cảnh xã hội, kiến tạo hoặc kiến tạo lại các cấu trúc trí tuệ (mental structures) để giải quyết các tình huống

trực tiếp Học sinh vận dụng các cấu trúc trí tuệ dể làm cho các khái niệm toán có ý nghĩa Việc học được thuận lợi nếu như cá nhân có những cấu trúc trí tuệ thích hợp với khái niệm đó

Dựa trên hai giả định này, các nghiên cứu về lý thuyết APOS cho rằng để dạy học một khái niệm toán học, trước hết cần phát hiện ra các cấu trúc trí tuệ tương thích với khái niệm đó, sau đó các hoạt động học tập thích hợp được thiết

kế để hỗ trợ học sinh kiến tạo các cấu trúc trí tuệ tương thích này nhằm mang lại việc hiểu ý nghĩa của các khái niệm đó.Cơ chế xây dựng các cấu trúc trí tuệ ở học sinh là tiếp thu (interiorization) và tóm lược (encapsulation)

2.3 Khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy toán học của học sinh

chia sẻ các quan điểm kiến tạo về các giai đoạn phá t triển nhận thức cá nhân (tri giác, hành động, phản ánh) của Piaget, 1970, và các cách thức biểu đạt trí tuệ (biểu đạt qua hành động, biểu đạt hình tượng, biểu đạt biểu tượng) trong quá trình phát triển nhận thức của Bruner, 1966 Dựa trên những công trình này, Tall (2004, 2008, 2013) đã mô tả đặc trưng sự phá t triển tư duy toán học của học sinh quá ba phạm vi biểu đạt : hiện thân khái niệm (conceptual embodiment), biểu tượng hóa thao tác (operational symbolism) và hình thức hóa tiên đề (axiomatic formalism)

nghiệm cảm giác, hình ảnh và hành động trên các đối tượng(thực hoặc ảo) Trong phạm vi này, học sinh ghi nhận đối tượng qua trực giác, thao tác, hành động với

sự hỗ trợ của ngôn ngữ Các hoạt động trong phạm vi này cung cấp nền tảng ban đầu cho sự phát triển nhận thức của học sinh về đối tượng toán học hướng đến Khái niệm phạm vi hiện thân ở trên được kế thừa từ các kết quả gần đây trong khoa học nhận thức như lý thuyết hiện thân của Lakoff và các đồng nghiệp (Lakoff & Nunez, 2000)

và biểu tượng (symbols) mà chúng ta sử dụng để tính toán trong số học hoặc để thao tác biến đổi hình thức trong đại số, giải tích… Trong phạm vi này, mỗi biểu tượng toán học có thể được nhìn nhận đồng thời dưới hai khía cạnh : một quá trình thao tác hoặc một đối tượng (hay khái niệm) toán học Gray và Tall,1994, đưa ra khái niệm procept để mô tả vai trò đối ngẫu này của một biểu tượng hay

ký hiệu toán học Một procept là tập hợp của ba thành phần của một quá trình thao tác và tính toán cho phép hì nh thành nên một đối tượng toán học, và một biểu tượng biểu đạt quá trì nh hoặc đối tượng đó Bản chất đối ngẫu của biểu tượng toán học cho phép chúng ta thực hiện các thao tác tính toán và biến đổi hoặc để tư duy về một khái niệm hay đối tượng toán học liên quan

Hình 2.2 Ba phạm vi biểu đạt toán học (Tall, 2013)

tượng toán học được định nghĩa hình thức dựa trên tiên đề Đây là phạm vi của toán học hình thức và chặt chẽ trong đó các tính chất được suy ra bằng suy luận diễn dịch và chứng minh hình thức dựa trên các định nghĩa và tiên đề Phạm vi này tương ứng với mức độ cao hơn trong tư duy toán học của học sinh

2.4 Tư duy toán học trong ngữ cảnh đạo hàm

Theo Aydin và Ubuz, 2014, [9],[10] tư duy thường được định nghĩa như là phương tiện được sử dụng bởi cá nhân để nâng cao sự hiểu biết của bản thân (Burton, 1984, [13]) Với quan niệm như vậy, tư duy toán học thể hiện ở những phương tiện đặc biệt được sử dụng như các kiểu biểu đạt khác nhau về một đối tượng được hình thành trong quá trình học toán Aydin và Ubuz (2014, [9],[10])

đã phân chia các kiểu tư duy như sau trong ngữ cảnh đạo hàm:

với quá trình xây dựng mô hình mà học sinh phát triển và vận dụng trong

quá trình mà họ nỗ lực để giải quyết một vấn đề toán học liên quan đến thế giới thực Theo nghĩa này, tư duy hành động xảy ra khi:

toán học đặc biệt (nhận dạng hiện tượng trong thế giới thực)

hình toán (đơn giản hiện tượng)

hàm số (biểu diễn toán học hiện tượng đã đơn giản)

toán

Một ví dụ về tư duy hiện thân về đạo hàm là việc xây dụng và lý giải một

mô hình thực (biểu đồ, đồ thị) để hiểu các điều kiện cho trước về một tình huống tối ưu, kết cấu một mô hình toán học để khám phá các đại lượng đạt cực đại hoặc cực tiểu trong bài toán, và khảo sát các mô hình khá nhau để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số

Ví dụ về nhiệm vụ toán thuộc tư duy hành động:

Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật

hở nắp được tạo thành bằng cách cắt đi

các hình vuông giống nhau có cạnh bằng

x từ các góc của một tấm bìa hình vuông

cạnh bằng 6cm như hình vẽ bên Hỏi thể

tích lớn nhất của cái hộp bằng bao

nhiêu?

động trực quan hóa thông qua đó các cá nhân phản ánh và diễn giải hình ảnh, sơ đồ, đồ thị với muc đích mô tả và trao đổi thông tin (Arcavi, 2003, []) Tư duy hình tượng bao gồm 4 quá trình chủ yếu sau: đọc đồ thị, diễn giải đồ thị, dựng đồ thị và ước lượng đánh giá đồ thị

Một ví dụ về tư duy hình tượng liên quan đến đạo hàm là đọc và diễn giải đồ thị của hàm đạo hàm cấp hai để xác định các điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Ví dụ về nhiệm vụ toán thuộc tư duy hình tượng:

Hình bên là đồ thị của hàm đạo hàm

cấp hai của một hàm số f Tìm các

điểm uốn của đồ thị của hàm số f?

mang tinh quy trình Tư duy thuật toán tập trung vào việc lựa chọn và vận dụng các quy trình thích hợp để giải quyết vấn đề (Martin, 2000, []) Hơn nữa, tư duy thuật toán liên quan đến:

Một ví dụ về tư duy thuật toán liên quan đến đạo hàm là lựa chọn và vận dụng thuật toán tìm cực trị và điểm uốn thích hợp để xác định các tham số trong một hàm số đã cho

Ví dụ về nhiệm vụ toán thuộc tư duy thuật toán:

nhau để xử lý các tình huống định lượng theo một cách có tính liên hệ (Kieran, 1996, p 4, [25]) Tư duy đại số thường thể hiện ở việc nhận ra một tính khái quát qua các trường hợp đặc biệt (Mason, 1996, [25]) Ba khái cạnh trung tâm của tư duy đại số là: (a) xem xét các biến, biểu tượng, biểu thức, phương trình như các cấu trúc biểu đạt tổng quát; (b) hiểu các biểu thức đại số nên được sử dụng khi nào và như thế nào để hiển thị các quan hệ phụ thuộc và khái quát hóa; (c) vận dụng một lập luận cho trước vào một ngữ cảnh rộng hơn bằng cách khái quát hóa hoặc thực nghiệm

 Tư duy hình thức (Formal thinking) liên quan đến: (a) sử dụng, kết nối và diến giải các biểu đạt khái niệm khác nhau; (b) nhớ lại, phân biệt và diến giải các định nghĩa, quy tắc, sự kiện, biểu tượng trong một ngữ cảnh toán học Một ví dụ về tư duy hình thức liên quan đến đạo hàm là việc diễn giải các định nghĩa đạo hàm cấp một, cấp hai, hàm số tăng, hàm số giảm, hàm lồi, hàm lõm để nhớ lại định nghĩa điểm uốn

Ví dụ:

Phát biểu nào sau đây là đúng theo định nghĩa điểm uốn:

không

đến tăng

lõm sang lồi

và quá trình chứng minh, và do đó sau một quá trình với những nỗ lực để tạo

ra các lập luận và phê phán có giá trị (Stylianides, 2007) Trong ngữ cảnh này, nó là rất quan trọng đối với (a) thực hiện một chuỗi kết nối các khẳng định hoặc phủ định của một phát biểu toán học (Stylianides, 2007); (b) hiểu thế nào và tại sao một phát biểu toán học là đúng (Tall, 2004); và (c) chứng minh tại sao các mệnh đề đúng hay sai (Ko & Knuth, 2009)

Sáu khía cạnh tư duy toán học ở trên tuy phân biệt nhưng có liên hệ tương quan với nhau Các khía cạnh này nên được tích hợp vào bất kỳ nhiệm vụ toán học nào hơn là xem xét một cách riêng lẻ

2.5 Hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval

Khái niệm hệ thống biểu đạt ký hiệu (register of semiotic representations) được giới thiệu bởi Duval Khái niệm này gắn liền với giả thuyết rằng quá trình nhận thức toán học diễn ra nhờ vào khả năng nhận ra một đối tượng toán học trong các kiểu biểu diễn khác nhau và nó đòi hỏi sự nối khớp kết hợp các kiểu

biểu diễn này Duval cho rằng một đối tượng toán học thường được nhận thức và trình bày trong nhiều hệ thống biểu đạt ký hiệu khác nhau Tác giả phân biệt hai kiểu chuyển đổi biểu đạt ký hiệu : biến đổi trong cùng một kiểu biểu diễn (treatment) và chuyển đổi từ một kiểu biểu đạt này sang một kiểu biểu đạt khác (conversion) Tác giả cho rằng điều quan trọng là học sinh nhận ra được cùng một đối tượng toán học trong các hệ thống biểu đạt khác nhau và các em có thể thực hiện linh hoạt hai kiểu chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt ở trên

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất và cũng là công cụ nền tảng của Giải tích toán học Theo lý thuyết biểu đạt ký hiệu của Duval, học sinh cần được tiếp cận khái niệm đạo hàm của hàm số trong nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau (hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ) và có khả năng chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt để đạt được việc hiểu ý nghĩa của khái niệm này

Trong nghiên cứu này, chúng tôi vận dụng khía cạnh hệ thống biểu diễn ký hiệu của Duval để thiết kế phiếu học tập và phân tích việc hiểu khái niệm đạo hàm và mối liên hệ giữa đạo hàm với hàm số của học sinh trong các hệ thống biểu đạt khác nhau

2.6 Câu hỏi nghiên cứu

Việc phân tích các vấn đề trong chương 1 giúp chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu Các khía cạnh lý thuyết trong chương 2 định vị cách nhìn khoa học cho chúng tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:

hàm số và đạo hàm trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (đồ thị, đại

số, bảng biến thiên, ngôn ngữ) như thế nào ? Khả năng chuyển đổi qua lại của học sinh giữa các hệ thống biểu đạt khác nhau về hàm số và đạo hàm như thế nào ?

điểm như thế nào ?

Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu

Nghiên cứu này được thực hiện trong ngữ cảnh dạy học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở lớp 12 trên địa bàn thành phố Đông Hà, tỉnh Quảng Trị, tại trường THPT Phan Châu Trinh Thời gian thu thập dữ liệu là vào cuối học kỳ 1 đối với lớp 12 của năm học 2014 - 2015, khi học sinh đã học xong chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương trình

3.2 Phương pháp nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu gồm 20 học sinh ở lớp 12 trường THPT Phan Châu Trinh, thành phố Đông Hà tỉnh Quảng Trị Phần lớn trình độ học sinh ở mức trung bình khá Dữ liệu được thu thập bằng cách sử dụng phiếu học tập Các phỏng vấn cá nhân được thực hiện trong khoảng thời gian sau khi hoàn thành thu thập dữ liệu từ phiếu học tập

Các nhiệm vụ toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được thiết kế dựa trên sự phát triển tư duy học sinh của Aydin & Ubuz (2014, [9],[10]), lý thuyết biểu đạt ký hiệu của Duval, đặc biệt là năng lực chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt như đại số, đồ thị ,ngôn ngữ,bảng biến thiên để phân tích khả năng hiểu khái niệm đạo hàm và mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó ở học sinh

Ngoài dữ liệu là phiếu học tập, chúng tôi còn sử dụng phỏng vấn nửa cấu trúc

để hiểu sâu sắc hơn tư duy của học sinh về đạo hàm, mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó

3.3 Phiếu học tập

3.3.1 Nội dung phiếu học tập

Phiếu học tập gồm 12 bài toán Nội dung chính của phiếu học tập nhằm xem xét khả năng hiểu khái niệm đạo hàm,mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó,năng lực chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt Chuyển đổi giữa đồ thị và đồ thị gồm các bài 1,3,4,8,10 Chuyển đổi giữa đại số và đồ thị gồm bài 2 Chuyển đổi giữa ngôn ngữ và đồ thị gồm bài 5 Chuyển đổi giữa đồ thị và giải tích gồm bài 9 Chuyển đổi giữa đồ thị và bảng biến thiên gồm các bài 11,12 Năng lực giải quyết các bài toán thực tế dựa vào ứng dụng đạo hàm gồm bài 6,7

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm

Trong phần này chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các bài toán đưa ra trong phiếu học tập Mục đích phân tích tiên nghiệm là làm rõ mục tiêu từng bài toán đưa ra, dự kiến các phương án giải của học sinh, những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải trong quá trình trả lời nhiệm vụ toán trong phiếu học tập

Bài toán 1: Đồ thị các hàm số được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình

dưới đây:

Hãy sử dụng kiến thức đã học về tính chất đơn điệu, cực trị của hàm số để nhận

Các bài tập này được thiết kế để học sinh có thể kết nối các tính chất của hàm

số với đạo hàm của nó thông qua trải nghiệm bằng cảm giác, hình ảnh và hành động trên đồ thị Học sinh ghi nhận đồ thị qua trực giác Dựa vào các đồ thị đã cho, học sinh nhận xét về tính tăng (giảm) của đồ thị, giá trị (dương, âm) của từng hàm số tương ứng với mỗi đồ thị, tìm mối liên hệ giữa các đồ thị, từ đó xác định đồ thị nào

đồ thị còn lại Trong bài toán này, nếu học sinh dùng phương pháp loại trừ có thể

học sinh cần nắm được ý nghĩa, đặc biệt về mặt hình học của đạo hàm hàm số trên một khoảng và liên kết chúng với biểu thức hình thức của khái niệm đó

b) Hãy giải thích rõ hơn cách em vẽ được đồ thị đó?

Bài toán này hướng đến khảo sát năng lực chuyển đổi của học sinh từ kiểu biểu diễn đại số sang kiểu biểu diễn bằng đồ thị Năng lực chuyển đổi của hai kiểu biểu diễn này liên quan đến tính liên tục, dấu đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai,cực trị của hàm số, để vẽ đồ thị hàm số Trong bài toán này, mong đợi đa số

1, 4, 7

một,dấu đạo hàm cấp hai với cực trị để biết được hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm nào Năng lực chuyển đổi của học sinh sẽ thể hiện việc hiểu của các em về đạo hàm và mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó

Bài toán 3: Cho đồ thị hàm số y = f(x) là đường cong như hình vẽ dưới đây:

a) Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = f’(x)?

a) b)

c)b) Giải thích cách lựa chọn của bạn?

từ kiểu biểu diễn đồ thị sang kiểu biểu diễn đồ thị liên quan đến mối quan hệ

tăng, giảm của hàm số Từ đó suy ra tính chất của hàm số đạo hàm: nếu hàm

0 0

mong đợi học sinh dể dàng loại trừ đáp án a) Tuy nhiên học sinh sẽ gặp khó khăn khi chọn đáp án b) hoặc c) Muốn làm được điều này học sinh phải biết

tích trên đáp án đúng là b) Đối với bài 4 học sinh có thể phác học được đồ thị

sinh sẽ gặp khó khăn khi kết nối khoảng tăng, giảm cùng với các cực trị của

hàm để chứng minh được yêu cầu của bài toán

+ Hàm số có giới hạn là 1 khi x dần đến dương vô cực và âm vô cực

+ Giới hạn bên trái tại 1 của hàm số bằng dương vô cực, giới hạn bên phải tại 1 bằng âm vô cực

b) Đưa ra một số giải thích cách vẽ đồ thị của em?

biểu diễn ngôn ngữ sang kiểu biểu diễn bằng đồ thị Để làm được bài toán này, học sinh cần hiểu được ngôn ngữ diễn đạt trong từng câu và kết nối chúng lại với nhau để vẽ được đồ thị hàm số

Bài toán 6: Một người cần xây một cái bể kín chứa nước hình trụ có thể tích là

150m3 Đáy bể bằng bê tông giá 100 000đ/m2, thành bể bằng tôn giá 90 000đ/m2, bề mặt bể bằng nhôm giá 120 000đ/m2 Hỏi kích thước của bình chứa nước là bao nhiêu để số tiền xây dựng là ít nhất ?