Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)

Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình sóng cấp hai một chiều ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGỌC LIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CẤP HAI MỘT CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

1 Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouville 3

1.1 Chuỗi Fourier thông thường 3

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 3

1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 4

1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin 4

1.2.1 Khái niệm 4

1.2.2 Sự hội tụ 5

1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2 7

1.3.1 Dãy trực giao 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 8

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville 11

1.4.1 Khái niệm 11

1.4.2 Tính chất 12

1.5 Một số ví dụ về hàm riêng và giá trị riêng cho toán tử vi phân cấp hai trên khoảng hữu hạn 13

1.5.1 Các ví dụ đơn giản 13

1.5.2 Các ví dụ phức tạp hơn 16

2 Phương trình sóng thuần nhất 21 2.1 Bài toán Cauchy đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai và định lý Cauchy- Kovalevskaya 21

2.2 Phương trình sóng một chiều 22

2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất trong R 22

2.4 Công thức d’ Alembert của bài toán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu 25

2.4.1 Công thức d’Alembert cho bài toán Cauchy 25

2

2.4.2 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên

nửa trục khi một đầu thanh được giữ chặt 26

2.4.3 Công thức d’Alembert cho bài toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục khi một đầu thanh để tự do 28

2.5 Công thức d’Alembert của các bài toán biên-giá trị ban đầu trên nửa trục với các điều kiện biên không thuần nhất 30

2.5.1 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Dirichlet 30

2.5.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu dạng Neumann 30

2.6 Năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệm 31

2.6.1 Năng lượng của sóng 31

2.6.2 Tính duy nhất nghiệm 32

2.7 Phương pháp tách biến giải phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn 33

2.7.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai đầu cố định- Bài toán biên Dirichlet 33

2.7.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây 36 2.8 Một số bài toán biên-giá trị ban đầu khác của phương trình sóng trên khoảng hữu hạn 40

2.8.1 Bài toán biên dạng Neumann 40

2.8.2 Bài toán biên dạng hỗn hợp 44

2.9 Bài toán Goursat đối với phương trình sóng 48

2.9.1 Một bài toán Goursat cho phương trình sóng 48

2.9.2 Bài toán giá trị ban đầu đặc trưng cho phương trình sóng 49 2.10 Sóng cầu đối xứng 50

3 Phương trình không thuần nhất- Nguyên lý Duhamel 52 3.1 Nguyên lý Duhamel trong các phương trình không thuần nhất 52

3.1.1 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp một 52

3.1.2 Nguyên lý Duhamel đối với phương trình cấp hai 53

3.1.3 Nguyên lý Duhamel tổng quát 54

3.2 Phương trình sóng không thuần nhất trên trục thực 55

3.3 Phương trình sóng không thuần nhất trên nửa trục thực 57

3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn-Phương pháp tách biến 59

3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất 59

3.4.2 Trường hợp điều kiện không biên thuần nhất 64

3

4 Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóng 684.1 Các khái niệm 684.2 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng 69

Tài liệu tham khảo 76

4

Mở đầu

Phương trình sóng là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của

lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng và vật lý toán Phương trình sóng rất

đa dạng, sóng âm, sóng nước, sóng điện từ, sóng đàn hồi, v.v , và thuộc dạnghyperbolic Các bài toán đối với các phương trình thuộc dạng hyperbolic thường

là rất khó, nhất là các phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến Do tính phức tạpnói trên, nên nhiều tính chất quan trọng và lý thú của nghiệm các phương trìnhsóng chủ yếu được phát hiện đối với phương trình sóng cấp hai và có số chiều thấp.Trong thực tế có nhiều hiện tượng của cơ học và vật lý được mô tả dưới dạngphương trình sóng tuyến tính cấp hai một chiều Do đó việc tìm hiểu sâu hơn vềphương trình sóng thông qua phương trình sóng cấp hai một chiều là cần thiết Đóchính là đề tài học tập và nghiên cứu của luận văn này

Bố cục của luận văn gồm phần Mở đầu, bốn chương nội dung chính, Kết luận

và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Chuỗi Fourier và các bài toán Sturm-Liouvill

Chương này trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết cho các vấn đề được đề cập tớitrong luận văn, đó là vấn đề về chuỗi Fourier và khai triển vào chuỗi Fourier theocác hàm riêng của các bài toán Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng trong phươngpháp tách biến giải các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng

Chương 2: Phương trình sóng thuần nhất

Chương này trình bày về phương trình sóng cấp hai một chiều thuần nhất Vấn đềchính của chương này là trình bày công thức d’ Alambert biểu diễn nghiệm của bàitoán Cauchy và của các bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng cấphai trên nửa trục Tiếp đó, trình bày năng lượng của sóng và tính duy nhất nghiệmcủa phương trình sóng, trình bày phương pháp tách biến giải các bài toán biên củaphương trình sóng trên khoảng hữu hạn Vận dụng công thức d’ Alambert, tìmnghiệm của một số bài toán Goursat đối với phương trình truyền sóng

Chương 3: Phương trình sóng không thuần nhất-Nguyên lý DuhamelChương này trình bày nguyên lý Duhamel giải các phương trình tuyến tính khôngthuần nhất trên cơ sở biết công thức nghiệm của phương trình thuần nhất tương

1

ứng Tiếp đó, trình bày cách giải các phương trình sóng không thuần nhất trêntrục thực, trên nửa trục và trên một khoảng hữu hạn.

Chương 4: Phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình sóngNội dung của luận văn này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1-6] dưới sựhướng dẫn tận tình và nghiệm khắc của Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học,Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Em cũng chân thành cảm ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại họckhoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đãtận tình giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Liên

2

1.1 Chuỗi Fourier thông thường

1.1.1 Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm f ∈ L1[−π, π], nghĩa làf khả tích Lesbesgue trên[−π, π], ta định nghĩachuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau

Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2π, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tựnhư trên Trong đó các hệ số ak, bk được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a, a + 2π].

Nếu f tuần hoàn với chu kỳ 2l, bằng phép đổi biến t = πxl , ta đưa về trườnghợp tuần hoàn với chu kỳ 2π

Để ý rằng vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (1.2) tồn tại

1.1.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Ta nói hàm f (x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên một khoảng hữu hạn, nếu

nó có biến phân hữu hạn và có một số hữu hạn các điểm cực trị trên khoảng đó.Định nghĩa 1.1 ( Điều kiện Dirichlet).Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xácđịnh trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet

(i) Tồn tại f (a+), f (b−) và f có biến phân bị chặn trên [a, b].

(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn[a, b] sao cho khi bỏ đi các lâncận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lạicủa đoạn [a, b], hơn nữa f ∈ L1(a, b).

f x+
+ f x−
 nếuxlà điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về 12f −π+
+ f π−


tại x = ±π nếu f π−
và f −π+
tồn tại

1.2 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier- Sin

1.2.1 Khái niệm

Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Ta định nghĩa f

trên (−π, 0) bằng công thức f (x) = f (−x)

Khi đó, f ∈ L1[−π, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π)vì vậy có thể

áp dụng kết quả phần trên Ngoài ra, do f là hàm chẵn

a 0 = 2π

Định lý 1.2 Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Khi đó

ta có chuỗi cosin

1 π

Ví dụ 1.1 Cho f (x) = x2, −π ≤ x ≤ π ta khai triển f thành chuỗi Fourier nhưsau

Ngoài ra, f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π), f bị chặn, f (−π) = f (π)

nên do các định lý 1.1 và 1.4, ta có chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f từng điểmtrên [−π, π], sự hội tụ này là đều Vậy, với x ∈ [−π, π], thì

Ví dụ 1.2 Cho f (x) = x, −π ≤ x ≤ π.

Ta có

an = 0, n = 0, 1, 2, do f lẻ,

bn = 2π

1.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L2

1.3.1 Dãy trực giao

Xét không gian L2 các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π]

Trong L2, dãy hàm {ϕ n |n ∈N} được gọi là một hệ trực giao nếu

Luậ n vậ n đậ y đu ở file:Luậ n vậ n Full