Một số bài toán về các điểm, các đường thẳng đặc biệt trong tam giác file word có lời giải chi tiết

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC A.. ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán về viết phương t

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC

A PHẦN MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán về viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ các đỉnh của đa giác trong hình học phẳng là một trong những bài toán rất quan trọng, trong đó bài toán viết phương trình các cạnh, xác định tọa độ đỉnh của tam giác khi biết các yếu tố liên quan là bài toán cơ bản rất hay ra trong các sách nâng cao, đề thi chuyên đề, đề thi đại học, cao đẳng Đây là câu phân loại lấy điểm cao trong đề thi THPT quốc gia Trong các sách tham khảo hiện nay có một số bài toán đơn lẻ về các đường, các điểm đặc biệt trong tam giác mà chưa hệ thống thành phương pháp chung để giải các dạng bài tập này Chính vì vậy bài viết này của tôi nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán liên quan về các đường đặc biệt, các điểm đặc biệt trong tam giác, đưa ra phương pháp giải cho mỗi dạng toán cụ thể qua đó giúp thầy và trò hệ thống, củng cố kiến thức, có cái nhìn thấu đáo về tính chất của các đường, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác Từ đó trang bị kiến thức để làm được các bài tập về phương trình đường thẳng có liên quan đến các đường, điểm đặc biệt trong tam giác trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới

II Cơ sở lý luận

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

• Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

• Bước 2: Xây dựng thuật giải

• Bước 3: Thực hiện thuật giải

• Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Trang 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học phẳng là hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng các tính chất của các đường trong tam giác, tính chất đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, tính chất đối xứng học sinh đã được học từ cấp II, kiến thức về hình học mà học sinh học ở lớp 10 để giải các bài tập có liên quan Một số tính chất hình học đặc biệt

III Cơ sở thực tiễn

Bài toán hình học phẳng là bài toán khó đối với học sinh, kể cả học sinh đang học lớp 10 hay học sinh ôn thi THPT quốc gia Vì vậy việc hệ thống thành các dạng bài tập với phương pháp giải cho từng dạng là việc rất quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải các bài tập dạng này

Trang 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

B PHẦN NỘI DUNG

I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ

1 Biểu thư ́ c to ̣a đô ̣ về các phép toán trong vectơ

*) Trong mặt phẳng to ̣a đô ̣ Oxy, cho a=( )x y b; ; =(x y'; ') Khi đó:

2 Phương tri ̀nh đường thẳng

a) Phương tri ̀nh tổng quát của đường thẳng

- Vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng là vectơ khác 0, có giá vuông góc với đường thẳng

- Đườ ng thẳng d qua M x y( 0; 0), có VTPT n=( )a b; ( 2 2 )

0

a +b  có phương trình tổng quát: a x( −x0) (+b y−y0)= 0 1( )

b) Phương tri ̀nh tham số của đường thẳng

- Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là vectơ khác 0, có giá song song hoă ̣c trù ng với đường thẳng

Trang 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

3 Mối quan hê ̣ giữa VTPT và VTCP của cùng mô ̣t đường thẳng:

Nếu đườ ng thẳng d có phương trình tổng quát: ( 2 2 )

ax by+ + =c a +b  thì đường thẳng d có VTPT là n=( )a b; , suy ra VTCP củ a đường thẳng d là u= −( b a; ) hoặc ( ; )

u= b −a Điều ngươ ̣c la ̣i cũng đúng Tức là đường thẳng d có VTCP là u=( )a b; thì VTPT củ a đường thẳng d là n= −( b a; ) hoặc n=(b; −a)

4 Điểm M thuô ̣c đường thẳng d: 0 ( ) ( )

5 Vi ̣ trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng có 3 vi ̣ trí tương đối:

- d//d’

- dd'

- d cắ t d’ ( đặc biê ̣t d⊥d')

➢Lưu ý:

- Hai đươ ̀ ng thẳng song song thì cùng VTPT, cùng VTCP

- Hai đươ ̀ ng thẳng vuông góc thì VTPT của đường thẳng này là VTCP của đường thẳng kia

6 Go ́ c và khoảng cách

- Khoảng cách giữa hai điểm M x y( 1 ; 1) (;N x y2 ; 2)là: ( ) (2 )2

Trang 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

➢Lưu ý: Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng ta ̣o ra 4 góc Khi đó phương trình các

đường phân giác của góc ta ̣o bởi hai đường là:

II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CÁC ĐIỂM, CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT

TRONG TAM GIÁC

2.1 Các đường đặc biệt trong tam giác

Một số lưu ý:

i) Bài toán có yếu tố đường cao Sư ̉ du ̣ng tính chất vuông góc

ii) Bài toán có yếu tố đường trung tuyến  Sư ̉ du ̣ng tính chất trung điểm

iii) Bài toán có yếu tố đường phân giác hoặc đường trung trực  Sư ̉ du ̣ng tính chất đối xứng

Bài 1.[Trích đề thi đại học khối D năm 2011]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x− − =y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C

Phân tích hướng giải:

- Khai thác tính chất:

3

BM = GM với M là trung điểm

AC suy ra M

- Khai thác tính chất đối xứng của

phân giác ta xác định điểm B là '

điểm đối xứng của B qua phân giác

góc A Từ đó viết được phương trình

Hướng dẫn

Trang 6 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

Gọi '( ; )B a b là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x− − =y 1 0 của góc A Ta

có BB’ vuông góc với d và trung điểm I của BB’ thuộc d nên tọa độ B’ là nghiệm của

Bài 2 [Trích đề thi Đại học khối B-2010]

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình: x+ − =y 5 0 Viết phương trình BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Phân tích hướng giải:

-Khai thác tính chất đối xứng của đường phân giác ta xác định điểm D đối xứng với C qua đường phân giác trong góc A

-Khai thác tính chất tam giác vuông tại A nên A thuộc đường tròn đường kính CD

-Khai thác giả thiết diện tích ta có AB 2S ABC

Trang 7 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

B thuộc AD :x =4 suy ra (4; )B y ta có (y −1)2 =36 suy ra (4;7)B hoặc (4; 5)B −

Do d là phân giác trong nên AB A, D cùng hướng suy ra (4;7)B

Do đó phương trình BC: 3x−4y+16=0

Bài 3 [Trích đề thi đại học khối B năm 2008]

Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên AB là H − −( 1; 1), đường phân giác trong góc A có phương trình x− + =y 2 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y− = 1 0

Phân tích hướng giải:

-Khai thác tính chất đối xứng qua đường phân giác ta tìm được điểm H’ đối xứng với H qua phân giác góc A

-AC đi qua H’ và vuông góc với d:4x+3y− =1 0 Từ đó xác định tọa độ A

-Đường AC đi qua H’ và vuông góc với d2 nên có pt: 3x−4y+13=0

Khi đó ta có tọa độ A là nghiệm của hệ 3 4 13 0 ( )5;7

Trang 8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + − = y 1 0 Khoảng cách từ C đến  gấp

3 lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung

Phân tích hướng giải

-Khai thác yếu tố C thuộc Oy và d(C, )=3d(B, ) suy ra tọa độ C

-Tìm điểm B’ đối xứng với B qua phân giác 

Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với  suy ra C(0;-8)

Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua  thì B’nằm trên AC

Bài toán: Xác định tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tâm đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp, bàng tiếp, trọng tâm, trực tâm và các điểm đặc biệt trong tam giác

Trang 9 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

Nhận xét: Bài toán kết hợp giữa tâm các đường, các điểm đặc biệt trong tam giác là bài

toán khó và phần lớn xử lý được các toán này ta phải xuất phát từ tính chất hình học của tam giác Dưới đây tôi trình bày một số tính chất của hình học phẳng cần áp dụng với loại toán này dưới dạng bổ đề

Kí hiệu: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, G là trọng

tâm, J là tâm đường tròn nội tiếp

Bổ đề 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, gọi M là trung điểm BC và trực

tâm H, J là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm tam giác ABC, A1 là giao điểm của AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC, A2 là điểm đối xứng của A qua I, H1 là điểm đối xứng của H qua BC

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BHCA 2 là hình bình hành và M là trung điểm HA 2

b) AH =2IM

c) Ba điểm I, H, G thẳng hàng và IH =3IG

d) Hai tam giác A 1 JB, A 1 JC cân tại A 1

e) H 1 thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC

f) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua BC

Chứng minh

Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

 và I, M lần lượt là trung điểm của HA2, AA2 nên IM là

đường trung bình của tam giác AHA2  AH =2IM  AH =2IM

e)Ta có tam giác HBH1 cân tại nên CH H1 =CHH1 (1),

ta có BCH =BAH (2) (vì cùng phụ với ABC ) mặt khác ta có

0

CHH +BCH =BAH+CBA= CHH =CBA

Từ (1), (2) suy ra CH H1 =CBA suy ra H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC f) Từ e) suy ra tam giác HBC và tam giác H1BC đối xứng nhau qua đường thẳng BC suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác H1BC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) qua BC

Vận dụng tính chất trên ta xét một số bài tập được khai thác trong các dề thi đại học,

đề thi HSG, đề thi thử THPT quốc gia của một số trường sau đây:

Bài 1 [Trích đề thi đại học khối D-2010]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương

H(3;-Phân tích hướng giải:

Trang 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

-Khai thác bổ đề 1b) AH =2IM suy ra

tọa độ M (M là trung điểm BC)

-BC vuông góc với AH, BC đi qua M

nên viết được phương trình BC, C

thuộc đường tròn tâm I

A

H

M I

C B

2

M

M M M

x

x

y y

Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH nên có phương trình: y – 3=0

Tọa độ C(x;y) là nghiệm của hệ phương trình

Bài 2 [Trích đề thi học sinh giỏi khối 10 Vĩnh Phúc-2013-2014]

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là ( ) 11 1

Trang 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

- Viết pt BH qua H, M suy ra

toạ độ điểm B suy ra N

A

- Viết pt AC (qua N, vuông góc với BH)

- Viết pt đường tròn (I, IA) từ đó suy ra A, C

AC đi qua N( )5;1 và có VTPT n=IN =( )1;1 suy ra AC có phương trình x+ − =y 6 0.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I( )4;0 , bán kính R=IB= 10 nên có phương trình: ( )2 2

x− +y =

Suy ra tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

Bài 3 [Trích đề thi học sinh lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015]

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trung điểm của cạnhBC

là điểmM(3; 1 − ), đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm E − −( 1; 3) và đường thẳng chứa cạnh ACđi qua điểm F( )1;3 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D(4; 2 − )

Phân tích hướng giải:

-Chìa khoá của bài toán là khai thác bổ

đề 1a) chứng minh được BDCH là

hình bình hành suy ra tọa độ H

-Viết pt BH,

-Viết pt AC, DC suy ra tọa độ C

-M là trung điểm BC nên suy ra B

-A= AHAC

M H

Trang 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A( ) (2;2 ,B 1; 1 , 5; 1− ) ( − )

Bài 4 [Trích đề thi chuyên đề Trần Phú 2014-2015]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H 1; 1( − ), tâm đường tròn ngoai tiếp I Gọi K, N lần lượt là hình chiếu của C và B trên AI Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết 22 6 ( )

K ; , N 2; 2

5 5

  và điểm I có tọa độ nguyên

Phân tích hướng giải:

-Gọi D là giao của AI và đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, khai thác bổ

;-5),N(2;-2)

K N

M

H I

D

C B

Trang 15 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

b loai 2

+) Vì M là trung điểm BC nên C 5; 3( − )

+)Vì I là trung điểm của AD nên A(-1;-3)

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường tròn

tâm I(6;6), ngoại tiếp đường tròn tâm J(4;5) Xác định tọa độ B, C biết A(2;3)

Phân tích hướng giải:

-Từ giả thiết viết được phương trình

đường tròn ngoại tiếp ABC

-Khai thác bổ đề 1d) suy ra B, C thuộc

C B

D

Hướng dẫn

Ta có IA=5, do đó phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:

( ) : (C x−6)2 +(y−6)2 =25

Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

nên tam giác DJC cân tại D

Tương tự ta có tam giác DJB cân tại D

Suy ra B, C là giao của (C) và (C1) Vậy tọa độ B, C là nghiệm của hệ

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có thể khai thác tính chất với cách ra đề khác như sau:

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(3;5), ngoại

tiếp đường tròn tâm K(1;4) và F(11;14) là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC Viết phương trình đường thẳng BC và tìm tọa độ A

Phân tích hướng giải:

-Gọi D là giao của AK và đường tròn

ngoại tiếp ABC Khai thác bổ đề 1d)

suy ra DB=DC=DK

-Gọi P là trung điểm KF ta chứng minh

được PB=PC=PK=KF/2 suy ra P trùng

D

Khi đó B, C là giao của đường tròn

ngoại tiếp ABC và đường tròn đường

kính KF

-A là giao điểm của đường tròn ngoại

tiếp ABC và đường thẳng KF

A

K

F

M I

C B

D

Hướng dẫn

Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

-Gọi D là giao của AK và đường tròn ngoại tiếp ABC ta chứng minh được

2

A C DCK =DKC = +

nên tam giác DCK cân tại D, tương tự chứng minh được tam giác DBK cân tại D suy ra DB=DC=DK suy ra D là giao điểm của KF và trung trực của BC.(1)

-Gọi P là trung điểm KF ta có tam giác KCF vuông tại C nên PC=PK=PF, tam giác

BKF vuông tại B nên PB=PK=PF do đó

Ta suy ra D là trung điểm KF nên D(6;9)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2

Vậy A(-1;7) vì (A(6;9) D loại)

Bài 7 [Trích đề thi THPT quốc gia 2015-Chuyên Vĩnh Phúc]

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho tam giác ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là

3x+ 5y− = 8 0, x− − =y 4 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại

Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có

lời giải

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D(4; 2 − ) Lập phương trình các đường

thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3

Phân tích hướng giải:

-Xác định được trung điểm M của BC

-AD⊥BCnên viết được pt AD đi qua D

-Xác định được tọa độ điểm K là giao của

AD và BC

-Khai thác bổ đề 1e) chỉ ra được K là trung

điểm DH suy ra tọa độ H

-Xác định được tọa độ điểm A là giao của

H

D

C B

A

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và

AD Ta kí hiệu n d,u d lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là giao điểm của

AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: