Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn .... 2 a Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.. 4 DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊ
Trang 21
CHƯƠNG VI
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn 2
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 2
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian: 2
2 Góc và cung lượng giác 3
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng 3
c) Hệ thức Sa-lơ 3
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 4
1 Phương pháp giải 4
2 Các ví dụ minh họa 4
3 Bài tập luyện tập 9
Trang 32
CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi
tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số
đo của cung và góc
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính R có số đo a(0£ a £ 2p), có số đo a0 (0£ £a 360) và có độ dài là l
thì:
180
a
l= R a = p R do đó
180
a a
p =
Trang 43
Đặc biệt:
0 0
180
180
p
æ ö÷
ç
= çç ÷÷÷ =
2 Góc và cung lượng giác
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta
quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng
chiều kim đồng hồ là chiều âm)
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt ,
đường tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om
chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi
đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn
• Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với
tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia
đầu là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu (Ou Ov, )
• Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với
điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối
V Kí hiệu là UV
þ
• Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 360 0
(hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600= 7200 (hay 4p), quay theo
chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc - 900(hay
2
p
- ), quay theo chiều
âm ba vòng bốn phần bảy(25
7 vòng) thì nói nó quay góc
0 25 360 7
50
7
p
• Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou Ov, ) là số đo của cung lượng giác UV
þ
c) Hệ thức Sa-lơ
• Với ba tia Ou Ov Ow tùy ý ta có: , ,
Sđ(Ou Ov +, ) Sđ(Ov Ow =, ) Sđ(Ou Ow, )+ k2p (kÎ Z)
Sđ(Ou Ov -, ) Sđ(Ou Ow =, ) Sđ(Ow Ov, )+ k2p (kÎ Z)
• Với ba điểm tùy ý , ,U V W trên đường tròn định hướng ta có :
SđUV +
þ
SđVW =
þ
SđUW kþ + 2p (k ZÎ )
-+
u
v
m M
V O
U
Trang 54
SđUV-þ
SđUW =
þ
SđWVþ + k2p (k ZÎ )
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC
1 Phương pháp giải
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo 0
a (hay a rad) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng
360
a + k (hay a+ k2p rad , k ZÎ ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc 720 ra rađian:
A.2
5
p
5
p
C 2
3
p
D 4
5
p
b) Đổi số đo của các góc 600 ra rađian: 0
A.10
3
p
3
p
C 10
7
p
D 14
3
p
c) Đổi số đo của các góc - 37 45' 30''0 ra rađian:
d) Đổi số đo của góc 5
18
p
sau ra độ:
Trang 65
e) Đổi số đo của góc 3
5
p
sau ra độ:
f) Đổi số đo của góc - 4sau ra độ:
2260 48'
220 48'
226 48'
260 48'
-Lời giải:
a) Vì 0
1
180rad
p
p
æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷
- = - - çç ÷÷÷ - çç ÷÷÷ = çç ÷÷÷ = »
b) Vì
0
180
1rad
p
æ ö÷
ç
= çç ÷÷÷
è ø nên
= çç ÷÷÷ = = çç ÷÷÷ =
0
- = - çç ÷÷÷ = - çç ÷÷÷ »
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a) 3
4
p
b) 51 0
c) 1
3
Trang 76
Lời giải:
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có
180
a
l= R a = p R nên
4
l= R a = p = p» m
a
l= p R= p = p » m
3
l= R a = = m
Ví dụ 3: Cho hình vuông A A A A0 1 2 4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp
theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ) Tính số đo của các cung lượng giác
0 i
A A
þ
, A A i j
þ
( ,i j= 0,1,2,3,4,i¹ j)
Lời giải:
Ta có ·
A OA = nên sđA A0 0 = k p2
þ
, k ZÎ
·
2
2
A A = p+ k p
þ
, k ZÎ
·
A OA = p nên sđA A0 1= p+ k2p
þ
, k ZÎ
·
2
A A = p- p+ k p= p+ k p
þ
, k ZÎ
2
i
i
A A = p+ k p
þ
, i = 0,1,2,3, k ZÎ
Theo hệ thức salơ ta có sđA A i j
þ
=sđA A0 j
þ
- sđA A0 i
þ
2
k p
2
j i p k p
= - + , k ZÎ
O
A0
A1
Trang 87
Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou Ov, ) với 0£ a £ 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 33
4
p
A.
4
p
4
p
C 11
4
p
D 7
4
p
b) 291983
3
p
A.
3
p
5
p
C
7
p
D
6
p
c) 30
Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 33 2 ,
p p
p
p p
Suy ra 33 ( )4 2
a = + - p=
b) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 291983 2 ,
p p
p
p p
Trang 98
,
Suy ra 291983 48664.2
c) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 30+k2 ,p k ZÎ
Vì 0£ a £ 2p nên 0 30 k2p 2 ,p k Z 0 15 k 1,k Z
p
Suy ra a = 30+ -( )4 2p= 30 8- p» 4,867
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo
7
p
- Trong các số
- - , những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
A 29 ; 41
p
p
Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
p
æ ö÷
ç
- - -çç ÷÷÷=
22
3
p
p
æ ö÷
ç
- - -çç ÷÷÷=
6
p
æ ö÷
ç
- -çç ÷÷÷=
41
3.2
p
æ ö÷
ç
- -çç ÷÷÷=
nên các số 29 ; 41
- là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc
đã cho
Ví dụ 6: Cho sđ(Ou Ov, )= a và sđ(Ou Ov', ')= b Chứng minh rằng hai góc hình học , ' '
uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b- a = k2p hoặc b+ a = k2p với k ZÎ
Trang 109
Lời giải:
Ta có sđ(Ou Ov, )= a và sđ(Ou Ov', ')= b suy ra tồn tại a0,p< a0£ p, f0,p< b0£ p
và số nguyên k l0, 0 sao cho a = a0+ k02 ,p b = b0+ l02p
Khi đó a0 là số đo của uOv· và
0
b là số đo của u Ov·' '
Hai góc hình học uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi , ' ' 0 0 0 0
a b
ê
-ë
Û b- a = k2p hoặc b+ a = k2p với k ZÎ
3 Bài tập luyện tập
Bài 6.0: a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 20 ( chính xác đến 0,001 ) 0
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 40 25' ( chính xác đến 0,001 ) 0
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: - 270.( chính xác đến 0,001 )
A 0, 471- B 0,477- C 0, 432- D 0, 472
-b) Đổi số đo của góc sau ra độ:
17
p
A 10 35' 58'' 0 B 10 3'58'' 0 C 10 6'58'' 0 D 10 35'8'' 0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ: 2
7
p
-
A - 51 24'7''0 B - 5 24'9''0 C - 51 4'9''0 D - 51 24'9''0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ: 5-
A - 286 28' 4''0 B - 286 2' 44''0 C - 28 28' 44''0 D - 286 28' 44''0
Trang 1110
Lời giải:
Bài 6.0: a) 200» 0,349, 40 25'0 » 0,705, - 270» - 0,471
10 35' 58'', 51 24'9'', 5 286 28' 44''
-Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo 39
7
p
và 9
mp
(m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu,
tia cuối được không?
Lời giải:
Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó 39 2
m
k
p
7
Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí
Vậy hai góc lương giác 39
7
p
và 9
mp
(m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối
Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a) 3
7
p
b) 49 0
Trang 1211
c) 4
3
A.33,333m B 33,673m C 33,443m D 33,356m
Lời giải:
Bài 6.2: a) Ta có 25.3 33,66
7
l= R a = p » m
a
l= p R= p » m
c) Ta có 25.4 33,333
3
l= R a = » m
Bài 6.3: Tìm số đo a của góc lượng giác 0 (Ou Ov, ) với 0£ £a 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 395 0
b) - 10520
c) (20p)0
A (31p)0 B (25p)0 C (29p)0 D (20p)0
Lời giải:
Bài 6.3: a) 35 0 b) 28 0 c) (20p)0