TÍCH vô HƯỚNG một số ỨNG DỤNG của TÍCH vô HƯỚNG file word

b Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường tròn C với đường thẳng AB và E, F lần lượt là giao điểm của D với đường tròn đường kính AB.. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Tích vô hướng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Sau đây chúng ta tiếp cận

những ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học

I CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC

uuur uur uuur uur uur uuur uuur

b) Giả sử P là điểm được xác định bởi B P = yB C

N

P

Hình 2.11

uuur uuur uuur uuur

Gọi I là giao điểm của AM và CN Chứng minh rằng

Vì tam giác A BC đều nên A B = A C A B A C, = A B A C .cosA = 1A B2

2uuur uuur

ìïïìï

(2

)2

I G

Hình 2.12

Bài 2.98: Cho tam giác A BC vuông cân tại đỉnh A Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy

các điểm M, N, E sao cho A M BN CE

MB = NC = EA Chứng minh rằng A N ^ ME

Bài 2.99: Cho tam giác đều A BC , độ dài cạnh là 3a Lấy M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a CN, = 2 ,a A P = x Tính x để AM

Bài 2.101: Cho hình thang vuông A BCD có đường cao A B = 2a, đáy lớn

BC = 3a, đáy nhỏ A D = a I là trung điểm của CD Chứng minh rằng

A I ^ B D

Bài 2.102: Cho tứ giác lồi A BCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi H

và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO Và I, J lần lượt là trung điểm AD

và BC Chứng minh rằng HK vuông góc với IJ

Bài 2.103: Cho tam giác A BC cân tại A Gọi H là trung điểm của BC D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD Chứng minh rằng A M vuông góc với

DB

Bài 2.104: Cho tam giác A BC không cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác

A BC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A', B' và C' Gọi P là giao điểm của BC với B'C' Chứng minh rằng IP vuông góc AA'

Bài 2.105: Cho tam giác A BC có A B = 4,A C = 8 và µ

Bài 2.106: Cho tam giác A BC có BC = a CA, = b A B, = c và G là trọng tâm ,

I là tâm đường tròn nội tiếp Tìm điều kiện của a b c, , để IG vuông góc với IC

Bài 2.107 : Tứ giác A B CD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,

P là trung điểm của đoạn thẳng AD Chứng minh rằng :

MP ^ BC Û MA MC = MD MB

uuur uuur uuur uuur

Bài 2.108: Cho tam giác A BC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Qua A

vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P

và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tyến AM của A BC

Ta có MA MGuuur uuur = MA MG .cos(MA MGuuur uuur; )£ MA MG.

Tương tự MB GB ³ MB GB MC GCuuur uuur ; ³ MC GCuuur uuur

Suy ra MA GA + MB GB + MC GC ³ MA GAuuur uuur + MB GBuuur uuur + MC GCuuur uuur

Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC

Do đó cos A cos B cos C p

Ví dụ 2: Cho tam giác A BC và điểm M bất kỳ Chứng minh rằng

cosA.MA+ cosB MB + cosC MC ³ a+b+ c

Lời giải (2.13)

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A BC

Do đó cosA.MA + cosB.MB + cosC.MC ³ a+ b+ c

O A'

B'

C'

Hình 2.13

Ví dụ 3: Cho tam giác A BC với G là trọng tâm Qua điểm O bất kỳ nằm trong tam giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC tại các điểm A', B', C'

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng với O

Vậy với M trùng với O thì m MA a '+ m MB b '+ m MC c ' đạt giá trị chỏ nhất

Ví dụ 4: Cho tam giác A BC và và ba số thực x y z, ,

Chứng minh rằng x2 + y2+ z2 ³ yzcosA + zxcosB + xycosC

(x y z r) r xy[ cos( C) yzcos( A) zxcos( B) ]

Bài 2.109: Cho tam giác A BC và ba số thực x y z, , Chứng minh rằng:

yzcos A + zxcos B + xycos C £ - 1(x2+ y2+ z2)

Bài 2.110: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O) Tìm trên đường

tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất

Bài 2.111: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi là góc a giữa hai trung tuyến BD và

CK Tìm giá trị nhỏ nhất của cosa

Bài 2.112: Cho M là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng tam giác ABC Tìm giá trị

Bài 2.115: Cho tam giác A BC Chứng minh rằng

Bài 2.117: Cho tam giác A BC nhọn Tìm điểm M sao cho

MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2.118: Cho đa giác lồi A A1 2 A n (n ³ 3 ), e ,i i = 1,n

ur

, O là điểm bất kỳ nằm trong đa giác.Gọi B i là hình chiếu điểm O lên A i A i+1 Chứng minh rằng với mọi điểm

Bài 2.121: Cho tam giác A BC , tìm vị trí điểm M để

Bài 2.124: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn A BC ta luôn có

cos2A+ cos2B+ cos2C ³ 6cos cos cosA B C

Bài 2.125: Cho tam giác A BC Chứng minh rằng :

sin A sin B sin C

4 b) sinA+ sinB+ sinC £ 3 3

e) cosA + cosB + cosC £ 3 3

2 2 2 2 f) cosA.cosB.cosC £ 3 3

IV KHÁI NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG

1 Phương pháp giải

a) Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định Một đường thẳng

thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B Chứng minh rằng

MA MB = MO2 - R2

uuur uuur

Chứng minh: Vẽ đường kính BC của đường tròn (O;R) Ta có MAuuur là hình

chiếu của MCuuur lên đường thẳng MB Theo công thức hình chiếu ta có

Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:

b) Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B Khi đó

MA MB = MO2 - R2

uuur uuur

là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của

điểm M đối với đường tròn (O;R), kí hiệu là P M/( )O

Chú ý: Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT Khi đó

P M ( )O = MT2 = MO2 - R2

/

c) Các tính chất:

• Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M Điều kiện cần và đủ

để bốn điểm A B C D, , , nội tiếp được đường tròn là

C M

D

A M C

M

O C

M

Hình 2.14

.

uuur uuur uuur uuur

(hayMA MB = MC MD )

• Cho đường AB cắt đường thẳng D ở M và điểm C trên đường thẳng

D (C ¹ M) Điều kiện cần và đủ để D là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC tại C là MA MB = MC2

phương tích từ điểm H tới đường tròn (C)) (1)

Tương tự tứ giác A CA C' ' nội tiếp được nên

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố

định ở bên trong đường tròn đó Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi

qua điểm P và vuông góc với nhau

B' C'

Hình 2.17

P O

C

E F

không phụ thuộc vị trí điểm P

Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng D vuông góc với AB ở

H(H ¹ A H, ¹ B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần lượt cắt D ở M', N'

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn (C) nào đó

b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định

Lời giải(hình 2.19)

a) Vì M HB·' = M MB·' = 900 nên tứ giác B HM M' nội tiếp được suy ra

A H A Buuur uuur = A M A Muuuur uuuur (1)

Tương tự Vì N HB·' = N NB·' = 900 nên tứ giác

Từ (1) và (2) suy ra A M A Muuuur uuuur' = A N A Nuuuur uuur'

Suy ra bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường

tròn

Δ

P F

E M' H

A

B M

N N'

Q

b) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng AB và E, F lần lượt là giao điểm của D với đường tròn đường kính AB

Khi đó ta có A P A Q = A M A M '= A H A B

uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

Mặt khác A H A Buuur uuur = (A Euuur + EH A Buuur uuur) = A E A Euuur uuur.( + EBuuur)= A E2

và

A H A Buuur uuur = A Fuuur + FH A Buuur uuur = A F A Fuuur uuur+ FBuuur = A F2

Suy ra A P A Quuur uuur = A E2 = A F2

Do đó P, Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF ở E, F

Vì (S) là đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C)

Ví dụ 4: Cho tam giác A BC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R Giả sử M

là điểm di động trong đường tròn (O) Nối AM, BM, CM lần lượt cắt (O) tại A', B', C' Tìm tập hợp điểm M sao cho

uuur uuur uuur uuur

Bài 2.126: Trong đường tròn tâm (O;R) cho hai dây cung AA' và BB' vuông góc với

nhau tại S Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng SM ^ A B' '

Bài 2.127: Cho hai đường tròn (O) và (O'); AA', BB' là các tiếp tuyến chung ngoài

của chúng đường thẳng AB' theo thứ tự cắt (O) và (O') tại M, N Chứng minh rằng

'

Bài 2.128: Cho tam giác A BC không cân tại A; AM, AD lần lượt là trung tuyến, phân giác của tam giác Đường tròn ngoại tiếp tam giác A MD cắt AB, AC tại E, F Chứng minh rằng B E = CF

Bài 2.129: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay

quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định

Bài 2.130: Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm trong đường tròn Giả sử

AB là dây cung thay đổi luôn đi qua P Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt nhau tại C Tìm tập hợp điểm C

Bài 2.131: Cho đường tròn (O) đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB Từ

điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và

D Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2.132: Cho đường tròn đường kính AB, H là điểm nằm giữa AB và đường thẳng

D vuông góc với AB tại H Gọi E, F là giao điểm của đường tròn và D Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AE và đường tròn (C) bất kì qua H, B Giả sử hai đường tròn

đó cắt nhau tại M và N, chứng minh rằng AM và AN là hai tiếp tuyến của (C)

Bài 2.133: Cho hai đường tròn đồng tâm O là (C1) và (C2)( (C2) nằm trong (C1)) Từ một điểm A nằm trên (C1) kẻ tiếp tuyến AB tới (C2) AB giao (C1)lần thứ hai tại C D là trung điểm của AB Một đường thẳng qua A cắt (C2) tại E, F sao cho đường trung trực của đoạn DF và EC giao nhau tại điểm M nằm trên AC Tính A M

MC ?

Bài 2.134: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm

trong (O)) Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q PA, PB lần lượt là giao (O) lần thứ hai tại D, C Chứng minh rằng CD luôn đi qua điểm cố định

Bài 2.135: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O R1; 1) và (O R2; 2) Tìm tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy A M vuông góc với DB

Bài 2.104: Gọi H là giao điểm của AI với B'C' Xét tích vô hướng của hai

vectơ PI A A ' = PI A I( + IA') (= PH + HI A I) + (PA'+ A I IA' ) 'uur uuur uur uur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur

uuur uuur uuuruuur uuur

uuur uuur uuur

10

Suy ra IG vuông góc với IC khi và chỉ khi IG IC = 0

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Suy ra MP ^ BC Û MP BC = 0 Û MA MC = MB MD

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

C2: Gọi H là giao điểm của MP và BC

Û tứ giác A B CD nội tiếpÛ MA MC = MD MB

uuur uuur uuur uuur

Bài 2.109: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp DA B C , ta có:

uuur

• T lớn nhất Û cosa = 1Û MO

uuur cùng hướng OH

4Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD= CK khi và chỉ khi tam giác A BC

vuông cân tại đỉnh A

Vậy min cos a = 4

Lấy E, F trên AB, AC sao cho A E = A F = 1

Dựng hình thoi A ESF ta có A S = 2cosA

Bài 2.114: Ta có (x GA.uuur+ y GB.uuur + z GC.uuur)2 ³ 0

Bài 2.116: Ta có c MA ' = A B MA ' ³ A B MA ' = A B MO + A B OA '

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng vế với vế ta được

uuur uuur uuur uur

Suy ra cMA'+ aMB'+bMC ' ³ cOA'+ aOB'+ bOC'

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bài toán tổng quát: Cho O

là điểm bất kỳ nằm đa giác lồi A A1 2 A n ( n ³ 3 ) Qua O kẻ các đường

thẳng song song với A A i i+1,i =1,n (xem Ai+1=A1) tương ứng cắt các cạnh

Bài 2.117: Gọi I là điểm nằm trong tam giác A BC sao

cho ·A IC = 900, BIA· = 1500,CIB· = 120 0

1 1 uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur ur

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng vế với vế ta được

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng vế với vế và kết hợp (*) ta được

MAsina + MBsinb + MC sing ³ OAsina + OB sinb + OC sing

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

tanA.HA= a, tanB.HB= b, tanC.HC= c khi

tam giác ABC nhọn

Bài 2.121: Gọi I, O lần lượt là là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam

giác khi đó ta có aIA + bIB + cIC = 0

b) P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MI2 đạt lớn

nhất Û cosMOI = -· 1Û MOI =· 0

180Hay M là giao điểm của tia IO với đường tròn (O)

P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI2 đạt nhỏ

MOI =

0Hay M là giao điểm của tia OI với đường tròn (O)

c) P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên d

Suy ra M º A

b) Gọi I là trung điểm của đường cao AH Ta có a IA2 + b IB2 + c IC2 = 0

với mọi điểm M

Giả sử tam giác A BC cân cạnh x thì IA = 2x, IB = 10x

Suy ra MA + (MB + MC)³ x2

Vậy I là điểm cần tìm

Bài 2.124: Gọi A', B', C', lần lượt là trung điểm BC, CA, AB và O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác nhọn nên O nằm trong tam giác ABC ta có: (OA'+ OB'+ OC ')2 ³ 0

uuur uuur uuuur

Mặt khác OA'=OB.cosBOA· '=OB.cosA = RcosA

Tương tự ta có: OB'= Rcos ,B OC '= RcosC

Suy ra cos2A+ cos2B+ cos2C ³ 6cos cos cosA B C

Dấu " = " xảy ra khi tam giác A BC đều

Bài 2.127: Vì AA' tiếp xúc với (O'), BB' tiếp xúc với (O) nên

Bài 2.129: (hình 2.25) Gọi I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác MN B

Gọi C là giao điểm của AB và (I) Khi đó ta có:

B I A C

Hình 2.25

A

C H

B P

Hình 2.26

Vì tam giác OB C vuông tại B và BE là đường cao nên

Vì O, P cố định nên H cố định

Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng vuông góc với OP

tại H

Bài 2.131: (hình 2.27)Gọi I là điểm đối xứng của H

qua B, suy ra I cố định và thuộc (K) Gọi M là giao

điểm của CD và AB

Suy ra A M2 = A N2 = A H A Buuur uuur

Vậy AM và AN là hai tiếp tuyến của (C)

M D

B

F

Bài 2.133: (hình 67)B là trung điểm AC Ta có

Bài 2.134: (hình 2.29) Gọi E là giao điểm thứ hai của PQ

với đường tròn ngoại tiếp tam giác PA B CD cắt PQ tại

F.Ta có OQ2- R2 = QA QB = QP QE

Mà P, Q cố định nên PQ không đổiÞ QE không đổi do đó E cố

định Mặt khác ·PDC = PBA· = PEA· nên tứ giác

DA EF nội tiếp suy ra PO2- R2 = PD PA = PE PF

Mà P, E cố định nên PE không đổiÞ PF không đổi do đó F cố định Vậy CD luôn đi qua điểm cố định là F

Bài 2.135.(hình 2.30) Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn

Hình 2.29

Từ đây suy ra H cố định, suy ra M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc

với O O1 2

Nhận xét: Đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường

tròn (O1) và (O2)

Chú ý các hệ quả sau có nhiều ứng dụng:

Cho hai đường tròn (O) và (I) Từ bài toán ta suy ra được các tính chất sau: a) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối

tâm

b) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng

c) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua

M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn

d) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

e) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng

f) Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc

với OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn