40 câu hỏi trắc nghiệm toán lớp 10 phép nhân 1 số với 1 vecto file word có lời giải chi tiết

Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: Lời giải Chọn A.. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B.. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C.. Vậy D D là điểm thứ tư

Trang 1

Bài 3 PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

I – TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho số k  và vectơ 0 a  Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k a 0 +) k  thì 0 k a cùng hướng với a

+) k  thì 0 k a ngược hướng với a

2 Tính chất:

Cho a b, bất kì và hai số h k, ta có:

 k a b( + )=k a+kb  (h+k a) =ha+k a  h k a( )=(hk a) 

1.a=a, ( 1)− a= −a

 Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M ta có: MA MB+ =2MI

 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA MB MC+ + =3MG

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

+) a và b  cùng phương 0  k a: =kb

+) Ba điểm phân biệt A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi có số k  để AB0 =k AC

II – CÁC DẠNG TOÁN:

3.1 Xác định và tính độ dài tích của một số với một vectơ

Bài 1 Cho hai điểm phân biệt A B, Xác định điểm M biết 2MA−3MB= 0

Lời giải

Ta có: 2MA−3MB= 0 2MA−3(MA+AB)=  −0 MA−3AB= 0 AM =3ABAM AB, cùng hướng và AM =3AB

Bài 2 Cho tam giác ABC

a) Tìm điểm K sao cho KA+2KB=CB

b) Tìm điểm M sao cho MA MB+ +2MC= 0

Lời giải

a) Ta có: KA+2KB=CBKA+2KB=KB KC− KA KB KC+ + =0 là trọng tâm của tam K

giác ABC

Trang 2

b) Gọi I là trung điểm của AB Ta có:

MA MB+ + MC=  MI+ MC= MI+MC= M là trung điểm của IC

Bài 3 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính

a) AB+AC+BC b) AB+AC

Lời giải

a) AB+AC+BC = (AB+BC)+AC = AC+AC = 2AC =2 AC =2AC=2a

b) Gọi H là trung điểm của BC Ta có:

2

a

AB+AC = AH = AH = AH = AB −BH = a −  =a

 

 

Bài 4 Cho ABC vuông tại B có 0

30

A = , AB= Go ̣i a I là trung điểm của AC Hãy tính:

a) BA+BC b) AB+AC

Lời giải

3

a

cos cos 30 3

AC

A

BA+BC = BI = BI = BI = =AC=

b)

2

Câu 1 [0H1-1] Khẳng định nào sai ?

Trang 3

A 1.a= a

B k a và a cùng hướng khi k  0

C. k a và a cùng hướng khi k  0

D Hai vectơ a và b  cùng phương khi có một số k để a0 =kb

Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)

Câu 2 [0H1-1] Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN= −3MP Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

Lời giải Chọn A

3

MN= − MPMN ngược hướng với MP và MN =3MP

Câu 3 [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt A B C, , Nếu AB= −3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?

4

BC= AC

Lời giải Chọn D

Câu 4 [0H1-1] Cho ba điểm A B C, , phân biệt Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:

A AB=AC B.  k 0 :AB=k AC C AC−AB=BC D

3 ,

MA MB+ = MC  điểm M

Lời giải Chọn B

Ba điểm A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB=k AC

Câu 5 [0H1-1] Tìm giá trị của m sao cho a mb= , biết rằng a b, ngược hướng và a =5,b =15

3

m = D m = − 3

Trang 4

Do a b, ngược hướng nên 5 1

15 3

a m b

= − = − = −

Câu 6 [0H1-2] Cho ABC Đặt a=BC b, = AC Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương ?

A 2a+b a, +2b B a−2 , 2b a b− C. 5a+ −b, 10a−2b D a+b a b, −

Lời giải Chọn C

Ta có: −10a−2b = −2.(5a b+ )5a+b và 10− a−2b cùng phương

Câu 7 [0H1-2] Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a Độ dài của AB+AC bằng:

2

a

Gọi H là trung điểm của BC Khi đó:

2

4

a

AB+AC = AH = AH = AB −BH = a − =a

Câu 8 [0H1-2] Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a−2b và

(x+1)a+4b cùng phương Khi đó giá trị của x là:

Điều kiện để hai vec tơ 3a−2b và (x+1)a+4b cùng phương là: 1 4 7

x

+

−

Câu 9 [0H1-2] Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của AB Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức

MA MB+ + MC=

A M là trung điểm của BC B. M là trung điểm của IC

C M là trung điểm của IA D M là điểm trên cạnh IC sao cho IM =2MC

Trang 5

MA MB+ + MC=  MI+ MC= MI+MC= M là trung điểm của IC

Câu 10 [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM =AB+AD+AC Khi đó điểm M là:

2

AM =AB+AD+AC AM = ACAM = AC  M là

trung điểm của AC

Câu 11 [0H1-3] Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a Góc BAD =600 Tính độ dài vectơ

AB+AD

C AB+AD =3a D AB+AD =3a 3

Tam giác ABD cân tại A và có góc BAD =600 nên ABD đều

AB+AD = AC = AO = AO= AB −BO = a −a = a

Câu 12 [0H1-3] Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB+ −2OC = OA OB− Khẳng định

nào sau đây là đúng ?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC cân tại C

C. Tam giác ABC vuông tại C D Tam giác ABC cân tại B

Trang 6

Gọi I là trung điểm của AB Ta có:

2

OA OB+ − OC = OA OB−  OA OC− +OB OC− = BA  CA CB+ = AB

1

2

Câu 13 [0H1-3] Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB+ +MC =1

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

3

MA MB+ +MC = MG = MG= MG=

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB+ +MC =1 là đường tròn tâm G bán kính 1

3

R =

Câu 14 [0H1-3] Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng vectơ

2

v=MA MB+ − MC Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD= v

A D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành

ACBD

C D là trọng tâm của tam giác ABC D D là trực tâm của tam giác ABC

Ta có: v=MA MB+ −2MC=MA MC− +MB MC− =CA CB+ =2CI (Với I là trung điểm của AB)

Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M Khi đó: CD= =v 2CI  là trung điểm của CD I

Trang 7

Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD

Câu 15 [0H1-3] Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM Đường

thẳng BN cắt AC tại P Khi đó AC xCP= thì giá trị của x là:

A 4

3

2

3

−

Kẻ MK/ /BP K( AC) Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP

Vì MK/ /BPMK/ /NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK

AC= − CP = −x

Câu 16 [0H1-4] Cho tam giác ABC Hai điểm M N, được xác định bởi các hệ thức BC+MA= , 0

AB NA− − AC= Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

C M nằm trên đường thẳng AC D Hai đường thẳng MN và AC trùng

nhau

Ta có: BC+MA= 0 AM =BCM là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên MAC (1) Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC+MA= , 0 AB NA− −3AC= , ta được: 0

BC+MA AB NA+ − − AC=

(MA AN) (AB BC) 3AC 0 MN AC 3AC MN 2AC MN

AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN/ /AC

Trang 8

Câu 17 [0H1-4] Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB= = Độ dài của véc tơ a

u= OA− OB là:

A 140

4

a

B 321

4

a

C 520

4

a

4

a

Dựng điểm M N, sao cho: 21 , 5

OM = OA ON = OB Khi đó:

u = OM −ON = NM =MN = OM +ON =   +  =

Câu 18 [0H1-4] Cho tam giác ABC và đường thẳng d Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức

OA OB+ + OC= Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v=MA MB+ +2MC có độ dài

nhỏ nhất

A Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d

B Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d

C Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d

D Điểm M là giao điểm của AB và d

Gọi I là trung điểm của AB

Khi đó: OA OB+ +2OC= 0 2OI+2OC= 0 OI+OC =  là trung điểm của IC 0 O

Ta có: v=MA MB+ +2MC=OA OM− +OB OM− +2(OC−OM)=OA OB+ +2OC−4OM = −4OM

Trang 9

Do đó v =4OM Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong

góc của O trên d

Câu 19 [0H1-4] Cho ngũ giác ABCDE Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm các cạnh

, , ,

AB BC CD DE Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ Khẳng định nào sau đây đúng ?

2

3

4

IJ = AE D 1

5

IJ = AE

Ta có: 2IJ =IQ+IN =IM +MQ+IP+PN =MQ+PN

1 2

2



1 2

PN = − BD

2

IJ = AE+BD − BD= AEIJ = AE

Câu 20 [0H1-4] Cho tam giác ABC Go ̣i M là trung điểm của AB và N thuô ̣c ca ̣nh AC sao cho

2

NC= NA Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB+2AC−12AK= và điểm 0 D thỏa mãn:

3AB+4AC−12KD= 0

A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC

B K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN

C K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB

D K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC

Trang 10

Ta có: 2 1( )

2 3



=



Suy ra K là trung điểm của MN

Ta có: 3AB+4AC−12KD= 0 3AB+4AC−12(AD−AK)= 0 3AB+4AC+12AK =12AD

1

2

Suy ra D là trung điểm của BC

3.2 Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 1 Cho tứ giác ABCD Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng: AC+BD=AD BC+ =2EF

b) Gọi G là trung điểm của EF Chứng minh rằng GA GB GC GD+ + + = 0

Lời giải

a)

AC+BD= AE+EF+FC + BE+EF+FD = EF+ AE+BE + FC+FD = EF+ + = EF

(1)

AD+BC= AE+EF+FD + BE+EF+FC = EF+ AE+BE + FD+FC = EF+ + = EF

(2)

TỪ (1) và (2) suy ra: AC+BD=AD BC+ =2EF

b) GA GB GC+ + +GD=2GE+2GF =2(GE GF+ )=20= 0

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB+2AC+AD=3AC

Lời giải

Trang 11

( )

VT = AB+ AC+AD= AB+AD + AC= AC+ AC= AC=VP

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC Chứng minh

AM = AB+ AC

Lời giải

AM = AC+CM = AC− BC= AC− AC−AB = AB+ AC (đpcm)

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng:

2

AB CD+ = IJ

Lời giải

Ta có:

IJ IA AB BJ

IJ IC CD DJ





(đpcm)

Câu 21 [0H1-1] Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:

A MA MB+ =MI B. MA MB+ =2MI C MA MB+ =3MI D 1

2

MA MB+ = MI

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA MB+ =2MI

Câu 22 [0H1-1] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC Với mọi điểm M , ta luôn có:

C. MA MB MC+ + =3MG D MA MB MC+ + =4MG

Trang 12

Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA MB MC+ + =3MG

Câu 23 [0H1-1] Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC Đẳng thức nào đúng ?

A GA=2GI B 1

3

IG= − IA C. GB GC+ =2GI D GB GC+ =GA

Lời giải

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB GC+ =2GI

Câu 24 [0H1-1] Cho tam giác ABC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC Trong các

mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?

1

2

CN = − AC

Ta thấy AC và CN ngược hướng nên AC=2CN là sai

Câu 25 [0H1-1] Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho 1

5

MA= AB Trong

các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

5

4

5

MB= − AB

Trang 13

Ta thấy MB và AB cùng hướng nên 4

5

MB= − AB là sai

Câu 26 [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào đúng ?

A. AC+BD=2BC B AC+BC=AB C AC BD− =2CD D AC−AD=CD

Ta có: AC+BD= AB+BC+BC+CD=2BC+(AB CD+ )=2BC

Câu 27 [0H1-2] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?

3

AB+AC= AG B. BA BC+ =3BG C CA CB+ =CG D AB+AC+BC= 0

Gọi M là trung điểm của AC Khi đó: 2 2.3 3

2

BA+BC= BM = BG= BG

Câu 28 [0H1-2] Cho hình vuông ABCD có tâm là O Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?

A AB+AD=2AO B 1

2

OA OB+ = CB D. AC+DB=4AB

2

AC+DB=AB BC+ +DC CB+ =AB DC+ = AB

Trang 14

Câu 29 [0H1-2] Cho ba điểm phân biệt A B C, , Nếu AB= −3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?

4

BC= AC

Từ đẳng thức: AB= −3AC suy ra ba điểm A B C, , thẳng hàng; AB và AC ngược hướng; AB=3AC

nên BC=4AC

Câu 30 [0H1-2] Cho G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ' A B C Khi đó tổng ' ' '

AA +BB +CC bằng:

AA +BB +CC = AG+GG +G A + BG+GG +G B + CG+GG +G C

=3GG' (+ AG+BG+CG) ( ' '+ G A +G B' '+G C' ')=3GG' 0+ =0

Câu 31 [0H1-3] Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi các điểm D E F, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA, và AB Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

AG= AE+ AF

Câu 32 [0H1-3] Cho a  và điểm O Gọi 0 M N, lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM =3a và

4

ON= − Khi đó: a

A MN=7a B MN= − 5a C. MN= − 7a D MN= − 5a

Trang 15

Ta có: MN=ON OM− = − −4a 3a= − 7a

Câu 33 [0H1-3] Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho 3

MB= MC Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ?

2

AM = AB+AC

Gọi I là trung điểm của BC Khi đó C là trung điểm của MI Ta có:

AM +AI = AC AM = −AI+ AC= − AB+AC + AC= − AB+ AC

Câu 34 [0H1-3] Cho tứ giác ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD Khi đó

AC+BD bằng:



+



Câu 35 [0H1-3] Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì Khẳng định nào sau đây

đúng ?

A MA MB MC+ + +MD=MO B MA MB MC+ + +MD=2MO

Trang 16

C MA MB MC+ + +MD=3MO D. MA MB MC+ + +MD=4MO

Ta có: MA MB+ +MC+MD=(MA MC+ ) (+ MB+MD)=2MO+2MO=4MO

Câu 36 [0H1-4] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

3OH =OG

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O Ta có: HA+HD=2HO(1)

Vì HBDC là hình bình hành nên HD=HB+HC(2)

Từ (1), (2) suy ra: HA+HB+HC=2HO(HO OA+ ) (+ HO OB+ ) (+ HO OC+ )=2HO

Câu 37 [0H1-4] Cho tứ giác ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, I là điểm trên GC sao

cho IC=3IG Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC+ + +MD bằng:

Trang 17

Ta có: 3IG= −IC

Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên

IA IB ID+ + = IGIA IB ID+ + = −ICIA IB IC+ + +ID=

Khi đó:

MA MB+ +MC+MD=MI+IA MI+ +IB+MI+IC+MI+ID= MI+ IA+IB+IC+ID = MI+ = MI

Câu 38 [0H1-4] Cho tam giác đều ABC có tâm O Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác

ABC Hạ ID IE IF, , tương ứng vuông góc với BC CA AB, , Giả sử ID IE IF a IO

b

b là phân số tối giản) Khi đó a b+ bằng:

Qua điểm I dựng các đoạn MQ/ /AB PS, / /BC NR, / /CA Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác

, ,

IMN IPQ IRS cũng là tam giác đều Suy ra D E F, , lần lượt là trung điểm của MN PQ RS, ,

Khi đó:

ID+IE+IF = IM+IN + IP+IQ + IR+IS =  IQ+IR + IM +IS + IN+IP = IA+IB+IC

2 IO 2IO a b

= =  = = Do đó: a b+ = 5

Câu 39 [0H1-4] Cho tam giác ABC biết AB=8,AC=9,BC=11 Gọi M là trung điểm BC và N

là điểm trên đoạn AC sao cho AN =x(0 x 9) Hệ thức nào sau đây đúng ?

Trang 18

A 1 1

x

MN = − AC+ AB

x

MN = − CA+ BA

x

MN = + AC− AB

x

MN = − AC− AB

MN =AN−AM = AC− AB+AC = − AC− AB

Câu 40 [0H1-4] Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

AH = AC− AB

AH = AB− AC

Gọi M I, lần lượt là trung điểm của BC và AC

Ta thấy AHCG là hình bình hành nên

AH+AG=AC AH+ AM = ACAH + AB+AC = AC

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1 MB