PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

nếu h x ¹ 0 với mọi x DÎĐịnh lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.. Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý • Đặt đ

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cho hai hàm số y= f x( ) và y= g x( ) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt

D= D f ÇD g Mệnh đề chứa biến "f x( )= g x( )" được gọi là phương trình một ẩn ; x

được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f x1( )= g x1( ) và f x2( )= g x2( ) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Kí hiệu là

( ) ( ) ( ) ( )

f x = g x Û f x = g x

• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến

đổi tương đương

b) Phương trình hệ quả: f x2( )= g x2( ) gọi là phương trình hệ quả của phương trình ( ) ( )

2) f x h x( ) ( ) = g x h x( ) ( ) nếu h x ¹( ) 0 với mọi x DÎ

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả

của phương trình đã cho

( ) ( ) 2( ) 2( )

f x = g x Þ f x = g x

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

• Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định

• Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu

được phương trình tương đương

• Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x( ) ( ), g x

cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện để biểu thức

x x

x x

x x

ì <

ïï

íï ¹ïî

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của phương trình là x2- 4¹ 0Û x2¹ 4Û x¹ ± 2

b) Điều kiện xác định của phương trình là 3 0 3 2 3

x x

x

ìïï ³ï

ìïï ³ï

b) Điều kiện xác định của phương trình là - x2+ 6x- 9³ 0Û - (x- 3)2³ 0Û x= 3

Thay x= 3 vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là S= { }3

c) Điều kiện xác định của phương trình là

Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Æ

d) Điều kiện xác định của phương trình là ( 3) (2 5 3 ) 0

x x

x

ìïï £ï

= vào phương trình thấy chỉ có x= 3 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= { }3

A x ³ 2 B x Î Æ C

312

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íïï

ï ¹ïî

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íïï

ï ¹ïî

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íïï

ï ¹ïî

x x x

ì ³ïï

ïï ¹íïï

ï ¹ïî

íï - ³

ïî

x

ì ³ïï

é =ê

ê =ë

é =ê

ê =ëc) 2x+ x- 2= 2- x+ 2

é =ê

ê =ë

é =ê

ê =ë

Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= { }2

Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S= { }1

➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

1 Phương pháp giải

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường sử dụng

• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

Vậy phương trình vô nghiệm

x

x x

Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x= 1 và x= 2

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:

-é =êê

ê = êë

-Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x= 2 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 2

è ø (luôn đúng với mọi x)

Bình phương hai vế của phương trình ta được

ê =êë

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = - 3 và 1

3

x = d) Ta có 2x+1= -x 1Þ (2x+ 1)2 = (x- 1)2

Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Tìm nghiệm (x y; ) với x là số nguyên dương của phương trình sau

ìïï £ï

Thay x= 1 vào phương trình ta được 12+ 6- y2 = y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6- y2 ³ 0

Do hai phương trình tương đương nên x = là nghiệm của phương trình (2) 1

Thay x = vào phương trình (2) ta được 1

ê =êë

ê = êë

ê

=êë

ê =êë

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m = 4thì hai phương trình tương đương

b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương

ê =êë

2x + 7x + 4x- 4= 0Û x+ 2 2x+ 1 = 0

íï - ¹ïî

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

ë (thỏa mãn)

x x

ì <

ïï

íï ¹

-ïî PTÛ x= (không thỏ mãn điều kiện) 3

Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình

Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn

b) Cộng vế với vế để khử 2

m ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm

Kết quả m = 4 thì hai phương trình tương đương

Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x RÎ

Th2: Với b ¹ 0 phương trình vô nghiệm

3 Giải và biện luận phương trình ax2+bx c+ = 0

• Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)

• Nếu a ¹ 0 : D = b2- 4ac

Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

b x

• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

• Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức ( ) 2

f x = ax + bx+ c có hai nghiệm x1 và x2

thì nó có thể phân tích thành nhân tử f x( )= a x( - x1)(x- x2)

• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2- Sx+P= 0

• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình bậc hai ax2+bx c+ = 0(*), kí hiệu S b, P c

= - = khi đó

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

000

P S

ì D ³ïï

ïï >

íïï

P S

ì D ³ïï

ïï >

íïï

ï <

ïî

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax b+ = 0

ì =ïï

A m = : Phương trình vô nghiệm 1

B m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất 2

1

m x m

-=-

C.Cả A, B đều đúng

b) m mx( - 1)= 9x+ 3

A m = 3 : Phương trình vô nghiệm

B m = - 3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x RÎ

C m ¹ ± : Phương trình có nghiệm 3 1

3

x m

=-

(m+1) x= (3m+ 7)x+ 2+ m

A m = 3 : Phương trình vô nghiệm

B m = - 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x RÎ

C m ¹ 3 và m ¹ - 2: Phương trình có nghiệm 1

3

x m

=-

Lời giải:

a) Phương trình tương đương với (m- 1)x= m- 2

+ Với m- = Û1 0 m= : Phương trình trở thành 01 x = - 1

Suy ra phương trình vô nghiệm

+ Với m- ¹1 0Û m¹ 1 : Phương trình tương đương với 2

1

m x m

-=

- Kết luận

-=-

m mx- = x+ Û m - x= m+

+ Với m2- 9= Û0 m= ± : 3

• Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 6 suy ra phương trình vô nghiệm

• Khi m = - 3: Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm

đúng với mọi x RÎ

+ Với m2- 9¹ 0Û m¹ ± : Phương trình tương đương với 3 2 3 1

39

m x

m m

=-c) Phương trình tương đương với é(m+ 1)2- 3m- 7ùx= 2+ m

• Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = suy ra phương trình vô nghiệm 5

• Khi m = - 2: Phương trình trở thành 0x = suy ra phương trình nghiệm 0

- - ¹ Û ê ¹ -ë : Phương trình tương đương với 2 2 1

36

m x

=-

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a b là tham số ,

a) a x a2( - )= b x b2( - )

A a= b : phương trình nghiệm đúng với mọi x RÎ

B a= - b và b ¹ 0: phương trình vô nghiệm

(Trường hợp a= - b b, = Þ0 a = = thì rơi vào trường hợp a b b 0 = )

+ Với a2- b2¹ 0Û ¹ ± : Phương trình tương đương với a b x a23 b32 a2 ab b2

a= b : phương trình nghiệm đúng với mọi x RÎ

a= - b và b ¹ 0: phương trình vô nghiệm

b - b+ = b- + > nên phương trình vô nghiệm

• Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0x = suy ra phương trình vô nghiệm 2

Vậy với m ¹ - và 1 m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

¹ thì phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau ( ) 2 2

y= m+ x + m x+ m và ( ) 2

m m

m m

A m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

B m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

b) (m+1)x= (3m2- 1)x+ m- 1

3

m = - : Phương trình vô nghiệm

B m = : Phương trình nghiệm đúng với mọi 1 x

-=+

Lời giải:

Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2m- 4)x= m- 2

+ Với 2m- 4= Û0 m= : Phương trình trở thành 02 x = 0

Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Với 2m- 4¹ 0Û m¹ 2 : Phương trình tương đương với x = - 1

Kết luận

2

m = : Phương trình nghiệm đúng với mọi x

2

m ¹ : Phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

b) Phương trình tương đương với (3m2- m- 2)x= 1- m

ê = êë

-=+

Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:

A Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

B Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

+-

+

=+

B Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

Lời giải:

Bài 3.6: a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0

-Vậy: -Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)

-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

+

=+-Nếu a+ = Þ1 0 a= - thì phương trình vô nghiệm 1

Vậy: -Với a ¹ - 1 và a ¹ - 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất 3

1

a x a

+

=+-Với a = - 1 hoặc a = - 2 thì phương trình vô nghiệm

Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

ì =ïï

Û í

ï ¹

ïî hay

2 2

ì =ïï

Û í

ï ¹

ïî hay

2 3

Vậy với m = - thì phương trình vô nghiệm 1

Bài 3.8: Tìm điều kiện của a b để phương trình sau có nghiệm ,

Vậy a ¹ 1 là điều kiện cần tìm

b) Phương trình tương đương với

Vậy với mọi ,a b khác không thì phương trình có nghiệm

➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

B m = - 2 : phương trình có nghiệm là x = 2,m < - 2 : phương trình vô nghiệm

C m> - 2 và m ¹ - : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2

m > : Phương trình vô nghiệm

b) + TH1: Với m+ = Û1 0 m= - khi đó phương trình trở thành 1 2 3 0 3

2

x- = Û x= + TH2: Với m+ ¹1 0Û m¹ - khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai 1

Ta có D =' m2- (m- 2)(m+ 1)= m+ 2

Khi D > Û0 m+ > Û2 0 m> - khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 2

21

Khi D = Û0 m+ = Û2 0 m= - 2 khi đó phương trình có nghiệm là x = 2

Khi D < Û0 m+ < Û2 0 m< - khi đó phương trình vô nghiệm 2

ê = êë

m > - phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với ,a b là tham số

( )

2

ax - a+ b x+ a+ b=

A a= b= 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x

B a = 0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Khi b = 0 phương trình là 0x = do đó phương trình nghiệm đúng với mọi 0 x

Khi b ¹ 0 phương trình có nghiệm là x = 1

+ TH2: Với a ¹ 0 phương trình là phương trình bậc hai

a

êê

-ê

êêë

m a

Với m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Bài 3.10: Cho phương trình: mx2- 2mx m+ + =1 0

a) Giải phương trình đã cho khi m = - 2

Bài 3.10: a) Với m = - 2 ta có phương trình: - 2x2+4x- = Û1 0 2x2- 4x+ = , 1 0

phương trình này có hai nghiệm phân biệt 2 2

Với m ¹ 0 thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  2 ( )

+ D =' 0Û 9(m- 1)= 0Û m= 1: Phương trình có nghiệm kép 1 2

2

m x m

• Với m = ta thấy (*) vô nghiệm nên d và (P) không có giao điểm 1

• Với m ¹ 1 thì (*) là phương trình bậc hai có

➢ DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT

Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử

Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2- mx+ 5= 0 Biết phương trình có một nghiệm là 2 Tìm

=êë

y x

Ví dụ 4: Cho phương trình x2- 2(m+ 1)x+ m2+ 2= 0 với mlà tham số Tìm m để

phương trình có hai nghiệm x x1; 2 sao cho

1 2 2 1 2 1 2

x + x = x x x + x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = 4± 10 thỏa mãn

Vậy m = 4± 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

-( 2)2 12 12

Suy ra minA= - 12Û m= , 2 m = 2 thỏa mãn (*)

Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

7max

Ví dụ 5: Cho phương trình x2- mx m+ - 1= 0 với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 2

Vậy maxA = khi và chỉ khi 1 m = , 1 min 1

+

=+ ta làm như sau

+ Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì

tử số là biếu thức f m( )= - km2+ 2m- 2k2+1 phải biểu diễn được dưới dạng bình

ê = êë

Vì vậy ta mới đi xét như trên

=êë

Khi đó theo định lí Viet ta có: ( ) 2

m m

é = ê

-ê =

12

m m

é = ê

-ê =

13

m m

é = ê

1 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa

• Bài toán 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2+bx c+ = 0 và

0

a x +b x c+ = có nghiệm chung Chúng ta làm như sau:

Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 thì

Giải hệ tìm được x0,suy ra giá trị của tham số

Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận

Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x2+ ax+ =1 0 và x2+ x a+ = 0

có nghiệm chung

A a = 2 B a = - 2 C a = - 3 D a = - 1

Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (x2- 2mx+ m- 1)(x2- 3x+ 2m)= 0

có bốn nghiệm phân biệt

êëPhương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình ( )1 và( )2

mỗi phương trình phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung

* Ta có

2 2

Do đó điều kiện để cả hai phương trình ( )1 và( )2 có hai nghiệm phân biệt là

Ví dụ 3: Cho các số dương a b c, , thỏa mãn diệu kiện a+2b+ 3c= 1.Chứng minh rằng

có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

-Dẫn đến D + D ³1/ /2 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 4: Cho các số a b c, , thỏa mãn điệu kiện a b c+ + = 6.Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm

2 2 2

Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D D1, 2,D3 không âm

Vậy với a b c, , thỏa mãn điệu kiện a b c+ + = 6thì có ít nhất một trong ba phương trình

+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của

Lời giải:

x x

-ïïï

íï ¹ ïïî

Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2+ax b+ = 0 và x2+ mx n+ = 0 có nghiệm chung thì (n b- )2 = (m a an bm- )( - )

Bài 3.21: Cho phương trình x2+bx c+ =0có hai nghiệm thực dương x x1, 2thoả mãn

.1

b £ - suy ra

2 2

.1

P b

x x

a

-ïïïí

ïïïî

-íï =

30

c

ì = ïï

Vậy maxQ = 3 và minQ = 2

Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax2- x c+ =0 có hai nghiệm thực dương x x1, 2 thoả mãn x1+ x2£ 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 3

a c P

a c a

-=-