Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một đi
Trang 1 Bài 01
ĐỊNH NGHĨA VECTO
1 Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng
AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng
Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
Vectơ có điểm đầu ,A điểm cuối B được kí hiệu là uuurAB và
đọc là “ vectơ AB “ Để vẽ được vectơ ABuuur ta vẽ đoạn
thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B
Vectơ còn được kí hiệu là , , , , a b x yr r r r khi không cần chỉ
rõ điểm đầu và điểm cuối của nó
x a
B A
2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Nhận xét Ba điểm phân biệt A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ABuuur và ACuuur cùng phương
3 Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Độ dài của ABuuur được kí hiệu là ABuuur, như vậy AB = AB
uuur Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị
Hai vectơ ar và br được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu
a= b
r
r
Chú ý Khi cho trước vectơ ar và điểm ,O thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho
OA= a
uur r
4 Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A Vectơ này được kí hiệu la AAuuur và được gọi là vectơ – không
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1 Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:
A DE B DEuuur C EDuuur D DEuuur
Câu 2 Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A B C, , ?
Trang 2Câu 3 Cho tứ giác ABCD Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ
Câu 5 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là ABuuur cùng phương với ACuuur
B Điều kiện đủ để , , A B C thẳng hàng là với mọi M , MAuuurcùng phương với ABuuur
C Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là với mọi M , MAuuurcùng phương với ABuuur
D Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là AB= AC
uuur uuur Câu 6 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A MNuuuur và CBuur B ABuuur và MBuuur C MAuuur và MBuuur D ANuuur và CAuur Câu 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với
OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Câu 8 Với DEuuur (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A Phương của EDuuur B Hướng của EDuuur
C Giá của EDuuur D Độ dài của EDuuur
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A AA =uuur 0.r B 0r cùng hướng với mọi vectơ
C uuurAB >0 D 0r cùng phương với mọi vectơ
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Câu 12 Cho tứ giác ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB= CD
uuur uuur
?
A ABCD là hình bình hành B ABDC là hình bình hành
C AD và BC có cùng trung điểm D AB=CD
Câu 13 Từ mệnh đề ABuuur= CDuuur, ta suy ra
A ABuuur cùng hướng CDuuur B ABuuur cùng phương CDuuur
C ABuuur = CDuuur D ABCD là hình bình hành
Hỏi khẳng định nào là sai?
Câu 14 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?
Trang 3A ABuuur= DCuuur B OBuur= DOuuur C OAuur= OCuuur D CBuur= DAuuur.
Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB , BC , CD , DA Khẳng định nào sau đây là sai?
A MNuuuur=QPuuur B QPuuur = MNuuuur C MQuuur= NPuuur D MNuuuur = ACuuur
Câu 16 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?
A ACuuur= BDuuur B ABuuur= CDuuur
C ABuuur = BCuuur D uuur uuurAB AC, cùng hướng
Câu 17 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?
A OA= OC
uur uuur
B OBuur và ODuuur cùng hướng
C ACuuur và BDuuur cùng hướng D ACuuur = BDuuur
Câu 18 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
A MAuuur= MBuuur B ABuuur= ACuuur C MNuuuur= BCuuur D BCuuur =2MNuuuur Câu 19 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng định nào sau đây đúng?
A MB= MC
uuur uuur
2
a
AM =
uuuur
C AM = a
uuuur
2
a
AM =
uuuur
Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a và · BAD = 60° Đẳng thức nào sau đây đúng?
A AB= AD
uuur uuur
B BDuuur = a C BD= AC
uuur uuur
D BC= DA
uuur uuur
Câu 21 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây là sai?
A ABuuur= EDuuur B ABuuur = uuurAF C ODuuur= BCuuur D OBuur= OEuuur
Câu 22 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OCuuur có điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh của lục giác là
Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?
A HAuuur= CDuuur và ADuuur =CHuuur B HAuuur= CDuuur và ADuuur= HCuuur
C HAuuur= CDuuur và ACuuur= CHuuur D HAuuur= CDuuur và ADuuur= HCuuur và OBuur= ODuuur Câu 24 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn uuurAB = CDuuur?
Câu 25 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ABuuur= CDuuur
Lời giải chi tiết
Vấn đề 1 XÁC ĐỊNH VECTƠ
Trang 4Câu 1 Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là:
A DE B DEuuur C EDuuur D DEuuur
Lời giải Chọn D
Câu 2 Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A B C, , ?
Lời giải Chọn B Đó là các vectơ: AB BA BC CB CA ACuuur uuur uuur uur uur uuur, , , , ,
Câu 3 Cho tứ giác ABCD Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?
Lời giải Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt Do đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 12 vectơ Chọn D
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ
Lời giải Chọn A Vì Vectơ - không cùng phương với mọi vectơ
Câu 5 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là ABuuur cùng phương với ACuuur
B Điều kiện đủ để , , A B C thẳng hàng là với mọi M , MAuuurcùng phương với ABuuur
C Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là với mọi M , MAuuurcùng phương với ABuuur
D Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là ABuuur= ACuuur
Lời giải Chọn A
Câu 6 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A MNuuuur và CBuur B ABuuur và MBuuur C MAuuur và MBuuur D ANuuur và CAuur Lời giải Chọn B
Câu 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với
OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
Lời giải Chọn B
Trang 5F E
D
A
Đó là các vectơ: AB BA DE ED FC CFuuur uuur uuur uuur uuur uur, , , , ,
Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Câu 8 Với DEuuur (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A Phương của EDuuur B Hướng của EDuuur
C Giá của EDuuur D Độ dài của EDuuur
Lời giải Chọn D
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A AA =uuur 0.r B 0r cùng hướng với mọi vectơ
C uuurAB >0 D 0r cùng phương với mọi vectơ
Lời giải Chọn C Vì có thể xảy ra trường hợp ABuuur = 0Û Aº B
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau
Lời giải Chọn D
Câu 11 Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB Khẳng định nào sau đây là đúng?
A CA= CB
uur uur
B ABuuur và ACuuur cùng phương
C ABuuur và CBuur ngược hướng D ABuuur = BCuuur
Lời giải Chọn B
Câu 12 Cho tứ giác ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB= CD
uuur uuur
?
A ABCD là hình bình hành B ABDC là hình bình hành
C AD và BC có cùng trung điểm D AB=CD
Lời giải Ta có:
AB CD AB CD ABDC
AB CD
ìïï
= Þ íïïî = Þ
uuur uuur P
là hình bình hành
Mặt khác, ABDC là hình bình hành AB CD
AB CD
AB CD
ìïï
Þ íïïî = Þ =
uuur uuur
P
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB= CD
uuur uuur
là ABDC là hình bình hành Chọn B
Câu 13 Từ mệnh đề AB= CD
uuur uuur
, ta suy ra
Trang 6A ABuuur cùng hướng CDuuur B ABuuur cùng phương CDuuur.
C ABuuur = CDuuur D ABCD là hình bình hành
Hỏi khẳng định nào là sai?
Lời giải Chọn D Phải suy ra ABDC là hình bình hành
Câu 14 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?
A ABuuur= DCuuur B OBuur= DOuuur C OAuur= OCuuur D CBuur= DAuuur
Lời giải Chọn C
Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB , BC , CD , DA Khẳng định nào sau đây là sai?
A MN=QP
uuuur uuur
B QPuuur = MNuuuur C MQ= NP
uuur uuur
D MNuuuur = ACuuur Lời giải Chọn D
Q
M
D
C
B A
Ta có MN PQ
ìïï
íï =
ïî (do cùng song song và bằng
1
2AC )
Do đó MNPQ là hình bình hành
Câu 16 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?
A AC= BD
uuur uuur
B AB= CD uuur uuur
C ABuuur = BCuuur D uuur uuurAB AC, cùng hướng
Lời giải Chọn C Vì AB= BCÛ uuurAB= BCuuur
Câu 17 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?
A OAuur= OCuuur B OBuur và ODuuur cùng hướng
C ACuuur và BDuuur cùng hướng D ACuuur = BDuuur
Lời giải Chọn D
Câu 18 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
A MAuuur= MBuuur B ABuuur= ACuuur C MNuuuur= BCuuur D BCuuur =2MNuuuur Lời giải
Trang 7N M
C B
A
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC
Do đó BC= 2MN¾ ¾® BCuuur = 2MNuuuur Chọn D
Câu 19 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng định nào sau đây đúng?
A MB= MC
uuur uuur
2
a
AM =
uuuur
C AM = a
uuuur
2
a
AM =
uuuur Lời giải Chọn D
Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a và · BAD = 60° Đẳng thức nào sau đây đúng?
A AB= AD
uuur uuur
B BDuuur = a C BD= AC
uuur uuur
D BC= DA
uuur uuur
Lời giải
D
C
B A
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD= ¾ ¾a ® BDuuur = a
Chọn B
Câu 21 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây là sai?
A AB= ED
uuur uuur
B ABuuur = uuurAF C OD= BC
uuur uuur
D OB= OE
uur uuur Lời giải Chọn D
O
F E
D
A
Trang 8Câu 22 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OCuuur có điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh của lục giác là
Lời giải
O
F E
D
A
Đó là các vectơ: AB EDuuur uuur, Chọn A
Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?
A HAuuur= CDuuur và ADuuur =CHuuur B HAuuur= CDuuur và ADuuur= HCuuur
C HAuuur= CDuuur và ACuuur= CHuuur D HAuuur= CDuuur và ADuuur= HCuuur và OBuur= ODuuur Lời giải
O H
D
C B
A
Ta có AH^ BC và DC^ BC (do góc ·DCB chắn nửa đường tròn) Suy ra AH DC Tương tự ta cũng có CH AD
Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành Do đó HA= CD
uuur uuur
và AD= HC
uuur uuur
Chọn B
Câu 24 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn uuurAB = CDuuur?
Lời giải Ta có ABuuur = CDuuur Û AB=CD Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm ,C bán kính AB Chọn D
Câu 25 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ABuuur= CDuuur
Lời giải Chọn A