CHỦ đề 1 vấn đề 1 DẠNG TOÁN về sự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN của hàm số image marked

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải VẤN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG Định nghĩa: Kí

Trang 1

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

VẤN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta nói:

1) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Trang 2

3) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

4) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Định lí:

- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

1) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

2) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Minh họa:

y = x + x + 6x +

Ta có: y’ = x2 + 2x + 6; y’ = 0  x2 + 2x + 6 = (x + 1)2 + 5 = 0 (vô nghiệm)

Do đó: y’ > 0; x  R  y đồng biến trên R

2) Cho hàm số

2 3

Trang 3

3) Cho hàm số y = - x - x - 6x + 1 3 2 1

Ta có: y’ = -(x2 + 2x + 6); y’ = 0  -(x2 + 2x + 6) = 0 -(x + 1)2 – 5 = 0 (vô nghiệm)

Do đó: y’ < 0; x  R  y nghịch biến trên R

Lưu ý: Các quy tắc xét dấu cơ bản của phương trình bậc 2, các bạn vui lòng xem lại các kiến

Ta có: y’ = 0; y’ = 0  0 = 0 (luôn đúng)

Do đó: y’ = 0; x  R  y không đổi trên R

Định lí mở rộng:

- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

1) Nếu f’(x)  0, x  K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên K

2) Nếu f’(x)  0, x  K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Minh họa:

1) Cho hàm số y = - x + 2x - 4x - 51 3 2

Ta có: y’ = -x2 + 4x - 4; y’ = 0  -x2 + 4x - 4 = 0 -(x - 2)2 = 0  x = 2

Trang 4

3) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Minh họa:

1) Cho hàm số

2 3

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;2),(3;+ )

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)

Trang 5

- Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Thế thì

1) f’(x) > 0, x  (a;b)  f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

2) f’(x) < 0, x  (a;b)  f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

3) f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)  f’(x)  0, x  (a;b)

4) f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)  f’(x)  0, x  (a;b)

- Khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x + (m - 3)x + (m + 1)x + 41 3 2

3 Tìm các giá trị của m sao cho

hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 4

Trang 6

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3x2 + 6mx – 3m

Xét ’  0  9 + 9m  0  m  -1: ta có hệ số của x2 của y’ là a = 3 > 0

 y’  0; x  R  hàm số đồng biến trên R  m  -1 (loại)

Xét ’> 0  9 + 9m > 0  m > -1 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (x1<x2)

Để giải quyết bài toán này ta thực hiện từng bước như sau:

• Xét y’  0 đồng thời xét dấu đạo hàm, để giải quyết bài toán tăng (giảm) trên R

• Xét y’ > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (x1 < x2) Vẽ bảng biến thiên sơ lược như trên để dựa vào đó mà kiểm chứng xem có phù hợp đề bài không?

• Nếu đã phù hợp đề bài, ta chỉ cần ghép x - x2 1 = rồi sử dụng định lý Vi-ét sẽ tìm ra 1được tham số m

Trang 7

- Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3mx2 – 4x + m,

- Để hàm số đồng biến trên [-1;2]  y’  0; x  [-1;2]  m 4x2 ; x [ 1; 2]

(3x + 1)   −

Với f’(x) = 0  -12x2 + 4 = 0  x 3

3

= vì x  [-1;2]

Trang 8

813

Trang 9

Ví dụ 6: Cho hàm số Giá trị lớn nhất của m để hàm số giảm trên [2; +)?

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2(m - 1)x + m - 6

Để hàm số giảm trên [2;+)  y’  0; x  [2; +)  m 2-x + 6

3 + Với 0  m  9 thì có bao nhiêu giá trị m

là số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên [2;5]?

HƯỚNG DẪN GIẢI

❖ Phân tích:

Trang 10

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2mx + m -2

Để hàm số đồng biến trên [2;5]  y’  0; x  [2;5] 

2-x + 2m

Trang 11

Lỗi sai thường gặp:

- Nhiều học sinh làm nhanh và vô tình quên đi điều kiện x  3m dẫn đến làm sai bài toán như sau:

- Để hàm số tăng trên (-;-1)  y’  0; x  (-;-1)  -3m2 + 2  0

Trang 12

Để hàm số nghịch biến trên (0; +)  y’  0; x (-1;1)  1

So với điều kiện (*) thấy thỏa mãn

Vậy với m − thõa mãn đề bài 3

Trang 13

Ví dụ 10: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + (m – 1)x – 1 Tìm m để hàm số nghịch biến trên

Trang 14

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)

- Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó

- Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó

- Phím CALC dùng để thay giá trị và tính

Áp dụng:

1/ Nhập (X+2Y)2, nhấn CALC màn hình sẽ hiện X?, nhập 3, nhấn =, màn hình sẽ hiện Y?, nhập 5 , nhấn = màn hình sẽ hiện 29 12 5+ Ta được đáp án trên màn hình là kết quà của ( )2

, nhấn CALC, màn hình sẽ hiện X?,, nhập2, nhấn=, màn hình sẽ hiện

Y, nhập 5 , nhấn =, màn hình sẽ hiện 12 4 5− Ta được đáp án trên màn hình kết quả

Trang 15

x

X d

2

x

X d

Trang 16

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 – 2x2 + mx – 1 Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đông biến trên [-1;2]?

Để hàm số đông biến trên [-1;2]  y’  0; x [-1;2]

Thay m vào từng đáp án và sử dụng chức năng SHIFT d

Trang 17

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Câu 1: Đồ thị nào sau đây biểu diễn hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

Câu 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f(x)  0; x  (a;b)

B Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) Nếu x1 > x2 thì f(x1) > f(x2) với x1; x2  (a;b)

C Hàm số y = f(x) là hàm hằng trên (a;b) khi f’(x) = 0; x  (a;b)

D Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f’(x) < 0; x  (a;b)

Câu 3: Cho đồ thị biểu diễn hàm số y = f(x) thì phát biểu sai là:

A f(x) > 0; x  (d;e)

B f’(x) > 0; x  (c;d)

C Hàm số tăng trên (a;b)

D f(x) < 0; x  (b;c)

Trang 18

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b) với a;b là nghiệm của phương trình f’(x) =

0 Khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên (a;b) khi f’(x0) > 0; với x0  (a;b)

B Hàm số đồng biến trên (a;b) khi 2 1

C Hàm số nghịch biến trên (a;b) khi f’(x0) < 0; với x0  (a;b)

D Hàm số là hàm hằng trên (a;b) khi 2 1

Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) > 0; với x  (c;d)

B Hàm số y =m - nx

px + q nghịch biến trên từng khoảng xác định khi nq – mp > 0

C Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x)  0; với x  (c;d) và f’(x) = 0 chỉ tại

Trang 19

(4) y’ = 0 

132

x x

Trang 20

x y x

Trang 21

−

=+ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

B Hàm số 2

5

x y

x

−

=+ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

Trang 22

− luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Câu 26: Đâu là đồ thị của hàm số y = x4 – 3x2 + 2?

Trang 23

(1) Hàm số y = x3 – 3x2 + 12x + 1 có khoảng nghịch biến là (-3;+)

(2) Hàm số y = 2x + 11 + tanx luôn đồng biến trên R

(3) Hàm số y = -6x4 + 8x3 – 3x2 – 1 có đồ thị đổi chiều biến thiên ba lần

=+ thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất

Số phát biểu đúng là:

Trang 24

Câu 29: Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 ( 2) 3

3

y= − x + m− x + m m x− − Tìm m để hàm số nghịch biến trên R?

    Hàm số đồng biến trên R khi nằm

trong khoảng giá trị nào?

    Với m nằm trong tập hợp nào

sau đây để hàm số đồng biến trên ?

biến trên từng khoảng xác định?

− Hãy cho biết có bao nhiêu giá trị nguyên dương m

để hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định với m (0;10)?

Trang 25

Câu 36: Cho hàm số 2

3

y x

−

=+ Có bao nhiêu giá trị m đối nhau để hàm số luôn đồng biến

B Khi a  −2 2 thì hàm số luôn đồng biến trên

C Hàm số luôn đồng biến với mọi a

D Khi a  −2 2 thì hàm số luôn nghịch biến trên

Câu 40: Cho hàm số y = sin2x + sinx + 3mx Phát biểu nào sai khi nói về m?

11-D 12-C 13-B 14-D 15-A 16-B 17-A 18-C 19-B 20-A 21-B 22-C 23-B 24-C 25-D 26-A 27-B 28-C 29-C 30-B 31-D 32-B 33-A 34-B 35-C 36-A 37-D 38-A 39-B 40-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

Trang 26

❖ Phân tích Ta nhìn vào từng đồ thị từ trái sang phải, ta thấy

A Đồ thị này đi từ dưới lên trong khoảng (a;b)  Đồ thị đang biểu diễn sự đồng biến  A đúng

C Đồ thị này đi từ trên xuống trong khoàng (a;b)  Đồ thị đang biểu diễn sự nghịch biến 

• Hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

• Hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải

mới hiểu và làm nhanh

Mặt khác, ta chú ý lỗi sai thường gặp đó là nhìn rõ f(x) và f’(x) vì rất dễ nhìn thiếu dấu phẩy

của đạo hàm

Câu 3: Đáp án D

❖ Phân tích

Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy đồ thị nằm từ trục Ox trở lên  f(x)  0; x  R

Từ nhận xét trên, ta thấy được ngay phương án D là SAI

Lời bình: cần luyện tập các phản xạ đầu tiên khi gặp các đồ thị như lời giải câu 3 đã thực

hiện, nó giúp ta rút ngắn thời gian làm bài rất nhiều

Câu 4: Đáp án D

❖ Phân tích

Trang 27

A ĐÚNG vì a;b là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 thì ta có thể xét dấu đạo hàm bằng cách lấy một giá trị x bất kỳ trong (a;b) thế vào đạo hàm

B ĐÚNG vì theo định nghĩa ta nhận xét hàm số đồng biến trên (a;b) khi 2 1

C ĐÚNG vì theo định lý ta có hàm số nghịch biến trên (a;b) khi f’(x0) < 0 ; với x0  (a;b)

D SAI vì không tồn tại định lý hay định nghĩa như phương án D đưa ra

Nhận xét: Dùng phương pháp loại suy cho bài này, khi ba phương án đúng thì chắc chắn

phương án kia là sai

Câu 5: Đáp án B

❖ Phân tích

A ĐÚNG vì theo định lý ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) > 0 x  (c;d)

B SAI vì khi ta tính đạo hàm của hàm số ' 2

nq mp y

− −

=+ là thì để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì y’< 0  –nq – mp < 0  nq + mp > 0

C ĐÚNG vì theo định lý mở rộng: “Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x0)  0; với

x0  (c;d) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

D ĐÚNG vì theo hệ quả Lagrange: Hàm số y = f(x) là hàm hằng khi f’(x) = 0 với x  (c;d)

=



 = −



A SAI vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số tăng (-;-21)

B SAI vì kết luận không đúng nguyên tắc, phải là “Hàm số tăng trên (-;-2) và (1;+ )

y’ + 0 - 0 +

Trang 28

C ĐÚNG vì đúng theo bảng xét dấu và nguyên tắc khi kết luận

D SAI vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy sai ở khoảng (-2;-1)

Nhận xét: Ta cần cẩn thận về nguyên tắc kết luận sự biến thiên của hàm số: Đối với hàm số

nhiều khoảng biến thiên liên tiếp thì ta phải ghi giữa những khoảng chữ “và”

x x x

x x

(II) Sai Dựa vào bảng xét dấu ta thấy thỏa mãn, nhưng kết luận sai nguyên tắc

(III) Đúng Tuy ta thấy hàm số và đạo hàm liên tục trên khoảng 1;3

2

  không được tách ra

thành hai khoảng nhưng kết luận như vậy vẫn đúng có chữ “hoặc”

(IV) Đúng Dựa vào bước tính đạo hàm phía trên

Trang 29

Đối với phát biểu (III) có chữ “hoặc” nghĩa là đang nói đến từng trường hợp Mặt khác chữ

“và” sử dụng khi ta khảo sát sự biến thiên cần kết luận chung lại

A SAI vì y’< 0; x   Hàm số luôn giảm trên các khoảng xác định D

B SAI vì kết luận sai nguyên tắc

C ĐÚNG vì đúng nguyên tắc kết luận và thỏa mãn bảng biến thiên

D SAI vì không được kết luận “gộp nhóm” khoảng đang xét khi trong khoảng có điểm mà đạo hàm không tồn tại

Lỗi sai thường gặp

Chú ý cách kết luận ở phương án D là sai và rất nhiều học sinh hay kết luận như vây!

'( 2)

Trang 30

Cách loại bỏ đáp án gây nhiễu: Do hàm số không xác định tại x = 2 do đó các khoảng chứa

giá trị 2 như (5);(7);(8) ta loại ngay, từ đó ta tạo thế chủ động hơn trong việc xử lý bài toán

Cách tính đạo hàm nhanh hàm phân thức: (tính bằng định thức)

y’ + 0 -

y

Trang 31

* Làm thế nào để biết các khoảng có đạo hàm âm hay dương?

Đơn giản ta thế một giá trị đặc biệt trong khoảng đó vào đạo hàm xem là âm hay dương Công cụ CALC trong máy tính CASIO sẽ giúp chúng ta thực hiện việc này

- Bước 1: Nhập biểu thức đạo hàm vào máy với x thì ta bấm ALPHA → X

- Bước 2: Bấm CALC → X = …ta gán cho X giá trị cần tính → Dấu “=” sẽ cho ta kết quả cần tính

Dựa vào bảng biến thiên, ta chọn ngay phương án C

Cách loại bỏ đáp án gây nhiễu: Nhìn vào tập xác định hàm số từ mốc 5

2 đến các giá trị lớn

hơn nó Vì thế các đáp án chứa các giá trị nhỏ hơn 5

2 như A, D thì ta loại bỏ ngay

Trang 32

52

Dựa vào bảng biến thiên, ta sẽ loại ngay phương án nhiễu đó là A, B Còn lại phương án C, D

ta thấy thỏa điều kiện nghịch biến Dùng CASIO thực hiện công việc tìm độ dài mỗi khoảng

Lời bình: Đối với hàm số này các bạn học sinh hay lúng túng việc tính đạo hàm Hãy đảm

bảo rằng mình “ĐÚNG” trước rồi hãy làm nhanh, vì vậy các bạn hãy tập trung tính đạo hàm của các hàm phức tạp để quen tay

A ad – bc = -5 < 0 suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định  A sai

B ad – bc = 5 > 0 suy ra hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định  B đúng

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,25 MB