LOGARIT c2 PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH mũ (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số o Tính chất 1.. Nếu hàm số y= f x liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình mũ cơ bản a x=b a( 0, a 1)

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b 0

● Phương trình vô nghiệm khi b 0

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

( ) ( )

1

a =a  = hoặc a ( ) ( )

0 a 1

 



3 Đặt ẩn phụ

( ) ( ) ( )

( )

0

0 0 1

0

g x

f t



Ta thường gặp các dạng:

● 2 ( ) ( )

f x f x 0

● m a f x( )+n b f x( ) + =p 0, trong đó a b = 1 Đặt t=a f x( ), t0, suy ra b f x( ) 1

t

=

● 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )

f x f x f x 0

m a +n a b + p b = Chia hai vế cho 2 f x( )

b và đặt

( )

0

f x

a

t b

  = 

 

4 Logarit hóa

● Phương trình ( )

( )

0 1, 0

log

f x

a

  



=   =

● Phương trình a f x( )=b g x( )loga a f x( ) =loga b g x( ) f x( )=g x( ).loga b

hoặc logb a f x( )=logb b g x( ) f x( ).logb a=g x( )

5 Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: x ( )

a = f x (0  a 1) ( )

o Xem phương trình ( ) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị x

y=a (0  và a 1) ( )

y= f x Khi đó ta thực hiện hai bước:

➢ Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số x

y=a (0  và a 1) y= f x( )

Trang 2

đồng biến trên D thì: f u( ) f v( )  u v

nghịch biến trên D thì: f u( ) f v( )  u v

➢ Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

o Tính chất 1 Nếu hàm số y= f x( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( )a b thì số ; nghiệm của phương trình f x( )= trên k ( )a b không nhiều hơn một và ; f u( )= f v( ) = u v,

( )

u v a b

o Tính chất 2 Nếu hàm số y= f x( ) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số

( )

y=g x liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x( )=g x( ) không nhiều hơn một

o Tính chất 3 Nếu hàm số y= f x( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f u( ) f v( ) u v hoac ( uv), u v,  D

7 Sử dụng đánh giá

o Giải phương trình f x( )=g x( )

o Nếu ta đánh giá được ( )

( )









 thì f x( ) g x( ) f x( ) ( ) m

=



=

8 Bất phương trình mũ

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điê ̣u của hàm số mũ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

a

 

 





    



 



Tương tự với bất phương trình da ̣ng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 











• Trong trường hợp cơ sốaco ́ chứa ẩn số thì: a M a N (a−1)(M −N)0

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số

+ Đă ̣t ẩn phu ̣

+ Sử du ̣ng tính đơn điê ̣u: ( )

( )

y f x

=





=



Chủ đề 3.4 - PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Trang 3

Câu 1 Cho phương trình 3x2− +4x 5 =9 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:

Hướng dẫn giải

3

x

 Suy ra 13+ =33 28 Chọn đáp án A

Câu 2 Cho phương trình : 3x2− +3x 8 =92x 1− , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

C 5 61 5; 61

2

3 8 2x 1

5

2

x

=



 Vậy S = 2;5

Câu 3 Phương trình 31 2 1

9

x x

= +    có bao nhiêu nghiệm âm?

Phương trình tương đương với

2

x

     

= +     = + 

     

Đặt 1

3

x

=  

  , t 0 Phương trình trở thành

2

t

=





● Với t =1, ta được 1 1 0

3

x

  =  =

 

3

1

3

x

 

Vậy phương trình có một nghiệm âm

Trang 4

Câu 4 Số nghiệm của phương trình

2 2

3

x

Phương trình tương đương với

1 1

3

x x

+

  +   − =

 

2

3 3 4 0 3 3 4 0 3 4.3 3 0

x

 

 +   − =  + − =  − + =

Đặt t =3x, t 0 Phương trình trở thành 2 1

3

t

=



− + =   =



● Với t =1, ta được 3x =  = 1 x 0

● Với t =3, ta được 3x =  = 3 x 1

Vậy phương trình có nghiệm x =0, x =1

Câu 5 Cho phương trình : 2

28 4

x 1 3

2 x+ =16 − Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

2

28

4

2

3

7

0

3

x

x x

+

−

 −  





 −  



=  + = −  + = −   = −







Nghiệm của phương trình là : 7;3

3

 

Vì 7.3 7 0

3

− = −  Chọn đáp án A

Câu 6 Phương trình 8 2 8 2 ( )5 1

2 −x.5−x =0, 001 10 −x có tổng các nghiệm là:

Trang 5

( )8 2 3 5 5 8 2 2 5 2

2.5 −x =10 10− − x 10 −x =10 − x  −8 x = −2 5x = −x 1;x= 6

Ta có : − + =1 6 5 Chọn đáp án A

Câu 7 Phương trình 9x−5.3x+ = có nghiệm là: 6 0

A.x=1,x=log 23 B x= −1,x=log 23 C x=1,x=log 32 D x= −1,x= −log 23

Đặt t =3x (t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

3

x t

=



− + =  =   =

Câu 8 Cho phương trình 4.4x−9.2x+1+ = Gọi 8 0 x x là hai nghiệm của phương trình trên Khi đó, 1, 2

tích x x bằng : 1 2

1 2

2

4

2

1 2

t

x

x t

=



− + =  =   = −



Vậy x x = −1 2 1.2= −2 Chọn đáp án A

Câu 9 Cho phương trình 4x−41−x = Khẳng định nào sau đây sai? 3

A Phương trình vô nghiệm

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2x

4 −3.4x− = 4 0

1( )

t

=



− − =  = −  =

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho phương trình 9x2+ −x 1−10.3x2+ −x 2+ =1 0 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

Trang 6

Đặt 2 1

3x x

t= + − (t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

1 2

1

2

1

0 3

1

x x

x t

x

x t

x

+ − + −

= −



=



= −



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng −2

Câu 11 Nghiệm của phương trình 2x+2x+1 =3x+3x+1 là:

2

3 log 4

3

2 log 3

x =

3 2

x

 

Câu 12 Nghiệm của phương trình 22x−3.2x+2+32= là: 0

A x  2;3 B x  4;8 C x  2;8 D x  3; 4

2 3.2 32 0 2 12.2 32 0

3

2 4

x

x x

− + =  − + =  =  =

Câu 13 Nghiệm của phương trình 6.4x−13.6x+6.9x = là: 0

A.x  1; 1− B 2 3;

3 2

x  

  C x  − 1;0 D x  0;1

2

6.4 13.6 6.9 0 6 13 6 0

   

   

x

  =

 

 



  

  =

 



1 1

x x

=



  = −

Câu 14 Nghiệm của phương trình 12.3x+3.15x−5x+1 =20 là:

A x =log 5 13 − B x =log 53 C x =log 5 13 + D x =log 3 15 −

Trang 7

1 12.3x+3.15x−5x+ =203.3 5x( x+4) (−5 5x+4)=0 ( )( 1 )

5x 4 3x+ 5 0

3x+1= 5  =x log 5 13 −

Câu 15 Phương trình 9x−5.3x+ =6 0 có tổng các nghiệm là:

A log 63 B log3 2

3 C log3 3

2 D −log 63

9x−5.3x+ = 6 0 ( )1

1  3 x−5.3x+ = 6 0 3x −5.3x+ =6 0 1'

Đă ̣t t =3x  Khi đó: 0 ( ) 2 2 ( ) ( )

3

=



 − + =  

=



Vớ i t= 2 3x= 2 x=log 23

Vớ i 3 3x 3 log 3 13

Suy ra 1 log 2+ 3 =log 3 log 23 + 3 =log 63

Câu 16 Cho phương trình 21 2+ x+15.2x− =8 0, khẳng định nào sau dây đúng?

C Có hai nghiệm dương D Có hai nghiệm âm

1 2

2+ x+15.2x− = 8 0 ( )2

2

2 2.2 x+15.2x− = 8 0 2 2x +15.2x− =8 0 2 '

Đă ̣t 2x 0

( )

2

1 2

2 ' 2 15 8 0

8

 =



 + − =  

= −



x

t=  =  =x  x= −

Câu 17 Phương trình 1

5x+25−x = có tích các nghiệm là 6 :

A log5 1 21

2

 + 

  B 5

1 21 log

2

 − 

1 21

5 log

2

 + 

Trang 8

( )

1

5x+25−x =6 1

( )

x

 + − =  + − =  + − = Đă ̣t t =5x  0

( ) ( ) ( )

2

5

2

1 21

2

t



=



 +



 + − =  − + =  − − − =  =



−

 =



Vớ i t= 5 5x = 5 x=1

x

 

Suy ra: 1.log5 1 21 log5 1 21

=

Câu 18 Phương trình (7 4 3) (2 3) 6

+ + + = có nghiệm là:

A.x=log(2+ 3)2 B x =log 32 C x =log2(2+ 3)D x =1

Đặt (2 3)

x

t = + (t 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2 3

2

3( )

t

=



Câu 19 Tập nghiệm của bất phương trình 1 32

2

x

  

 

  là:

A x  − −( ; 5) B x  −( ;5) C x  − + ( 5; ) D x (5;+)

1

32 2

x

  

 

 

5

   

   

      −x 5

Câu 20 Cho hàm số ( ) 2 sin 2

2 3x x

f x = Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

1 ln 4 sin x ln 3 0

f x  x +  B f x( ) 1 2x+2sin log 3 0x 2 

3

2

Trang 9

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A

Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình 2x+2x+13x+3x−1

A.x 2;+ ) B x (2;+ ) C x  −( ; 2) D (2; +)

2x+2x+ 3x+3x− 3.2 4.3

3

x

 

  

   x 2

Câu 22 Nghiệm của bất phương trình

2 1 1

3 9

x+

  

 

  là :

x

 −



−  

Điều kiê ̣n: x  −1

2

x

1

x

x x

 −

 Kết hợp với điều kiê ̣n

2

x x

 −



 −  



Câu 23 Nghiệm của bất phương trình 16x−4x−  là 6 0

A x log 3.4 B x log 3.4 C x1 D x 3

Đặt t =4x (t 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

2

4

t − −   −       t t t x

x

− là:

A

3

1 log 2

x





 

 B x log 23 C x 1 D log 23  x 1

1 ln 2 3 x ln1 ln 4 sin x ln 3 0

Trang 10

1

3 3

log 2

x

x x

   

−

      

Câu 25 Tập nghiệm của bất phương trình 11x+6 11x là:

A.−  6 x 3 B x  −6 C x 3 D 

6

2

0

6 0

0

6

x

x x

x

+

 

−  





 + 



  +      −  



 −   + 





3x 53x+ 1 + − là:

A.−  1 x 1 B x  −1 C x 1 D 1 x 2

Đặt t =3x (t 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

3 1 0

t

− 



Câu 27 Cho bất phương trình

    , Tập nghiêm của bất phương trình có dạng S =( )a b; Giá trì của biểu thức A= −b a nhận giá trị nào sau đây?

2

1 2x 1

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =( )1; 2 Chọn đáp án A

Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình 4x−3.2x+  là: 2 0

A x  −( ;0) ( + 1; ) B x  −( ;1) ( 2;+ )

2 2

4 3.2 2 0

2 1

x

 

− +   





1 0

x x





  



Câu 29 Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x+172 là

Trang 11

A x 2;+ ) B x (2;+) C.x  −( ; 2) D x  −( ; 2

1

3 2x x+ 722.6x 72 x 2

Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình 3 1 22 1 122 0

x

x+ − x+ −  là:

A x (0;+ ) B x (1;+ ) C x  −( ;0) D x  −( ;1)

1 2 1 2

x

 −   −  

2 4 1 3

x

 

  

   x 0

Câu 31 Tập nghiệm của bất phương trình

2 2.3 2

1

+

2 0;log 3

2 2.3 2

1

+

−



−

3

2

1 3

1 2

x

  −

 

 

  −

 

 

3

2

1 0 3

1 2

x

  −

 

 

  −

 

  3

3 2

0 3

1 2

x

  −

 

 

  −

 

 

3

2

x

 

   

2

0 x log 3

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình

1

3

x

    là:

A 0;1

3

 

 

1 0;

3

 

 

1

; 3

− 

; 0; 3

−  +

Vì 2 1

5  nên bất phương trình tương đương với 1 3 1 3 0 0 1

3

x

−

     

Trang 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0;1

3

 

 

 

Câu 33 Nghiệm của bất phương trình 2x+4.5x− 4 10x là :

2

x





 

2x+4.5x− 4 10x 2x−10x+4.5x−  4 0 2 1 5x( − x) (−4 1 5− x)  −0 (1 5x)(2x−4)0

0

x

x x

 −   



 −   

Câu 34 Tập nghiệm của bất phương trình 1

2 x −2− x  là con của tập nào sau đây? 1

A.−   1 x 1 B (−8;0) C ( )1;9 D (0;1

1

2 x −2− x  1 ( )1 Điều kiê ̣n: x 0

2

x x

 −  Đă ̣t t =2 Do x x  0 t 1

x

t





−   − − 



Chủ đề 3.4 - PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VẬN DỤNG Câu 35 Nghiệm của phương trình 4x2− +3x 2+4x2+ +6x 5=42x2+ +3x 7+ là: 1

A x  − − 5; 1;1; 2 B x  − − 5; 1;1;3 C x  − − 5; 1;1; 2− D  x 5; 1;1; 2− 

4x − +x +4x+ +x =4 x+ +x +1 2 3 2 2 6 5 2 3 2 2 6 5

4x − +x 4x+ +x 4x− +x 4x + +x 1

4x− +x 1 4x+ +x 1 4x+ +x 0

4x− +x 1 1 4x+ +x 0

2

3 2

6 5

− + + +

 



2

3 2 0

6 5 0

 − + =

 

+ + =



= −  = −



  =  =

Trang 13

Câu 36 Phương trình ( 3 2) ( 3 2) ( )10

− + + = có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

( 3− 2) (x+ 3+ 2) ( )x= 10 x 3 2 3 2 1

  +  =

=  + 

Ta có: f ( )2 = 1

Hàm số f x nghịch biến trên ¡ do ( ) 3 2 1; 3 2 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =2

Câu 37 Phương trình 2 ( )

3 x+2x 3x+ −1 4.3x− =5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm

2

3 x+2x 3x+ −1 4.3x− =5 0 ( 2 ) ( ) ( )

3 x 1 2x 3x 1 4.3x 4 0

(3x 1 3)( x 1) (2x 4 3) ( x 1) 0

 − + + − + = (3x+2x−5 3)( x+ =1) 03x+2x− = 5 0

Xét hàm số f x( )= +3x 2x− , ta có :5 f ( )1 = 0

( )

' 3 ln 3 2x 0;

f x = +   ¡ Do đó hàm số x f x đồng biến trên ¡ ( )

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x =1

Câu 38 Phương trình 3 2 5 6

2x− =3x − +x có hai nghiệm x x trong đó 1, 2 x1 , chọn phát biểu đúng? x2

A 3x1−2x2 =log 543 B 2x1−3x2 =log 543

C 2x1+3x2 =log 543 D 3x1+2x2 =log 543

Lấ y logarit cơ số 2 hai vế (hoặc có thể lấy log3 hai vế), ta được: ( ) 3 2 5 6

3 log 2x− =log 3x− +x

3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0

Trang 14

( ) ( ) 2 ( ) ( )

2

3

2

1 2 log 3 2 log 3 1

log 3

x

=



 −  − − =  − −  − =  − =



Câu 39 Cho phương trình (7 4 3) (2 3) 6

+ + + = Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình có một nghiệm vô tỉ B Phương trình có một nghiệm hữu tỉ

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng −6

(7 4 3) (2 3) 6

+ + + = ( )8

 +  + + − =  +  + + − =

Đă ̣t (2 3) 0

x

Khi đó: ( ) 2 2 ( ) ( )

3

t t

=



 + − =  

= −

 Vớ i 2 (2 3) 2 log(2 3)2

x

t=  + =  =x +

Chọn đáp án A

Câu 40 Phương trình 3 3 3 3 4 4 3

3+ x+3− x+3+x+3 −x =10 có tổng các nghiệm là :

3+ x+3− x+3 +x+3 −x=10 ( )7

7 27.3 81.3 10 27 3 81 3 10 7 '

Đă ̣t 3 1 2 3 1 2

Côsi

3

3 7 ''

x x

Trang 15

Đă ̣t y =3x 0 Khi đó: ( ) ( )

( )

2

3

1 10

3

=





 + =  − + =   =



Vớ i y= 3 3x =  =3 x 1

x

Câu 41 Phương trình sin 2 cos 2

9 x+9 x =6 có họ nghiệm là :

4 2

2 2

6 2

3 2

sin cos

2

cos

9

x

−

Đă ̣t cos 2 ( )

9 x, 1 9

* t 6 0 t 6t 9 0 t 3

t

 + − =  − + =  =

Câu 42 Với giá trị nào của m thì phương trình (2+ 3) (x+ −2 3)x =m vô nghiệm?

A.m 2 B m 2 C.m =2 D m 2

Câu 43 Với giá trị nào của m thì phương trình (2 3) (2 3)

m

+ + − = có hai nghiệm phân biệt?

A m 2 B m 2 C.m =2 D m 2

Hướng dẫn giải câu 25 & 26

Nhận xét: (2 3)(2 3) 1 (2 3) (2 3) 1

2 3 x 2 3 x , 0,

t

= +  − =   +

1 t m f t t m 1' , t 0,

 + =  = + =   +

Trang 16

Xét hàm số ( ) 1

t

= + xác đi ̣nh và liên tu ̣c trên(0, + )

Ta có: ( ) 12 2 21

f t

−

= − = Cho f '( )t =  =  0 t 1

Bảng biến thiên:

t − 1 0 1 +

( )

'

f t

− 0 +

( )

f t

+ +

2

Dựa vào bảng biến thiên:

+ Nếu m 2 thì phương trình ( )1' vô nghiê ̣m pt( )1 vô nghiệm

Bài 25 chọn đáp án A

+ Nếu m =2 thì phương trình ( )1' có đúng mô ̣t nghiê ̣mt =1 pt( )1 có đúng mô ̣t nghiê ̣m

x

t= + =  = x

+ Nếu m 2thì phương trình ( )1' có hai nghiê ̣m phân biê ̣t pt( )1 có hai nghiê ̣m phân biê ̣t

Bài 26 chọn đáp án A

Câu 44 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2 ( )2 ( )2 2

2x + =2 x+ + 2 x+ −2x+ + Khi đó, tổng hai 1 nghiệm bằng

2x + =2 x + + 2 x + −2x+ + 1 8.2x + =2 x + + 4.2 x + −4.2x+ + 1

Đặt 2 1( )

2x 2

t= + t , phương trình trên tương đương với

8t= +t 4t − +  − − =  = +4t 1 t 6t 1 0 t 3 10 (vì t 2) Từ đó suy ra

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	845,15 KB