Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp tính khoảng cách trong không gian file word có lời giải chi tiết image marked

Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

MỤC LỤC:

I.Đặt vấn đề ………2

1 Lý do chọn đề tài………2

2 Mục đích nghiên cứu: ……… 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: ……… 3

II Nội dung: ………4

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đến một mặt phẳng……….4

2 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song……….9

3 Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…11 4 Bài tập……… 17

5 Kết quả nghiên cứu……… 20

dung, phương pháp dạy học Vì vậy hiện nay Bộ GD và ĐT có quy định: “Phương pháp

GD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, tự say mê học tập và ý chí vươn lên (luật GD năm 1998)”

Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu hóa Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông

Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày

cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học toán

Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học Nhưng

lời giải cụ thể Đó là tiềm năng lớn để phát triển trí tuệ cho học sinh khi giải các bài toán

về khoảng cách

Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng mất nhiều thời gian và công sức hơn Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt động giảng dạy

Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Bài toán khoảng cách trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo

+Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm khoảng cách

+Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

II NỘI DUNG

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là

khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

O

H O

Trường hợp 1: 2 điểm A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P) Gọi A’, B’ là hình

chiếu vuông góc của A và B lên (P) Khi đó

Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc

Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC) Chứng minh rằng:

1 H là trực tâm của tam giác ABC

Bài toán 3 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Xác định hình

chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (SBC) trong các trường hợp sau:

a, Tam giác ABC cân tại A

b, Tam giác ABC vuông tại B

c, Tam giác ABC tù tại B

Ví dụ 1: (D-2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),

ngoài ra AC=AD=4cm,AB=3cm,BC=5cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

Giải:

Tam giác ABC vuông tại A

Do đó AB, AC, AD đôi một vuông góc, gọi H là hình chiếu của A

xuống mặt phẳng (BCD) áp dụng bài toán cơ bản 2 ta có:

( ) 17

b Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

c Gọi J là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

d G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC)

Lời giải

a Ta có (SAB)  (SBC)  SB

Kẻ AH ⊥ SB (H thuộc SB) Do SAB vuông cân

nên H là trung điểm của SB, khi đó AH ⊥ ( SBC)

nên d(A, (SBC)) = AH Xét SAB vuông cân tại A

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

a a

AB AS

S

B

,(2

1))(

(,

(,(2

1)(

Lúc đó

4

2.3

2))(

,(3

2))(

(,

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

AB=AD=a, CD=2a Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy và SD=a

a Chứng minh rằng tam giác SBC vuông tại B

b Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) theo a

Giải:

a, Gọi E là trung điểm DC, O là giao điểm của BD và AE

Xét tam giác BCD có: EB=ED=EC,

nên tam giác BCD vuông tại B Vậy BC vuông góc (SBD) và tam giác SBC vuông tại B

BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng

SH

3

2))(

2

1))(

,

(SCD)⊥(SAC)

2.Khoảng cách giữa đt và mp song song, Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

a Khoảng cách giữa đt và mp song song

Định nghĩa 2: Cho a // () Khoảng cách giữa a và () là khoảng cách từ một điểm bất kí của a

đến ()

Kí hiệu d(a, ( ))

b Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mp ( ), () song song là khoảng cách từ một điểm bất kì

của mp này đến mp kia Kí hiệu d(( ),())

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, BC=b, AA1=c

a 2

a

I O

Ví dụ 5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = a 2 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SCD)

SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

Kẻ SJ ⊥ BC thì J là trung điểm của BC

Suy ra BC ⊥ (SOJ)  (SBC) ⊥ (SOJ)

(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH ⊥ SJ (H  SJ) Khi đó d(O, (SBC)) = OH

Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2 2

2

11

1

OS OJ

Sau khi đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét trong phần định nghĩa về khoảng cách

để phát hiện d(AD, (SBC))=d(A;(SAD)) Rõ ràng ta đưa về bài toán tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng, do đó cần sử dụng các kỹ năng đã trình bày ở vấn đề này để giải quyết bài toán Như vậy nếu biết sắp xếp các bài toán có tính hệ thống thì việc giải toán của học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy được lối tư duy tích cực, sự kế thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục vụ vào giải các bài toán mới Với giả thiết của bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh tính tiếp:

b Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AB và SCD;

3 Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

b) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách

giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó

a 3

a E

a CD AE

//  AEDC là hình bình hành Do

đó AC // ED hay AC // (SED) (1)

suy ra d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED));

* Tính d(A, (SED))

SA ⊥ ED, kẻ SK ⊥ ED(KED) thì ED ⊥ (SAK) suy ra (SED) ⊥ (SAK);

(SED)  (SAK)  SK Kẻ AH ⊥ SK (HSK) thì d(A, (SED)) = AH

SAK và EAD là các tam giác vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta có:

2 2

2 2

2

13

11

1

1

AK a

AK AS

2 2 2 2

2

111

1

1

a a AD AE

Suy ra 2 2 12 12

3

11

a a a

,

Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) = a

721

)(

SED

SD

SED

SE

khi đó d(AC, SE) = d(AC, (SD) = d(AC, (SED))

Qua ví dụ 6 cùng với nhận xét ta giúp học sinh củng cố kết luận:

d(a, b) = d(a, mp()) với a, b là các đường thẳng

Ví dụ 7 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007)

“Cho chóp tứ giác đều SABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh

MN vuông góc với BD; tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.”

Giải:

Gọi P là trung điểm của AS,

khi đó MP // NC và MP = NC (đều bằng nửa a)

Do đó MPCN là hình bình hành, suy ra MN // PC (1)

C D

1))

Vậy

4

2)

a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC

và BD Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ B’D’ đến A’B

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần

lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH=a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa DM

đoạn vuông góc chung của DM và SC

Gọi I là trung điển CD thì BI ⊥CH và ta có

2

55

a, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC

b Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB;

a

a 3

I H

N M

C B

S

K

a 2

a

I O

SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

Kẻ SJ ⊥ BC thì J là trung điểm của BC

Suy ra BC ⊥ (SOJ)  (SBC) ⊥ (SOJ)

(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH ⊥ SJ (H  SJ) Khi đó d(O, (SBC)) = OH

Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2 2

2

11

1

OS OJ

42.2),

b, Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AD và SB

Theo lối tư duy trên học sinh sẽ nhận ra:

d(AD, SB) = d(A, (SBC)) = a

742

c d(AD, SK) = d(AD, (SBC)) = a

742

4 BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Bài tập 1 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a

a Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)

c Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

d Gọi J là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC)

Bài tập 2 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3 O là tâm hình vuông ABCD

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC);

c G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(SBC), khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

d J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến mp(SBC);

e Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC)

Bài tập 3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD tại O

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BDD’B’)

b Gọi M là trung điểm của AA’ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(BDD’B’)

c G là trọng tâm ∆ABA’ Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’)

d I là trung điểm của GB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’)

e K là trọng tâm ∆BMD Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’) Suy ra khoảng cách

từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J là trung điểm của KO

Bài tập 4 Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với

mp(ABC), lấy điểm S sao cho SA = a 3, K là trung điểm của BC

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC);

c Gọi G là trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC);

d I là trung điểm của GK Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC)

Bài tập5 Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác

đều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh mp(SIC) ⊥ mp(SED);

b Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);

c Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);

d Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);

Bài tập 6 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 0

90 , BA = BC = a,

AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).”

Vấn đề 2: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Bài tập 7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = a 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và

SC

Bài tập 8 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với mp(ABCD), SA = a 3 E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

c AC và SD

d AC và SE

Bài tập 9 (ĐỀ THI ĐH-CĐ KHỐI B NĂM 2007)

“Cho chóp tứ giác đều SABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh

MN vuông góc với BD; tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.”

Bài tập 10.Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a Gọi I là trung điểm của

BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a

Bài tập 11.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥

(ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SC và BD b) AC và SD HD: a) 6

6

a

b) 33

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA

HD: c) Gọi E = AH  BC Đường vuông góc chung của BC và SA là AE

Bài tập 13 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB Dựng IS ⊥

a

Bài tập 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

a, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (A1CD) và thể tích của khối chóp S.A1B1CD

b, Tính khoảng cách giữa AC và SD theo a

Bài tập 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, A=1200, BD=a cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600

a, Thể tích của khối chóp S.ABCD

b, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Bài tập 16 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi canh a, A=600, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 600

a, Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’

b, Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó

5 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2012 - 2013 ,tôi đã

chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :

Trước khi thực hiện đề tài

III KẾT LUẬN:

Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bô ̣ môn đă ̣c biê ̣t các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp du ̣ng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và ta ̣o mo ̣i điều kiê ̣n để các

em nắm bắt được Có như vâ ̣y, tình tra ̣ng hỏng kiến thức cơ bản mới ha ̣n chế và dần khắc phục được Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần hình học không gian

Bài toán khoảng cách là một trong các bài toán khó của phần hình học không gian, nếu vận dụng thành thạo phương pháp này học sinh có thể giải được rất nhiều bài toán khó trong các kỳ thi Đại học, đồng thời giáo viên nếu nắm vững phương pháp này có thể giúp học sinh rất nhiều trong các năm bồi dưỡng học sinh dự thi Đại học

Trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ đưa ra sơ lược một vài bài toán tính khoảng cách trong các bài tập trong SGK SBT và luyện thi Đại học chắc chắn đề tài này còn nhiều sơ suất, rất mong sự gióp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Yên ngày 20 tháng 4 năm 2013