Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong trên... Gọi các điểm I G, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC, biết đường thẳng IG vuông góc với đường t
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ 1
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN; CẤP THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian
Câu 1 (3,0 điểm)
x y
− =
+ − =
b) Tìm a để biểu thức (a+1)x2−2(a−1)x+3a−3 có nghĩa với x
c) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0(x )
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức của 51 ( )
n
x
*
n thỏa mãn điều kiện C n0+C1n+1+C n n+2 =10n+30
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm
(5;4;3)
M và cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm A B C, , phân biệt sao cho
OA OB= =OC
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Tính tích phân
4 6 0
tan cos 2
xdx x
b) Cho hai đường cong lần lượt có phương trình 2
5 6
y= x − x+ và y=x3+3x−10 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong trên
c) Tìm giới hạn:
3 2 2
2 3 2 lim
4
x
x
→
+ − +
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 4 (1,0 điểm)
Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1
P
= + + +
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho tam giác không cân ABC cóAB=c BC, =a CA, =b Gọi các điểm I G, lần lượt
là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC, biết đường thẳng IG vuông góc với đường thẳng IC Chứng minh rằng:
2 3
+ + =
+
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
Trang 3SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
⎯⎯⎯⎯⎯
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN – CẤP THPT
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Câu 1 (3,0 điểm)
2 2
2
2
2
x
+ − =
2
2
1
2
x
y
+ − − − = + − − =
0,25
2 2
2 2
1
2
5 7
2 4
x y x
y
= −
= −
− + + = − + + =
0,25
2
2 1
2
1
2 0
x
x y
y x
= −
− = =
Đặt ( ) ( ) 2
1 2( 1) 3 3
f x = a+ x − a− x+ a− Yêu cầu bài toán sẽ tương đương với tìm a để
( ) 0,
f x x
TH1: a+ = = −1 0 a 1 ta được f x( )=4x−6, không thỏa mãn yêu cầu bài toán
0,25
Trang 4Khi đó
1 0 ( ) 0,
a
+
= − − + −
1 1
1
1 2 4 0
2
a a
a
a
−
−
− − −
1
a
1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0
2
1 sinx cosx 2sin cosx x 2cos x 1 0
2 sinx cosx 2sin cosx x 2cos x 0
sin cos 2cos sin cos 0
sin cos 1 2cos 0
0,25
sin cos 0
1 2 cos 0
x
+ =
2
2
1 2 cos 0 cos
2 2
2 3
= +
= − +
0,25
x+ x= x+ = = − +x k k
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:
2
2
3
2 3
4
x= − + k k
0,25
Câu 2 (2,0 điểm)
Theo giả thiết ta có: C n0+C n1+1+C n n+2 =10n+30
( 1)( 2)
2
Trang 52 18
15 54 0
3
n
n
=
− − = = −
, kết hợp với điều kiện của n ta được n =18 0,25
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là: ( ) 15 18 6 518
k
−
=
Số hạng không chứa x tương ứng với k thỏa mãn 6 18
5
k
k
− = =
Vậy số hạng không chứa x là C18323 =6528
0,25
Do A B C, , là ba điểm phân biệt nên A B C, , không có điểm nào trùng O Giả sử
( ;0;0 ,) (0; ;0 ,) (0;0; ) ( , , 0)
a + + =b c Do ( )P đi qua M(5;4;3) nên ta có: 5 4 3
1
a+ + =b c (1)
0,25
Do OA=OB=OC a = =b c Ta có 4 trường hợp:
TH1: a= =b c, thay vào (1) có: a= = =b c 12( ) :P x+ + −y z 12=0
0,25
TH2: a= = −b c, thay vào (1) có: 5 4 3
1 a 6 ( ) :P x y z 6 0
a+ − = = a a + − − = 0,25
TH3: a= − =b c, thay vào (1) có: 5 4 3
1 a 4 ( ) :P x y z 4 0
a− + = = a a − + − =
TH4: a= − = −b c, thay vào (1) có: 5 4 3
1 a 2 ( ) :P x y z 2 0
a− − = = − a a − − + = Vậy …
0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
x= =t x= =t dt = + x dx
0,25
1 3
2
tan tan (1 tan ) tan
1 tan
1 tan
x
x
+
+
Trang 61 1 1 1
2
1
= − − − = − − − −
1 3
0
10 3 1 1 10 3 1 3 1
t t
y= x − x+ y=x + x− không có tiếp tuyến dạng x = a, trong đó a là hằng số Do đó tiếp tuyến nếu có phải có hệ số góc
Giả sử đường thẳng ( )d là tiếp tuyến chung cần tìm, ( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số
2
5 6
; 5 6
t t − +t Khi đó ( )d có phương trình dạng:
y= t− x t− + − + =t t t− x t− +
0,25
( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số y=x3+3x−10 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm:
2 2
3 8
3 3 2 5
2
x
+ − = − − +
+ − = − − +
0,25
2
3
2
3 8
2
x
t
=
0,25
2 2
9 8 48 0
9 8 48 0
0
x
=
Vậy PT tiếp tuyến chung là: y=3x−10
0,25
Ta có
Trang 7( 2) ( ) ( ) ( ) ( )2
8 3 2 2
lim
x
x x
→
0,25
lim
0,25
1 1
0
16 16
3 2 2
2 3 2
4
x
x
→
+ − + =
Câu 4 (1,0 điểm)
Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương ta được:
3
0,25
P
= + + +
= + + + + + + +
0,25
3
2 2 2.3 2.3
2
0,25
3
3 1
1
3
+ = +
3
a= = =b c Vậy giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P bằng ( )3
2+3
0,25
Trang 8Nội dung trình bày Điểm Cách 1
D
Q
N
P
G
M I A
B
C
Đường thẳng GI cắt các BC CA, lần lượt tại N P, Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
BC, từ M kẻ đường thẳng song song với GI, cắt AC tại Q Đường tròn ( )I tiếp xúc
với BC tại điểm D
0,25
CIvừa là đường cao và phân giác của tam giác CNP tam giác CNP cân tại
0,25
2
1 cos
CN
ab
+ −
2ab 2ab
CN
0,25
Trang 9Cách 2
3
+ +
0,25
Khi đó: GI ⊥IC GI CI =0(2a b c CA− − ) +(2b c a CB a CA b CB− − ) ( + )=0
(ab CACB b a b c ) (2 ) a b a c(2 ) 0 b a b c(2 ) a b a c(2 ) 0
+ − − + − − = − − + − − =
(do ab CA CB+ =ab ab+ cosC=ab(1 cos )+ C 0)
0,25
b a b c− − +a b a c− − = a b a b c− − − +b a a b c− − − =
6ab (a b a b c)( )
2 3
a b
+ +
Yêu cầu:
+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;
+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;
+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa của ý đó
+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó
+ Bài hình học không bắt buộc phải vẽ hình