Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính bằng: Giả sử .S ABC là hình chóp tam giác đều Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Lời giải tham khảo Gọi O là trung điểm của đường chéo AC thì O
Trang 1MẶT CẦU
Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và ·
BSD =60 0 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Lời giải tham khảo
Gọi O là giao điểm AC và BD
22
Trang 2bằng 45o Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Lời giải tham khảo
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 o Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính bằng:
Giả sử S ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Lời giải tham khảo
Gọi O là trung điểm của đường chéo AC thì O là tâm ’
của hình lập phương nên O cách đều các đỉnh của hình lập phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O ,
Lời giải tham khảo
Trang 3Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Lời giải tham khảo
Gọi H G I O, , , lần lượt là trung điểm cạnh AB, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ,
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD, tâm hình vuông ABCD
HOIG là hình chữ nhật 21
6
= = a
Trang 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 7 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a , SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC) và SA=a 3. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC
12
= a
12
= a
12
= a
13
= a
Câu 8 Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA SB SC vuông góc với nhau từng đôi một và , , 2 , 4 = = = SA SB a SC a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. A 6 2 = a R . B R=a 3. C 6 3 = a R . D R=a 6.
Trang 5
Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông cân tại B, AB=a SA, =2 ,a SA vuông góc với (ABC) Xác định tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. A I là trung điểm AC,R=a 2. B I là trung điểm AC, 2 2 = a R . C I là trung điểm SC, 6 2 = a R . D I là trung điểm SC, R=a 6.
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA=a AB, =b AC, =c Tính bán kính r của mặt cầu đi qua các đỉnh , , , S A B C A. 2( ) 3 + + = a b c r . B r=2 a2 +b2 +c2 .
Trang 6C 1 2 2 2
2
r a b c . D r= a2 +b2 +c2 .
Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt bên SBC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của BC , SH =a 2 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 275 483 = a R . B 275 384 = a R . C 275 384 = a R . D 384 275 = a R .
Trang 7
Câu 12 Cho khối cầu ( )S có bán kính r , S là diện tích mặt cầu và V là thể tích của khối cầu
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
4
=
V r . B 4 2
3
=
3
= V r
3
= V r
S .
Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2 ,a AD=3 a Gọi H là trung điểm của AB Biết SH ⊥(ABCD) và tam giác SAB đều Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A 129 6 = a R . B 129 3 = a R . C 129 2 = a R . D 129 9 = a R .
Câu 14 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có AB=1, SA=2. Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABC
Trang 8A 2 33
11
=
3
=
3
=
11
=
Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC bằng a 3 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 6. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A R=2a. B 6 2 = R a . C 3 2 = R a. D 2 3 = R a.
Câu 16 Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4
Biết rằng tập hợp các điểm M sao cho MA=3MB là một mặt cầu Tính bán kính R của mặt cầu đã cho
Trang 9A R=3. B 9
2
=
2
=
R .
Trang 10
Câu 17 Cạnh bên của một hình chóp tam giác đều bằng a tạo với mặt đáy một góc 30 o
Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A
2
43
Lời giải tham khảo
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lấy M là trung điểm SA Vẽ trung trực cạnh SA cắt SO tại I
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
22
Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' ' A Biết
rằng AB=a AC, =a 3, đường thẳng AB' tạo với đáy một góc 60 Tính diện tích 0 S mc
của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
2
133
Trang 11Do tam giác ABC vuông tại A nên BC= AB2+AC2 =2a , trong tam giác IOB ta có
Lời giải tham khảo
Gọi I là trung điểm SC Chứng minh được các điểm A B D cùng nhìn đoạn SC cố định , ,dưới một góc vuông nên các điểm S A B C D, , , , cùng nằm trên mặt cầu tâm I , đường kính
SC Tính được SC=2a 2 =R a 2S mc =8a2
Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a BC, =2 ,a
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 3 Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp
Câu 21 Cho tứ diện SABC có SA=2a và SA vuông góc với (ABC) Tam giác ABC
có AB=a BC, =2 ,a AC =a 5 Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Trang 12A S mc =9a2 B S mc =27a2 C S mc =18a2 D S mc =36a2
Lời giải tham khảo
( )
1
SA ABC SA AC
Từ ( )1 và ( )2 suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có đường kính
2
2
mc
SC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , B AB=BC =a 3,
· · 0
90 SA B = SCB = và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC. A S mc =3a2 B S mc =16a2 C S mc =2a2 D S mc =12a2
Câu 23 Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AC=6 ,a
Trang 13SA= a8 ,SA vuông góc với mặt đáy Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC
A S mc =64a2 B 64 2
3
=
mc
S a . C S mc =100a2 D 100 2
3
=
mc
S a .
Câu 24 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 3 Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 2 13 6 = mc a S . B 2 13 12 = mc a S . C 2 13 9 = mc a S . D 2 13 3 = mc a S .
Câu 25 Diện tích đường tròn lớn bằng mấy lần diện tích mặt cầu tương ứng?
1
4 lần.
Trang 14
Câu 26 Hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a, diện tích toàn phần là S1 và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích S2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A S1 =S2. B S2 =2S1. C S1 =2S2. D Cả A B C đều sai , ,
Câu 27 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng a Mặt phẳng (AB C’ ’) tạo với mặt phẳng (A B C’ ’ ’) một góc 600 và G là trọng tâm ABC Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ’ ’ ’G A B C A. 3844 2 3888 = mc S a . B 3844 2 144 = mc S a . C 961 2 1296 = mc S a . D 3844 2 1296 = mc S a .
Trang 15
Câu 28 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với
tất cả các cạnh của tứ diện ABCD
A.
3
3 8
3
2 24
3
2 2 9
3
3 24
= a
Lời giải tham khảo
Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB và CD Ta có 2 2 2
2
Bán kính khối cầu là: 2
= MN = a
r Thể tích khối cầu là:
3
2 24
Câu 29 Cho tứ diện SABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=3,BC=4 Hai
mặt bên (SAB)và (SAC)cùng vuông góc với mp(ABC) và SC hợp với mp(ABC) một
góc 45 Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 0 S ABC.
A. V = 5 2
3
3
3
. D V = 125 2
3
.
Lời giải tham khảo
: 9 16 5
ABC AC= + =
Trang 16(SAB) (⊥ ABC) (, SAC) (⊥ ABC)SA⊥(ABC)
Lời giải tham khảo
Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có SO⊥(ABCD)
SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
60
SA O = SBO = SCO = SDO = & SA SB SC SD (gt) = = =
SAC và SBD là hai tam giác đều bằng nhau
Ta có AC =a 2và 3 6
Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC
I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD
Trang 17Vây thể tích khối cầu cần tìm: 4 3 8 6 3
3 = 27
=
Câu 32 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích
V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A
3
24 21 27
. B
3
25 21 27
3
28 21 27
3
24 21 25
.
Lời giải tham khảo
Gọi O là trọng tâm của ABC Qua O kẻ Ox SH , lấy //
Q Ox sao cho 1 3
3
3 3
3
3 3
= = =
a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓
Câu 33 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , BC=a 2. Mặt bên SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
3
54
= a
V
3
21 54
= a
V
3
3
= a
V
3
7 21 54
= a
.
x
I
O H
A
B
S
C Q
Trang 18
Câu 34 Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a SB, =2 a Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho A. 64 14 3 147 = V a . B 16 14 3 49 = V a . C 64 14 3 147 = V a . D 16 14 3 49 = V a .
Câu 35 Cho hình vuông ABCD cạnh 4a Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm H và K sao cho BH=3HA và AK=3KD Trên đường thẳng . ( )d vuông góc (ABCD)tại H lấy điểm S sao cho · = 30 0 SB H Gọi E là giao điểm của CH và BK Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHEK A 3 13 3 = a V . B 3 54 13 3 = a V .
C 3 52 13 3 = a V . D 3 52 12 3 = a V .
Trang 19
Câu 36 Một bình đựng nước dạng hình nón ( không có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18 ( dm3), Biết thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước ( hình bên) Tính thể tích V của nước còn lại trong bình A V =6 ( dm3). B V =12 ( dm3). C V =54 ( dm3). D V =24 ( dm3).
Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=1, AD=2 cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA= 11 Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABCD
A 11 11
6
=
Trang 20C 32
3
=
3
=
.
Câu 38 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại , '=8, =6 A AA BC Mặt cầu ( )S ngoại tiếp lăng trụ, hình trụ ( )T có 2 đáy là 2 đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABC A B C Tính tỉ lệ thể tích t của khối cầu và khối trụ tương ứng với mặt cầu và hình trụ đã cho A 125 54 = t . B 125 27 = t . C 25 27 = t . D 25 54 = t .
Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy và SA=a 2. Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã
cho
Trang 21A. 4 3
3
=
V a . B 16 3
3
=
3
32 3
Trang 22
Câu 40 Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.
A
3
2
= a
V
2
= a
V
3
=
V a . D
3
8
= a
.
Câu 41 Cho mặt cầu S I R( ); và một điểm A sao cho IA=2R Từ A kẻ tiếp tuyến AT
đến ( )S (T là tiếp điểm) Tính độ dài đoạn thẳng AT
A
2
=
AT R B AT =R C AT =R 2 D AT =R 3
Lời giải tham khảo
Tam giác IAT vuông tại T nên AT= IA2−IT2 = 4R2−R2 =R 3
Câu 42 Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=2,AD=1. Đường thẳng d
nằm trong mặt phẳng (ABCD) không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD song ,
song với cạnh AB và cách AB một khoảng bằng a Gọi V là thể tích của khối tròn xoay
,
nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục d Cho biết .
( , ) ( , )
d AB d d CD d Tính a biết rằng thể tích của khối gấp 3 lần thể tích của khối cầu