Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học.. Nêu các hoạt động củng cố định lý toán học.. Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên không cần ví dụ để giải một số dạng bài tập toán
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT
CHU KỲ 2011 – 2015 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4,0 điểm)
a Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học Nêu các hoạt động củng cố định lý toán học
b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K Nếu f '(x)0, x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K Nếu f '(x)0, x K thì hàm số f(x)
nghịch biến trên K ”
Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạng bài tập toán
Câu 2 (4,0 điểm)
a Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT
b Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó
”
Câu 3 (5,0 điểm)
a Cho hệ phương trình:
+ + =
Giải hệ phương trình trên và hướng dẫn học sinh tìm một cách giải khác
b Tính tích phân:
2
x
6
cosx + s inx
(e sinx +1)sinx
=
Câu 4: (4,0 điểm)
a Nêu định hướng giúp học sinh giải bài toán sau bằng 2 cách: “ Chứng minh rằng trong hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo ”
b Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA, SB, SC sao cho SA =
aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) Chứng minh nếu mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì a + b + c = 3
Nêu mệnh đề đảo của bài toán trên Mệnh đề này đúng hay sai, vì sao?
Đề thi chính thức
Trang 2Câu 5: (3,0 điểm)
f (x)=x 5−x trên đoạn 0;5
b Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c và a2+b2+ =c2 5 Chứng minh rằng:
(a−b)(b c)(c a)(ab− − +bc ca)+ −4
-Hết
Họ và tên thí sinh……….SBD………
Trang 3SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015 Đáp án: MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
- Con đường suy diễn Gồm các bước: Tạo động cơ, suy diễn để đi đến định lí,
- Con đường có khâu suy đoán (quy nạp) Gồm các bước: Tạo động cơ, phát hiện
định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố và vận dụng định lí 0,5 Các hoạt động củng cố định lí:
- Nhận dạng và thể hiện định lí
0,5
b Nêu bốn ứng dụng của định lí đã cho
- Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm
( Thí sinh nêu đủ bốn ý thì cho điểm tối đa )
Trang 4- Chức năng giáo dục: Rèn luyện tư duy biện chứng, lôgic, gây hứng thú niềm tin,
- Chức năng kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết quả dạy học, trình độ của
b Nêu các quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo các tham số t, k
Quy trình 1:
+ Lấy A, B thuộc d1; d2, tính AB (theo t, k), tìm các vtcp u1 u2của d1, d2. 0,25
+ Điều kiện để AB là đoạn vuông góc chung của d1, d2 là: 1
2
=
Quy trình 2:
+ Tìm các vtcp u1 u2của d1, d2 và chọn vtcp của đường vuông góc chung của
đường vuông góc chung d là u= u ; u1 2
0,25
3 a
Giải hệ
+ + =
Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy ra 1 = 0 (vô lí)
Xét y 0: (*) 2
13
+ + =
0,5
Trang 52
+ =
2
=
=
1
y x 3 y
+ =
=
2
y 3
=
=
3;1 ; 1;
3
0,5
= −
=
3;1 ; 1;
3
0,5
Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy ra y −1 và rút x theo y: 7y 1
x
y 1
−
=
y 1, y
3
b
x 2
6
e (cosx + s inx)
e s inx.(e s inx +1)
0,5
=
2
6
e
1 2
t ln
t 1
Trang 62
ln 3
AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*)
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABD
+ Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, công các đẳng thức lại, từ đó
suy ra (*)
( Thí sinh nêu đủ hai cách thì cho điểm tối đa )
b
Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia
SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực)
Chứng minh nếu a + b + c = 3 thì mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam
giác ABC
1,0
Chứng minh mệnh đề này đúng
3
0,25
Trang 7Mà SA
SM
3+ + = = − +3 3 3 3 3 (2)
0,25
Vì MN, MP không cùng phương nên từ (3) ta có M, N, P, G đồng phẳng, suy ra
x (5−x) hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x)=x(5 x)− 3/ 2 x (0;5)
0,5
2
0,5
Vậy
x [0;5]
Max
f(x) = f(2) = 6 3 ,
x [0;5]
Min
b (a−b)(b c)(c a)(ab− − +bc ca)+ −4
Nếu ab + bc + ca 0 , đặt ab + bc + ca = x0
(a-b)(b-c)
3
4
−
Trang 8Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2
2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
Suy ra 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ đây ta có x 5 và 4
3
0,25
Từ (1) , (2) suy ra P
3
3
2 3
x (5 x)
Theo câu a ta có: f(x) = x (5−x)3 6 3 với x thuộc đoạn [0; 5]
9
Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0
0,25