Phương trình oxyz PHƯƠNG TRÌNH mặt cầu cơ bản 81 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP81 BTTN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG... MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIANPhương pháp: 1 Lập phươn

HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

81 BTTN PHƯƠNG

TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC

SINH THƯỜNG

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Phương pháp:

1) Lập phương trình mặt cầu:

· Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm I(a; b; c) và bán kính R Khi đó phương trình mặt cầu có dạng:

2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và mặt phẳng ( )a , h= d I, ( )( a ), H là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( )a

· h> R thì ( )a và mặt cầu (I) không giao nhau

· h= R thì ( )a và mặt cầu (I) tiếp xúc nhau tại H

· h< R thì ( )a và mặt cầu (I) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H , bán kính 2 2

r= R - h

3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và đường thẳng D, h= d I,( D), H là hình chiếu của I lên mặt phẳng D

· h> R thì D và mặt cầu (I) không giao nhau

· h= R thì D và mặt cầu (I) tiếp xúc nhau tại H Hay D là tiếp tuyến của mặt cầu (I)

· h< R thì D và mặt cầu (I) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và H là trung điểm của dây cung AB, do đó:

Gọi H là hình chiếu của A lên D thì AH= 3 và H là trung điểm của BC

nênBH= 4 Vậy bán kính mặt cầu là 2 2

AB= AH + BH = 5 Nên phương trình mặt cầu là 2 2 ( )2

x + y + z+ 2 = 25

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

Cho đường thẳng D có phương trình:x 1 y 3 z

-= = và mặt phẳng

(P) : 2x- y+ 2z= 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Đề thi ĐH Khối D – 2011

Lời giải

Gọi (S) là mặt cầu cần tìm, I là tâm

Phương trình tham số đường thẳng

x 1 2t: y 3 4t

z t

ì = +ïï

ïï

D íïï = +

=ïïỵ

1 Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu (S) và đường tròn (C)

Ta có: 2 rp = p Þ = và 8 r 4 d(I, (P))= 3 nên 2 2

R= r + d (I, (P))= 5 Vậy phương trình mặt cầu 2 2 2

Phương trình tham số của

x 1 t: y 3 2t

z 2t

ì = +ïï

ïï

D íïï = - +

=ïïỵ

, thay vào phương trình mặt cầu (S) ,

3 Vì mp(Q) chứa D và tiếp xúc với mặt cầu (S) nên M là tiếp điểm của mp(Q) và mặt cầu (S)

Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua M và nhận IM 2; 11 10;

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) : 2x- 11y+10z- 35= 0

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

1 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm M(1; 5; 2)- và qua đường tròn (C) là giao của mp ( ) : 2xa + 2y- z+ 9= 0 và mặt cầu

ïï = - +íï

ï = - +ïïỵ

sao cho giao tuyến của

mặt phẳng (P) và mặt cầu 2 2 2

(S) : x + y +z +2x- 2y+2z 1- = 0 là đường tròn có bán kính r= 1

ïï

^ a Þ íïï = +

= ïïỵ

Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm H và vuông góc với ( )a , suy ra phương trình của

Gọi I là tâm của mặt cầu (S), vì (S) đi qua đường tròn (C) nên IỴ d

Suy ra I( 3 2t;2t;3 t)- + - Þ MIuur= (2t- 4; 2t+5;1 t)- , d(I, ( )) 9t 3 t

2 Đường thẳng d đi qua A(0; 2; 6)- - và có ur = (1;1; 2) là VTCP

Phương trình của (P) có dạng: ax+ b(y+ 2)+ c(z+ 6)= 0

Hay ax+ by+ cz+ 2b+ 6c= 0

Trong đó 2 2 2

a + b + c ¹ 0 và a+ +b 2c= Þ0 a= - -b 2c (1)

Mặt cầu (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R= 2

Theo giả thiết, ta suy ra 2 2

Ví dụ 5 Lập phương trình mặt phẳng (P) biết:

1 (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau có phương trình:

-3 (P) chứa đường thẳng D1 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình:

2 Đường thẳng D3 qua M ( 2; 1; 3)3 - và urD3( 2; 3; 1)

-Cặp véc tơ chỉ phương của (P) là urD2(2;- 3;- 1) và M M (0;uuuuuur2 3 - 1; 3) nên một véc tơ pháp tuyến của (P) là

Mặt cầu (S) có tâm I(4;- 1;- 2) và bán kính R= 14

(P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi d(I; (P))= R, hay

4 Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn

đó qua tâm mặt cầu Tức là mặt phẳng (P) chứa D3 và đi qua tâm

Phương trình mặt phẳng cần tìm là (P) : 13x+ 4y+14z- 20= 0

5 Vì (P) chứa đường thẳng D2 nên (P) đi qua hai điểm thuộc D2 là điểm

2

M ( 2; 2; 0)- và N (0;2 - 1;- 1)

Phương trình mặt phẳng (P) qua M1 có dạng

Câu 18 Nếu mặt cầu ( )S đi qua bốn điểm M(2; 2; 2 , ) (N 4;0; 2 , ) (P 4; 2;0) và Q(4; 2; 2)

thì tâm I của ( )S có toạ độ là:

A (1; 2;1 ) B (3;1;1 ) C (1;1;1 ) D (− −1; 1;0 )

Câu 19 Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M(1;0;1 , ) (N 1;0;0 , ) (P 2;1;0) và Q(1;1;1) bằng:

A 3

3.2

Câu 20 Cho mặt cầu ( ) 2 2 2

Q Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu ( )S ?

A 4 điểm B 2 điểm C 1 điểm D 3 điểm

Câu 21 Mặt cầu ( )S tâm I(−1; 2; 3− ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P :x+2y+2z+ =1 0 có phương trình:

( ) :S x +y + −z 2x− = Mệnh đề nào sau đây sai? 5 0

A d đi qua tâm của ( ) S

B d không đi qua tâm của ( ) S và cắt ( ) S tại hai điểm

C d có một điểm chung với ( ) S

D d không có điểm chung với ( ) S

Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (s x−3)2+ +(y 2)2+ −(z 1)2 =100 và mặt phẳng ( ) : 2P x−2y− + = Khẳng định nào sau đây là đúng ? z 9 0

A ( ) P đi qua tâm của ( ) S

B ( ) P không đi qua tâm của ( ) S và cắt ( ) S theo một đường tròn

C ( ) P có một điểm chung với ( ) S

D ( ) P không có điểm chung với ( ) S

Câu 30 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu tâm (1; 2;3)I − bán kính R = 3 Phương trình của mặt cầu là:

A (x 1)− 2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 = 3 B (x 1)− 2 + +(y 2)2+ −(z 3)2 =9

A.I(-1;1;-2), R = 9 B.I(1;-1;2),R=3 C.I(1;-1;2),R= 3 D.I(-1;1-2), R=3

Câu 33 Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I (1;2;3) đi qua điểm A(1;1;2) có pt là :

Câu 35 : Trong khôngg gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1, 2,3 ,) (B −3, 4, 1− )

Mặt cầu ( )S có đường kính AB Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của ( )S

Câu 49 Cho ba điểm A ( 1; 2;0 − ), B − ( 1;0;1 ), C ( 0;2;0 ) Phương trình mặt cầu có đường kính AB là:

A.I −( 5; 4;0), R = 3 B I −( 5; 4;0), R = 9

C I(5; 4;0− ), R = 3 D.I(5; 4;0− ), R = 9

Câu 55Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 4− ) và tiếp xúc với trục Oy Viết phương trình của mặt cầu (S)

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , phương trình tổng quát của ( )

: 2x−2y− + =z 3 0, điểm I( 2;1;-1) Mặt cầu tâm I tiếp xúc( ) có bán kính là:

Câu 66: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

Câu 69 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Phương trình nào sau đây là phương trình

mặt cầu đường kính ABvới A(−1 ; 2 ; 1 ,) (B 0 ; 2 ; 3) ?

Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt

cầu tâm I(2 ; 1 ; 3 − ) và đi qua A(7 ; 2 ; 1) ?

A x2+y2+z2−2z−10=0 B x2+y2+z2+2z−10=0

C x2+y2+z2−2z+10=0 D x2+y2+z2+2z+10=0

Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Tìm phương trình mặt cầu có tâm I thuộc

Oz và đi qua hai điểm M(1; 2; 4 , − ) (N −1; 2; 2)?

C M nằm trên( ) S D M trùng với tâm của ( ) S

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0),B(0;3; 0), C(0; 0; 6) Tìm phương trình mặt cầu ( )S tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A?

A (x−5)2+(y−3)2+ −(z 6)2 =61 B.(x−5)2+(y+3)2+ −(z 6)2 =61

C.(x+5)2+(y−3)2+ −(z 6)2 =61 D.(x−5)2+(y−3)2+ +(z 6)2 =61

Câu 77: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 4)− ,B(1;3;9), C(1; 4; 0) Tìm phương trình mặt cầu ( )S đi qua điểm A và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ ?

Câu 80: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểmB(1;1;9),C(1; 4; 0) Mặt cầu ( )S

đi qua điểm B và tiếp xúc với mặt phẳng(Oxy)tại C có phương trình là:

1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A 17A 18A 19A 20A 21A 22A 23A 24A 25A 26 27B 28A 29B 30

31 32 33 34C 35A 36C 37D 38B 39C 40D 41B 42D 43B 44C 45B 46A 47D 48A 49A 50B 51B 52A 53B 54C 55C 56A 57 58 59

60 61 62 63B 64C 65B 66B 67D 68B 69A 70A 71A 72A 73C 74B 75A 76A 77C 78A 79A 80A 81D