KHỐI TRÒN XOAY 149 BTTN KHỐI cầu – mặt cầu cơ bản image marked

Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.. Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác đ

HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

149 BTTN KHỐI CẦU –

MẶT CẦU CƠ BẢN

TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC

SINH THƯỜNG

MẶT CẦU 1/ Đi ̣nh nghi ̃a

Tập hơ ̣p các điểm M trong không gian cách điểm O cố đi ̣nh mô ̣t khoảng R go ̣i là mă ̣t cầu tâm O , bán kính R , kí hiê ̣u là: S O( ; R) Khi đó S O( ; R) = M OM| =R

2/ Vi ̣ trí tương đối của mô ̣t điểm đối với mă ̣t cầu

Cho mặt cầuS O( ; R)và mô ̣t điểmAbất kì, khi đó:

 Nếu OA=R A S O( ; R) Khi đó OA go ̣i là bán kính mă ̣t cầu Nếu OA và OB

là hai bán kính sao cho OA= −OB thì đoa ̣n thẳngAB gọi là một

đường kính của mă ̣t cầu

 Nếu OA  nằm trong mă ̣t cầu R A

 Nếu OA  nằm ngoài mă ̣t cầu R A

 Khối cầu S O( ; R) là tâ ̣p hơ ̣p tất cả các điểm M sao cho

R

OM 

3/ Vi ̣ trí tương đối của mă ̣t phẳng và mă ̣t cầu

Cho mặt cầuS O( ; R)và mô ̣tmp P Go ̣i d la( ) ̀ khoảng cách từ tâm O của mă ̣t cầu đến

( )

mp P va ̀ H là hình chiếu của O trên mp P( ) =d OH

 Nếu d R mp P cắt mă ̣t cầu ( ) S O( ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên

( )

mp P co ́ tâm là H và bán kính 2 2 2 2

r =HM = R −d = R −OH (hình a)

 Nếu d R mp P( ) không cắ t mặt cầu S O( ; R) (hình b)

 Nếu d= R mp P( ) có mô ̣t điểm chung duy nhất Ta nói mă ̣t cầu S O( ; R) tiếp

xú c mp P Do đo( ) ́, điều kiê ̣n cần và đủ để mp P tiếp xu( ) ́ c với mă ̣t cầu S O( ; R) là

Hình a Hình b Hình c

4/ Vi ̣ trí tương đối của đường thẳng và mă ̣t cầu

Cho mặt cầuS O( ; R)và mô ̣t đường thẳng Gọi H là hình chiếu củaO trên đường

thẳngvà d =OHlà khoảng cách từ tâmO của mă ̣t cầu đến đường thẳng Khi đó:

 Nếu d  không cắt mă ̣t cầuR S O( ; R)

 Nếu d   cắt mă ̣t cầuR S O( ; R)tại hai điểm phân biê ̣t

 Nếu d =   và mă ̣t cầu tiếp xúc nhau (ta ̣i mô ̣t điểm duy nhất) Do đó: điều kiê ̣n R

cần và đủ để đường thẳngtiếp xú c với mă ̣t cầu làd =d O( , = ) R

Đi ̣nh lí: Nếu điểm A nằ m ngoài mă ̣t cầu S O( ; R) thì:

 QuaAcó vô số tiếp tuyến với mă ̣t cầu S O( ; R)

 Đô ̣ dài đoa ̣n thẳng nối A vớ i các tiếp điểm đều bằng nhau

 Tâ ̣p hợp các điểm này là mô ̣t đường tròn nằm trên mă ̣t cầu S O( ; R)

5/ Diê ̣n tích và thể tích mă ̣t cầu

• Diê ̣n tích mă ̣t cầu: 2

I Mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp khối đa diê ̣n

1/ Ca ́ c khái niê ̣m cơ bản

d

d =

d

d =

 Tru ̣c của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoa ̣i tiếp của đa giác đáy

và vuông góc với mă ̣t phẳng chứa đa giác đáy

 Bất kì mô ̣t điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó

 Đường trung trực của đoa ̣n thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoa ̣n thẳng

và vuông góc với đoa ̣n thẳng đó

 Bất kì mô ̣t điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoa ̣n thẳng

 Mă ̣t trung trực của đoa ̣n thẳng: là mă ̣t phẳng đi qua trung điểm của đoa ̣n thẳng và

vuông góc với đoa ̣n thẳng đó

 Bất kì một điểm nào nằm trên mă ̣t trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoa ̣n thẳng

2/ Tâm va ̀ bán kính mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp

 Tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói

cách khác, nó chính là giao điểm I của tru ̣c đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt

phẳng trung trư ̣c của một cạnh bên hình chóp

 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp

3/ Ca ́ ch xác đi ̣nh tâm và bán kính mă ̣t cầu của mô ̣t số hình đa diê ̣n cơ bản

a/ Hi ̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t, hình lâ ̣p phương

- Tâm: tru ̀ ng với tâm đối xứng của hình hô ̣p chữ nhâ ̣t (hình lâ ̣p phương)

Tâm là I , là trung điểm của AC '

- Ba ́ n kính: bằng nửa đô ̣ dài đường chéo hình hô ̣p chữ nhâ ̣t (hình lâ ̣p phương)

Xét hình lăng tru ̣ đứng ' ' ' '

A A A A nội tiếp đường tròn ( )O và ( )O Lu' ́ c đó,

mặt cầu nô ̣i tiếp hình lăng tru ̣ đứng có:

- Tâm: I vơ ́ i I là trung điểm của OO '

Cho hình chóp đều S ABC

- Gọi O là tâm của đáySOlà tru ̣c của đáy

- Trong mặt phẳng xác đi ̣nh bởi SO và mô ̣t ca ̣nh bên,

chẳng hạn như mp SAO , ta ve( ) ̃ đường trung trực của ca ̣nh SA

là  cắ t SA ta ̣i M va ̀ cắt SO ta ̣i I I là tâm của mă ̣t cầu

Cho hình chóp S ABC co ́ ca ̣nh bên SA ⊥ đáy (ABC ) và đáy ABC nô ̣i tiếp đươ ̣c

trong đường tròn tâm O Tâm và bán kính mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp S ABC đươ ̣c

xác đi ̣nh như sau:

- Từ tâm O ngoa ̣i tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với

Ta có: MIOB là hình chữ nhâ ̣t

Xét MAI vuông tại M có:

- Dựng tru ̣c  củ a đáy

- Dựng mă ̣t phẳng trung trực ( ) củ a mô ̣t ca ̣nh bên bất kì

- ( )   =  là tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hình chóp I I

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp

g/ Đươ ̀ ng tròn ngoa ̣i tiếp mô ̣t số đa giác thường gă ̣p

Khi xác đi ̣nh tâm mă ̣t cầu, ta cần xác đi ̣nh tru ̣c của mă ̣t phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông gó c với mă ̣t phẳng đáy ta ̣i tâm O của đường tròn ngoa ̣i tiếp đáy Do đó, việc xác đi ̣nh tâm ngoa ̣i O là yếu tố rất quan tro ̣ng của bài toán

II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Cho hình chóp S A A 1 2 A n (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường,

để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng : trục đường tròn

ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu:  mp( ) = O

- Bán kính: R=SA(=SO) Tuỳ vào từng trường hợp

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy



H

O I

D

C

B A

S

∆ vuông: O là trung điểm

củ a ca ̣nh huyền

O

Hình vuông: O là giao

điểm 2 đường chéo

1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại

tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy

Tính chất:  M : MA=MB=MC

Suy ra: MA=MB=MC  M

2 Các bước xác định trục:

- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy

VD: Một số trường hợp đặc biệt

3 Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

 là trục đường tròn ngoại tiếp ABC

5 Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông

A H

B

A

C H



A

M

I O S

 nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC

Gọi I là trung điểm SC  là tâm MCNT khối chóp I S ABC và bán kính R=SI

Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S ABC

+ Vẽ SG⊥(ABC) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

+ Trên mặt phẳng (SGC , vẽ đường trung trực của ) SC , đường này cắt

SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC và bán kính R=IS

2

SG SC SC SK SC SGC SKI g g R

SK SI SG SG

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Mặt bên .(SAB) (⊥ ABC) và SAB đều Gọi H M, lần lượt là trung điểm của

,

AB AC

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA=MB=MC )

Dựng d là trục đường tròn ngoại tiếp 1 ABC ( d qua M và song 1

song SH )

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và d là trục đường tròn 2

ngoại tiếp SAB , d cắt 2 d tại I1  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp I S ABC

 Bán kính R SI= Xét SGI →SI = GI2+SG2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng A Diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

A 2 ap 2 B

2

2 a3

Câu 5: Diện tích mặt cầu bằng 100cm2, khi đó bán kính mặt cầu bằng:

C Giao điểm của hai đường chéo AC và BD

D Trọng tâm tam giác SAC

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB= 1cm, BC= 3cm,

SA^ (ABC), SA= 4cm Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

A 2 5cm B. 5cm C 2cm D 19cm

2

Câu 9: Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt cầu và · · · 0

ADB= BDC= CDA= 90 Một đường kính của mặt cầu đó là:

C AC D DD’, trong đó DD '= 3DG

uuur uuur

với G là trọng tâm DABC

Câu 10: Cho hình nón có đường sinh và đường kính đều bằng A Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Câu 12: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh A Thể tích khối cầu ngoại

p

C

3

4 a3

p

3

a 327p

Câu 13: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4p Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là:

p

C

2

7 a3

p

2

7 a6p

Câu 15 Mặt cầu có bán kính R 3 có diện tích là:

p

C

3

8 a3

p

D

3

64 a3p

Câu 18 Khối cầu có thể tích bằng 36 cm3 có bán kính là:

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a 2 , SA⊥(ABC),

SC tạo với đáy một góc 450 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

A a 2 B a 2

Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA⊥(ABCD), SA

=AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

Câu 24 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng

2A Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

p

C

3

4 a 33

p

D

3

4 a3p

Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD đều có tất cả các cạnh đều bằng A Diện tích mặt cầu ngoại

Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, tam giác SBC vuông tại S,

AB=SC=a, AC=SB = a 3 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

p

C

3

4 a 23

p

D 2a3

Câu 27 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu có tâm O theo đường tròn có bán kính bằng 4cm và

khoảng cách từ O đến mp(P) bằng 3cm Bán kính của mặt cầu là:

p

C

3

8 a3

p

D 2a3Câu 29: Cho mặt cầu có bán kính bằng 5cm Diện tích của mặt cầu này là:

Câu 32: Bán kính của hình cầu có thể tích bằng 36 là:

p

C

3

4 a3p

D pa3

Câu 36: Nếu tăng diện tích hình tròn lớn của một hình cầu lên 4 lần thì thể tích của hình cầu

đó tăng lên bao nhiêu lần

Câu 38: Hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều tam giác có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a

p

C

3

32 2a27

p

D

3

32 3a27p

Câu 39: Trong không gian cho điểm và số thực dương Tập hợp tất cả các điểm cách đều

một khoảng là

A một đường tròn tâm bán kính B một mặt cầu tâm bán kính

C một đường tròn tâm bán kính D một mặt cầu tâm bán kính

Câu 40: Một mặt cầu có diện tích Thể tích của khối cầu này là

Câu 41: Một khối cầu có thể tích là ( )3

288p m Diện tích của mặt cầu là

p

C

3

2 R3

p

D

3

3 R2p

Câu 45: Trong không cho tam giác ABC có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với 3 cạnh của tam

giác?

A 1 mặt B 2 mặt C 3 mặt D vô số mặt

Câu 46: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A

và B là

A một mặt phẳng B một đường thẳng C một đường tròn D một mặt cầu Câu 47 Trong không gian cho 3 điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng Tập hợp tâm của

mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C là

A một mặt phẳng B một đường thẳng C một đường tròn D một mặt cầu Câu 48 Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là

A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm

Câu 51: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 55: Cho khối cầu có thể tích bằng

3

8 a 627p

, khi đó bán kính mặt cầu là:

Câu 56: Cho hình lập phương cạnh A Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có diện tích tính

Câu 58: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ tất cả các cạnh đều là A Diện tích mặt

cầu ngoại tiếp lăng trụ tính theo a là

Câu 61 Mặt cầu tâm O, có bán kính R; mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung với mặt cầu

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.d(O; (P))< R; B d(O; (P))> R; C d(O; (P))= R D d(O; (P))= 0

Câu 62 Cho mặt cầu (S), có bán kình a 2 Diện tích mặt cầu là:

Câu 64 Cho hình cầu S(I,R), trong đó R= a 5 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(I,R) theo một

Câu 65 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp;

B Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoài tiếp;

C Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có một mặt cầu ngoại tiếp;

D Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 66 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh A Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là

p

= ; C

3

aV2

p

= ; D

3

aV4

p

=

Câu 69 Cho khối trụ có bán kính đáy là 3a, chiều cao là a

2 Một khối cầu có thể tích bằng khối trục trên Bán kính khối cầu là:

A 3a

2 ; B

3 9a

3

9a

3p

Câu 72: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = AC = 2 Khi quay cạnh BC quanh trục BA,

thể tích khối nón tròn xoay được tạo ra là

Câu 77 Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) có giao tuyến là

đường tròn (C) tâm H, bán kính r Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là

4

2

2 ABR

4+ C R2- AB2 D R2+ AB2

Câu 79 Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r= 4 Biết khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3 Bán kính mặt cầu (S) là

A 5 B 4 C. 5 D 25

Câu 80 Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A,

B Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4 Bán kính mặt cầu (S) là

A 5 B 4 C 5 D 25

Câu 81 Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R Mặt phẳng (P) qua I cắt mặt cầu (S) theo đường

tròn (C) có bán kính r = 100 Bán kính mặt cầu (S) là

A 100 B 10 C 10 D 50

Câu 82 Cho hình chóp đếu S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc · 0

SAC= 45 Diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

p

C

2 2

a 22

p

D

2

a 24p

Câu 83 Cho hình chóp đếu S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của khối nón ngoại

p

3

a 23

p

3

a 312

p

3

a 23

p

3

a 312

p

Câu 85 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông ở B, SC

=100 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

Câu 91 Một hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là 3, 4, 5 nội tiếp mặt cầu Thể tích khối

3 p D

2550

Câu 93 Thể tích của khối cầu có bán kính r=2 bằng;

Câu 96: Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R Tỉ số

thể tích khối cầu và khôi trụ là

Câu 97: Diện tích mặt cầu có bán kính r là

2

Câu 99: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu Khẳng định nào

sau đây là khẳng định đúng?

A OA > r B OA < r C OA = r D OA  r

Câu 100: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường

tròn H là hình chiếu của O trên (P) khẳng định nào sao đây là khẳng định đúng?

A OH < r B OH  r C OH > r D OH =r

Câu 101: Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O tại H Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

A Mọi đường thẳng thuộc (P) đều tiếp xúc với (S)

B Mọi đường thẳng đi qua H đều tiếp xúc với (S)

C Mọi đường thẳng thuộc (P) và đi qua H đêu tiếp xúc với (S)

D Mọi đường thẳng đi qua O đều tiếp xúc với (S)

Câu 102: Ba cạnh của một tam giác cân khi quay xung quanh trục đối xứng của nó tạo thành

A hình trụ tròn xoay B hình nón tròn xoay

C khối trụ tròn xoay D khối nón tròn xoay

Câu 103: Môt tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh đường thẳng

chứa cạnh góc vuông tạo thành

A khối nón tròn xoay B hình nón tròn xoay

C hình trụ tròn xoay D khối trụ tròn xoay

Câu 104: Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 8, diện tích mặt cầu là

A 256 B 64/3 C 128 D 64

Câu 105: Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 4 Thể tích khối cầu là

A 16 B 64/3 C 256/3 D 16/3

Câu 106: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, BC = 3a quay xung quanh cạnh AB

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?