Công thức môn toán 12 chương i hàm số và các bài toán liên quan file word image marked

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y= f x , ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số lu

1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Định lý 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f x( ) đồng biến trên K thì f x'( )0 với mọi xK

b) Nếu hàm số f x( ) nghịch biến trên K thì f x'( )0 với mọi xK

• [ f x( ) đồng biến trên K ]  [f x'( )0 với mọi xK ]

• [ f x( ) nghịch biến trên K]  [ f x'( )0 với mọi xK ] [f '( )x =0 với mọi xK ]  [f x( ) không đổi trên K ]

Định lý 2: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f '( )x 0 với mọi xK thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

b) Nếu f '( )x 0 với mọi xKthì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

c) Nếu f '( )x =0 với mọi xKthì hàm số f x( ) không đổi trên K

• [ f'( )x 0 với mọi xK]  [ f x( ) đồng biến trên K ]

• [ f'( )x 0 với mọi xK]  [ f x( ) nghịch biến trên K]

Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x'( )0 với mọi xKvà f'( )x =0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y= f x( ), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y= 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y= f x m( , ), m là tham số, có tập xác định D

• Hàm số f đồng biến trên D  y0,  x D

• Hàm số f nghịch biến trên D y0,  x D

Từ đó suy ra điều kiện của m

00

00

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx + : c

• Nếu   thì 0 g x( ) luôn cùng dấu với a

• Nếu  =0thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ

2

b x

5) Để hàm số y=ax3+bx2+cx + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) d (x1; x2)

bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

• Tính y

• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

00

• Biến đổi x1−x2 =d thành (x1+x2)2−4x x1 2=d2 ( )2

• Sử dụng định lí Viet đưa ( )2 thành phương trình theo m

• Giải phương trình, so với điều kiện ( )1 để chọn nghiệm

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f x( )0 (hoặc   , , ) Xét hàm số y= f x( )

trên tập xác định do đề bài chỉ định

• Xét dấu f '( )x Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f '( )x thì ta đặt h x( )= f'( )x và quay lại tiếp tục xét dấu h x'( )… cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng:

( ) ( )

f a  f b

Xét tính đơn điệu của hàm số f x( ) trong khoảng ( )a b;

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f x( ) ( )=g x (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x0 của phương trình

• Xét các hàm số y= f x( ) ( )C1 và y = g(x) ( )C2 Ta cần chứng minh một hàm số

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( )x0 =0

Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên khoảng ( )a b; chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a x; 0) và (x b0; ) Khi đó

a) Nếu f x'( )0 với mọi x(a x; 0) và f x'( )0 với mọi x(x0; b)

thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x'( )0 với mọi x(a x; 0) và f x'( )0 với mọi x(x0; b)

thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( )a b; chứa điểm x0, f x( 0)= và f có đạo hàm cấp 0hai khác không tại điểm x0 Khi đó

a) Nếu f( )x0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f( )x0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

Định lý 4:

a) Hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx+d a( 0) có hai điểm cực trị

 f'( )x =3ax2+2bx + = có hai nghiệm phân biệt c 0

b) Hàm số y= f x( )=ax4+bx2+c a( 0) có ba điểm cực trị

 f'( )x =4ax3+2bx=0 cĩ ba nghiệm phân biệt

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

• Tìm f( )x

• Tìm các điểm x i i ( =1,2 ,) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

• Xét dấu f( )x Nếu f( )x đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y= f x( ) đạt cực trị tại điểm x0 thì f( )x0 =0 hoặc tại x0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y= f x( ) đạt cực trị tại điểm x0 thì f( )x đổi dấu khi x đi qua x0

Chú ý:

• Hàm số bậc ba 3 2

y=ax +bx +cx + có cực trị  Phương trình d y=0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y x( )0 bằng hai cách:

'

b a

−

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y x( )0 bằng hai cách:

P x

y x

Q x

=

• Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để

loại bỏ nghiệm ngoại lai

• Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa,

nhất là định lí Vi–et

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y= f x( )=ax3+bx2+cx + d

• Chia f x( ) cho f( )x ta được: f x( )=Q x f( ) ( )  x +Ax+B

• Khi đó, giả sử (x y1; 1) (, x y2; 2) là các điểm cực trị thì: 1 1 1

 Các điểm (x y1; 1) (, x y2; 2) nằm trên đường thẳng y= Ax+B

2) Hàm số phân thức

2

( )( )

P x y

Q x

• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai

3 GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

• Tính f( )x .

• Xét dấu f( )x và lập bảng biến thiên

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn a b; 

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

• Chứng minh một bất đẳng thức

• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được

trở thành đẳng thức

Một số kiến thức thường dùng:

a)

2 2

Dấu "=" xảy ra khi a b =

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( ) trên một miền D cho trước

Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f x( )trên D , thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f x( ) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )

f x =m f x = M

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

f x =m f x =M Khi đó:

4) Bất phương trình f x( ) đúng với mọi x m

5) Bất phương trình f x( ) đúng với mọi x  M

= = là hàm số phân thức hữu tỷ

• Nếu Q x( )=0có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x=x0

• Nếu bậc (P x( ) ) bậc (Q x( ) ) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc (P x( ) )= bậc (Q x( ) )+ thì đồ thị có tiệm cận xiên 1

b) Để xác định các hệ số , a b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

6 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán tổng quát

Trong mp Oxy( ) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 1

2

( ) : ( )( ) : ( )

Số nghiệm của phương trình ( )1 chính là số giao điểm của hai đồ thị ( )C1 và ( )C2

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt ( )1 bằng số giao điểm của hai đồ thị ( )C1 và ( )C2

Chú ý 1 :

7 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

* ( )1 vô nghiệm  ( )C1 và ( )C2 không có điểm điểm chung

* ( )1 có n nghiệm  ( )C1 và ( )C2 có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x 0 của phương trình ( )1 chính là hoành độ điểm chung của ( )C1 và ( )C2

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f x( )0 hoặc y0 = g x( )0

tại điểm M (x ; y ) (C)0 0 0 

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( 0; 0)( )C là tiếp điểm của tiếp tuyến với ( )C

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f( )x0 =k, từ đó suy ra y0 = f x( 0)=?

Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y−y0 =k x( −x0) ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp

tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ) có phương trình dạng: y=ax+b thì hệ số góc của

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến ( )d với ( )C tại điểm M0(x y0; 0)( )C

( ) :d y= f x'( )(0 x−x0)+ f x( )0 ( )*

Bước 2: Định x0 để ( )d đi qua điểm A x( A;y A)Ta có:

( )d đi qua điểm A x( A;y A)y A= f x'( 0)(x A−x0)+ f x( 0) ( )1

Bước 3: Giải phương trình ( )1 tìm x0 Thay x0 tìm được vào ( )* ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm

8 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Cơ sở của phương pháp

)

;0

)(C2

Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thị cố định ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m)

Bước 2: Vẽ ( )C và ( ) lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của ( ) và ( )C

Từ đĩ suy ra số nghiệm của phương trình ( )*

Minh họa:

Dạng: f x( )= g m( ) giải tương tự

9 TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), tập hợp ( )C tất cả các điểm cĩ toạ độ (x f x; ( )) với x D được gọi là đồ thị của hàm số y= f x( )

Từ định nghĩa ta cĩ: (C)=M/M(x;y)vớixDvà y=f(x)

D x C y

x

M( 0; 0)( ) 0 và y =0 f(x0)

Phương pháp chung

Đặt M x y( 0, 0) ( )Ỵ C với y0= f x( )0 là điểm cần tìm;

Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0;

Giải phương trình tìm x0, suy ra y0= f x( )0 ® M x y( 0; 0)