18 bài toán xác định góc trong không gian file word có lời giải chi tiết image marked

Trong bài tập có những bài về góc giữa hai mặt bên, các em nhớ rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b với a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1 Trong bài tập có những bài về góc giữa hai mặt bên, các em nhớ rằng góc giữa hai mặt phẳng là

góc giữa hai đường thẳng a và b (với a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng) cùng vuông góc

với giao tuyến của hai mặt phẳng tại cùng một điểm

2 TRONG LỜI GIẢI CÓ TRÌNH BÀY: PHƯƠNG PHÁP THAM KHẢO (BÀI GIẢNG KHÔNG

ĐỀ CẬP VÌ PHƯƠNG PHÁP NÀY KHÔNG THUẬN LỢI LẮM CHO THI TRẮC NGHIỆM – PHÙ HỢP CHO MỘT VÀI BẠN KHÔNG NẮM VỮNG HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN)

Phương pháp tọa độ trong không gian

a) Phương trình mặt phẳng (MNP đi qua ba điểm) M x( M;y M;z M), N x( N;y N;z N), P x y z( P; P; P): + Mặt phẳng (MNP đi qua điểm ) M x( M;y M;z M) và có vectơ pháp tuyến n=MN MP, =(A B C; ; ) có

d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC và ) (MNP : )

(ABC có vectơ pháp tuyến ) n1 = AB AC,  , (MNP có vectơ pháp tuyến ) n2 = MN MP,  , khi đó:

Tính u=AB và (MNP có vectơ pháp tuyến ) n= MN MP,  thì sin( ,( ) ) .

Câu 1: [2H1-2]Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có AB = , a SA=a 3 Gọi G là trọng tâm tam

giác SCD Góc giữa đường thẳng BG và mặt phẳng (ABCD bằng )

10arctan

85arcsin

85arccos

17

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm của CD , kẻ GK song song với SO

và cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mặt

phẳng (ABCD , suy ra ) (BG ABCD,( ) )=GBK

Câu 2: [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có AB = , a SA=a 3 Gọi G là trọng tâm tam

giác SCD Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng

33arccos

3arccos

33arccos

22

Lời giải Chọn B.

Gọi M là trung điểmCD Gọi E=BDAM , suy ra GE SA Suy ra // (BG SA, ) (= BG GE, )

Vì G E, lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên 1 3

a

GE= SA=

Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,

suy ra K là hình chiếu của G trên mp ABCD ( )

BG GE BE BGE

BG GE

Câu 3: [2H1-3]Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, SA=a 3 Gọi M là trung

điểm cạnh BC Góc giữa hai mặt phẳng (SDM và ) (SBC bằng )

A.arctan2 11

110arctan

2 110arctan

2 110arctan

Lời giải Chọn D.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD , gọi E=ACDM, suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC , ) I thuộc đường thẳng SM , suy ra hình chiếu

H của E lên mặt phẳng (SBC nằm trên đoạn thẳng CI và ) 2

Câu 4: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc, góc OCB =30, ABO =60

và AC=a 6 Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM =2BM Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA

31arctan

93arctan

31arctan

2

Lời giải Chọn C.

HM

Câu 5: [2H1-3]Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc Góc giữa đường thẳng AC

và mặt phẳng (OBC bằng 60 , OB) = , a OC=a 2 Gọi M là trung điểm cạnh OB Góc

giữa hai mặt phẳng (AMC và ) (ABC bằng )

A.arcsin 3

32arcsin

1arcsin

34arcsin

35

Lời giải Chọn A.

Ta có góc giữa AC và mặt phẳng (OBC bằng 60 Suy ra ) OA=OCtan 60 =a 6

ACM

a

S = (Dùng công thức Hê-rông)

3

Câu 6: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD , ) SA=2a Gọi F là trung điểm SC , tính góc  giữa hai đường thẳng BF và

AC

Lời giải

Chọn B.

C1: Phương pháp dựng hình

Gọi O=ACBD, khi đó OF SA// OF⊥(ABCD)OF⊥AC

Lại có AC⊥BD nên AC⊥(BDF)AC⊥BF Vậy (AC BF = ) 90

Câu 7: [2H1-3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA=2a Gọi M là trung điểm của SC Tính côsin của góc  giữa

C1: Phương pháp dựng hình

Gọi H là trung điểm của AC khi đó MH SA// MH ⊥(ABC)

Vậy hình chiếu của BM lên mặt phẳng (ABC là ) BH

Suy ra (BM,(ABC) )=(BM BH, )=MBH Ta có MH= , a 3

2

a

BH = , SB=SC =a 5

Tam giác MHB vuông tại H nên 2 2 7

BM

C2: Phương pháp tọa độ

Gọi H là trung điểm của AC khi đó MH SA// MH ⊥(ABC)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó H(0;0;0), (0;0; a , ) 3; 0; 0

Câu 8: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA= Tính góc  giữa hai mặt phẳng a (SBC và ) (SDC )

Lời giải Chọn B.

C1: Phương pháp dựng hình

Ta chứng minh được BC⊥(SAB)BC⊥SB CD⊥(SAD)CD⊥SD

Kẻ BH ⊥SC ( )1 Ta có BD⊥(SAC)SC⊥BD( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 SC⊥(BHD)SC⊥DH Vậy ( (SBC) (, SDC) )=(BH DH, )

Tam giác SBC vuông tại B, đường cao BH nên ta có 1 2 12 12 32

2

BH = SB +BC = a

63

n k

n k

= = ( (SBC) (, SDC) )=  60

Câu 9: [2H1-3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB= Hai mặt a

phẳng (SAB và ) (SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ ) A đến mặt phẳng

Dựng hình bình hành ACBD như hình vẽ, khi đó AC BD// (AC SB, ) (= BD SB, )

Tính được SD=a 2, SB=a 2, BD=a 2 nên tam giác SBD đều

BS AC

AC SB

BS AC

= = (AC SB, )=  60

Câu 10: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB )

và (SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khôi chóp ) S ABCD là

3

3

a

Tính góc  giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD )

Lời giải Chọn C.

Tam giác SAB vuông tại A nên SB= SA2+AB2 =a 2

Tam giác SIB vuông tại I nên sin 1

2

BI BSI SB

n SB

SB SCD

n SB

= = (SB SCD,( ) )=  30

Câu 11: [2H1-3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt phẳng (SAB và )

(SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và ) SA=a 3 Tính côsin của góc  giữa hai mặt phẳng (SAB và ) (SBC )

C1: Phương pháp dựng hình

Hai mặt phẳng (SAB và ) (SAC cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với )

mp ABC nên SA⊥(ABC)

Gọi M là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên CM ⊥AB

Lại có SA⊥(ABC)SA⊥CM suy ra CM ⊥(SAB)CM ⊥SB

n k SAB SBC

n k

Câu 12: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA= , a SB=a 3 và

mặt phẳng (SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi ) M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh

SM DN

SM DN

Câu 13: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 Tam giác SBC

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD , đường thẳng SD tạo )

với mặt phẳng (SBC một góc 60 Tính góc giữa ) (SBD và ) (ABCD )

Lời giải Chọn D.

Câu 14: [2H1-3]Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A B và mặt

đáy là 60 Gọi M là trung điểm của BC Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng A C và

C1: Phương pháp dựng hình

3 2

a

A C AM

a a

Gọi N là trung điểm của B C A N AM // (A C AM , ) (= A C A N ,  )

Suy ra cos(A C AM , )=cos(A C AN , )= cosCA N

AB= cm, BAC =60, diện tích tam giác A CC  là 2

10 cm Tính tang của góc tạo bởi hai mặt



C2: Phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó C(0;0;0), A(0; 4;0), B(4 3; 0; 0), C(0;0;5)

Ta có (ABC) ( Oxy) ( ABC): z= 0

Câu 16: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB=2a Hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng (ABC trùng với trung điểm ) H của cạnh AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Góc giữa đường thẳng A C và (ABC là )

C1: Phương pháp dựng hình

Ta có A H ⊥(ABC) nên CH là hình chiếu vuông góc của A C lên (ABC )

Mặt phẳng (ABC):z = có vectơ pháp tuyến 0 k =(0;0;1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng A C là u= A C =a(0;− 3; 3)

2

Câu 17: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB=2a Hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng (ABC trùng với trung điểm ) H của cạnh AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Góc giữa hai mặt phẳng (BCC B  và ) (ABC là )

A arctan1

4 B arctan 2 C arctan 4 D arctan 2

Lời giải Chọn B.

C1: Phương pháp dựng hình

Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B, ta có:

n k BCC B ABC

n k

  = = tan( (BCC B ) (, ABC) )= 2Vậy ( (BCC B ) (, ABC) )=arctan 2

Câu 18: [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC A B C    có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB=2a Hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng (ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Biết )

3

AA = a Góc giữa hai mặt phẳng (ABB A  và ) (ABC là )

A arccos 2

1arccos

3arccos

6arccos

12

Lời giải Chọn D.

a

3

a

A G = A A −AG = Vậy ( (ABB A ) (, ABC) )=(A E EG , )=A EG

Xét tam giác A EG vuông tại G ta được tan A EG A G 23

Mặt phẳng (ABC):z = có vectơ pháp tuyến 0 k =(0;0;1)

Mặt phẳng (ABB A  có vectơ pháp tuyến ) 2 69 2 3

Khi đó ( ( ) ( ) ) . 6

12

n k ABB A ABC