Chuyên đề tích phân đặng thành nam file word có lời giải chi tiết image marked

CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khái niệm nguyên hàm của một hàm số: Hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng D Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x

CHUYÊN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:

Hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng ( ) D

Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của f x( ) nếu F x'( )= f x( ), x" Î D

Và nguyên hàm của f(x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên hàm của một hàm số:

F x = ò f x dx

Để tìm nguyên hàm của một hàm số ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

1

, 11

Khái niệm tích phân của một hàm số:

Tích phân của một hàm số f x( ) được xác định trên một đoạn [a b là giá trị của , ] F b( )- F a( )và được ký

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng ò f u du( )

I = ò dx

Lời giải:

= - ³ " là hàm số đồng biến trên đoạn ;

(x) (0) 0, x ; 0 tan , ; 0 min(tan , ) tan ,

dx x

( )

2 1

Bài 10 Tính tích phân 1 2( )2

0

11

4 4 sinx cosx sin 2 x

=

Bài 21 Tính tích phân

0

1 2

dx I

cossin sin

0 x

dx I

1

dx I

dx I

11

+ Nếu (x) ( 1)( 2) ( 1) (k ),

n

là số nghiệm bội xi, thì ta giả sử

Cách nhớ phân tích là nếu mẫu là tam thức bậc hai thì tử thức có dạng Bx+ C

Một số khai triển nhanh (nên nhớ)

Thay x = 2 vào (*) suy ra 9 2 9

Thay x = vào (*) suy ra 91 = 3AÞ A= 3

Thay x = - 2 vào (*) suy ra 9= 9CÞ C= 1

Thay x = 0 vào (*) suy ra 3= 2A- 2B+CÞ B= 2

1.1

12

Thay x = 0 vào (*) suy ra 1= AÞ A= 1

11

Bài 4 Tính tích phân

2 4

6 1

11

dx I

=+

ò

Bài 11 Tính tích phân

2

5 3 1

dx I

Xin đề cập dưới đây bài toán kèm theo kỹ thuật biến đổi tương ứng với mỗi ví dụ Những kỹ thuật biến đổi dưới đây rất tự nhiên và dễ hiểu Vì vậy khi đọc kỹ các ví dụ này các bạn có thể nắm bắt được kỹ thuật

và áp dụng vào các bài toán tương tự

11

1,

-ç

5 0

Bài 12 Tính tích phân

1 4

6 0

11

11

n k

, , ,

i i

r r q q

Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số q q1, 2, q giả sử là k i

2 2

Bài 3 Tính tích phân

7 3

2 3

1 1

2

dx I

Bài 8 Tính tích phân

1

dx I

t x

Vậy

2

3 2 2

3 3

4

3

2 2

1

Lời giải:

Đặt t =

2 3

-Bài 13 Tính tích phân

dx I

21

Bài 8 Tính tích phân

9 3

2

2 1

dx I

để đặt u dv, sao cho thích hợp Một các tổng quát là thành phần dv là đạo hàm của v nên chọn thành

phần dv sao cho dễ tìm được v là được

+ +

+ +

íï = ê ú

ï ë + ûïî

x x

e

e k

x x u

x x

+ Tính tích phân

3

2 1

dv

v x

dx

x dx

dv

v x

dx du

ìïï =ï

2

I = ò x - x dx

Bài 8 Tính tích phân

4 2

x x

dx du

ìïï =ï

1ln1

1 2

2

2 0

Đặt

2

2

2 2

1

111

x xdx

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 cos

1 2

sin

dx I

= ò ççè - ÷÷ø

Bài 39 Tính tích phân

3

3 2

Bài 41 Tính tích phân

3

4 2

Bài 53 Tính tích phân

1

2 3 4

2 tancos

1 2

1ln11

x

x x

4

sin

x x

Bài 63 Tính tích phân

2

2 20

14

Bài 74 Tính tích phân

2 3

1 2

11

x x

1ln1

4ln4

Bài 96 Tính tích phân

3

1

2 ln 1( ln 1 1)

0

sincos 2

3ln

2

3

x x

TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dưới đây xin trình bày những lưu ý tổng quát nhất khi giải quyết tích phân hàm lượng giác

Khi thực hiện phép tính tích phân với các hàm số lượng giác, trong biểu thức tích phân có thể xuất hiện + sinxdx= - d(cos )x Þ ta đặt t= cosx lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành

2 2

3

sin

dx I

Ta có d(cos2 x+ 4sin2x)= - 2sin cosx x+8cos sinx x= 6sin cosx x= 3sin 2x

Vậy đặt t= cos2x+4sin2xÞ t2= cos2x+ 4sin2xÞ 2tdt= 3sin 2xdx

p

cossin

Ta có

Ta có

0 cos

dx I

Bài 16 Tính tích phân

4 26 0

sincos

sin

dx I

Bài 8 Tính tích phân

3 2

p

=+

sincos

2

sin 3 cossin 3 3sin

cossin sin

tan sin

x xdx I

Bài 27 Tính tích phân

6

4 0

Bài 31 Tính tích phân

3

6 0

Bài 41 Tính tích phân

2

2 0

sinsin 2 cos cos

sinln(tan )cos

sincos

ln(cos )cos

Bài 60 Tính tích phân

4

2 2

Giả sử acosx+ bcosx= a( sinm x+ ncos )x + b( cosm x- nsin )x

sin cos ( ) sin ( ) cos

Với dạng (*) các đề tuyển sinh hay bắt gặp dưới dạng này

Lúc này ta phải nhóm biểu thức trong căn

Lưu ý cách nhóm ở (***) không phải là duy nhất, do đó ta có thể làm bài toán dạng này tương đối dễ

Đề bài cũng dễ nhìn, vì vậy mà cách phân tích ở (***) có thể nhận thấy ngay mà không cần đồng nhất hệ

số như trên

Nếu tích phân có dạng

sin 2( sin cos )

Vậy

sin 2 2(1 sin cos ) 2 sin 2 2(1 sin cos )

(**)( ( ) ( ))

(1)

Các hệ số k l, được chọn sao cho kF x( )+ lG x( ) là đạo hàm của a F x( )+ b G x( )

Trong đó tích phân (*) và (**) tính đơn giản hơn, khi đó giải hệ (1) suy ra I I 1, 2

1 sin 22

sin 2 2 sin 2 2 2 2 sin 2 2

æ ö÷

ç+ = = æ ö= - çç + ÷÷ =

è ø+ ç + ÷ççè ÷÷

ø

xdx I

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN

Dưới đây xin trình bày kỹ thuật đổi biến số không làm thay đổi cận tích phân với một số bái toán tích phân hàm lượng giác cũng như tích phân các hàm số khác khi mà ta khó áp dụng cách tính tích phân thông thường

Đảm bảo khi đọc phương pháp này các bạn sẽ khồng cần phải để ý tới các dạng tích phân đặc biệt

2 0

-+

Cả hai hướng này nhận thấy khó hiệu quả

Ta giải quyết bài toán này bằng cách đổi biến số không làm thay đổi cận như sau

Rất đơn giản phải không nào!

Nhưng từ hướng 2 và cách giải này ta có bài toán tương đối hay sau

+ Tính tích phân

4 2

xdx I

Các bạn thử giải quyết bài toán sau:

Liệu tính được tích phân

1

2 0

Các bạn thử nghĩ cách giải quyết bài toán (*) khi không dùng các kết quả trên nhé! Một bài tập phải không nào!

MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO CÓ DẠNG TƯƠNG TỰ TRÊN

3 2

1

tan (cos )cos (sin )

Bài 16 Tính tích phân

1

2 0

x

p

a

=+

1

2ln2

Bài 27 Tính tích phân

2012

2012 2012 0

ĐỔI BIẾN SỐ DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC HÓA

Khi gặp một số bài toán mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức, ta thường đổi biến số dưới dạng lượng giác như sau

+ Nếu có chứa a2- x2 thì đặt x= asint hoặc x= acost

+ Nếu có chứa x2- a2 thì đặt

cos

a x

t

sin

a x

t

= + Nếu có chứa x2+ a2 hoặc x2+ a2 thì đặt x= atant

a x

+

- thì đặt x= acos 2t + Nếu có chứa (x- a b)( - x) thì đặt x= a+ (b- a) sin2t

tan (tan ) tan

0

55

22

0

11

x x

=

2 2

b

x a

V = pò f x - g x dx

BÀI TẬP MẪU Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y= (e+1)x và y= (1+ e x x)

Đặt

2

ln

12

dx du

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2

2 x

y= - x e

Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y2+8x= 16 và y2- 24x= 48

Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y= x2lnx với trục hoành và đường thẳng

x= e

Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y2= x3 và y2 = (2- x)3

Bài 5 Xác định số dương a sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

khi quay quanh trục hoành

Bài 8 Tính thể tích giới hạn bởi đường cong y= 4- x2 và y= x2+ 2 khi quay quanh trụ hoành

Bài 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 11 Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= logxe2 x , trục Ox và đường thẳng có

phương trình x= e Tính thể tích vật thể xoay tròn khi (H) quay quanh Ox

Bài 12 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1

x

x

xe y

e

=+ , trục hoành và đường thẳng x = quay quanh trục hoành 1

Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sin 2 ; 2 ;

2

Bài 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 1

x x

Bài 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 1 và đường thẳng y= x +5

Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x2- 4x+ 3 và đường thẳng y= x+ 3

Bài 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

44

4

(1 cos ) 1 tan tan( sin ) tan( sin )

2tan( sin )

=

+

Viết lại

2

2 4 4

1.34

4

dx I

1.44

2 4

1.65 [ ]

2

3 2 1

1 n

dx I

1.75

3

4

1tan

2tan2

11