Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ.. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’.. Xác định tỉ số a b để hai mặt phẳng
Trang 1Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u =(1;log 5;log 2)3 m , v =(3;log 3; 4)5 là góc nhọn Chọn
phương án đúng và đầy đủ nhất
2
m m B.m hoặc 1 0 1
2
m
2
m
➢ Giải:
❖ Ta có 3 log 5.log 3 4 log 23 5
cos( , )
m
u v
u v
= = Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta đi tìm
điều kiện để tử số dương
❖ Mặt khác 3 log 5.log 3 4 log 23 5 m 0 4 log 2m 4 log 2m 1 log 2m logm 1
m
❖ Với 0<m<1 thì 1 2 1
2
m m
2
m
❖ Với m>1 thì 1 2 1
2
m m
Kết hợp với điều kiện suy ra m>1
❖ Vậy m>1 hoặc 0 1
2
m
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x -3y + 2z +37 = 0 các điểm
A(4;1;5) , B(3;0;1), C(-1;2;0) Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho biểu thức
P=MA MB MB MC+ +MC MA đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a+b+c bằng:
➢ Giải:
❖ M P 3a−3b+2c+37= 0 3(a− −2) 3(b− +1) 2(c−2)= −44
❖ Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:
( 44)− = 3(a− −2) 3(b− +1) 2(c−2) (3 + +3 2 ) ( a−2) + −(b 1) + −(c 2)
2
2 2 2
( 44)
+ +
❖ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1 2 ( 4; 7; 2) 1
−
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng
:
m
d
(m là tham số) Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P)
2
2
➢ Giải:
❖ d m/ /( )P hệ PT ẩn x, y, z sau vô nghiệm
x y
− + =
❖ (1) =y 2x+2 Thay vào (2) ta được: x m−1 y 2m+4
Trang 2❖ Thay x, y vào (3) ta được: 1 2
3
m+ z= − m + m+ Để PT này vô nghiệm thì
1 2
m = −
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm M (1;3;9) và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị của biểu thức P = a +b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất
➢ Giải:
OABC
V = OA OB OC= abc
❖ Phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C: x y y 1
a+ + =b c
❖ Vì M (ABC) 1 3 9 1
❖ Áp dụng BĐT Côsi: 1 3 9 3 1 3 9 27.27 1
a b c a b c abc
❖ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
27
a
c
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1
x− = =y z+
− và ba điểm
A(3;2;-1), B(-3;-2;3) , C(5;4;-7) Gọi tọa độ điểm M (a;b;c) nằm trên Δ sao cho MA+MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P = a +b + c là:
5
5
5
5
➢ Giải:
❖ M nên M(1+t; 2 ; 1t − −t)
2
AM = −t t− − t AM = t − t+
2
BM = +t t+ − − t BM = t + t+
( )
1
3
f x
❖ Áp dụng BĐT Vectơ ta có:
f x − + +t t + = + +
❖ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 8 3 6
3
t t
❖ Do đó: M13 3 6 16 6 6 3 6 13− ; − ; − P 16 6 6−
=
Trang 3Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với
gốc của hệ tọa độ Cho B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a,b > 0 Gọi M là trung điểm của cạnh CC’
Xác định tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A’BD) và (BDM) vuông góc với nhau
A.a 2
2
a
b =
- Từ giả thiết ta có: C a a( ; ; 0); ( ; ; 0) ; ;
2
b
C a a M a a
- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:
- Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:
- Yêu cầu của bài toán tương đương với:
2 2 2 2
4
b
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1
− và mặt phẳng (P):
2x - y + 2z -1= 0 Mặt phẳng (Q) chứa và tạo với (P) một góc nhỏ nhất, khi đó góc gần với giá
trị nào nhất sau đây?
➢ Giải:
❖
1 2 :
1
y t
= +
=
= − −
Chọn 2 điểm (1;0;-1) và (3;1;-2) với t=1
❖ (Q) chứa Δ suy ra (Q): a(x-1)+by+c(z+1)=0ax by+ + − + =cz a c 0
❖ Và (3;1;-2)( )Q 3a b+ −2c− + = a c 0 2a b c+ − = =0 c 2a b+
❖ Vậy (Q): ax+by+(2a+b)z+a+b=0 Gọi =((P),(Q)), 0 ;90o o
❖ Ta có:
cos
P Q
P Q
❖ Nếu a = 0 cos 1
3 2
❖ Nếu a , đặt 0 t b
a
= thì ta có:
( )
f t
❖
7
6
t
f t
t
−
=
=
= −
Từ bảng biến thiên ta có thể dễ nhận thấy:
Trang 4❖ 7 53 1 1 53 0
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3) và mặt cầu (S):
x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Điểm D(a;b;c) trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, khi đó a + b + c bằng:
A 2
3
4 3
➢ Giải:
❖ Tâm I(1;0;-1), bán kính R=2 (ABC): 2x – 2y + z + 1=0 2
3
V = d D ABD S khi đó V ABCD max khi và chỉ khi d (D;(ABC)) max
❖ Gọi D1D2 là đường kính của (S) vuông góc với (ABC) Ta thấy với D là điểm bất kỳ thuộc
(S) thì d(D;(ABC)) max{d(D1;(ABC)), d(D2;(ABC))}
❖ Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2
❖ D1D2:
1 2 2 1
= +
= −
= − +
thay mặt (S) ta suy ra: 1 2
2
3
3
t
t
=
= −
❖ Vì d(D1;(ABC)) > d(D2;(ABC)) nên 7; 4; 1 2
Câu 9: Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+4z+ =1 0và đường thẳng
2 :
d y t
z m t
= −
=
= +
Tìm m để d cắt (S)
tại hai điểm phân biệt A,B sao cho mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và tại B vuông góc với nhau
➢ Giải:
❖ Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau thì hai
vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là IA,IB Với I (1;0;-2) là tâm của mặt cầu (S)
Vậy ta có hai điều kiện sau:
1 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
2 IA.IB- 0
❖ Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
(2−t) + +t (m t+ ) −2.(2− +t) 4.(m t+ + =) 1 0 có hai nghiệm phân biệt
❖ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
❖ Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có
2
1 2
3
t t = + +
; 1 2 2( 1)
3
❖ Khi đó IA= −(1 t t m1; ;1 + +2 t1),IB= −(1 t t m2; ;2 + +2 t2)
Trang 5❖ Vậy
2
IA IB= −t −t +t t + m+ +t m+ +t = t t + m+ t +t + m+ + =
4 3
m
m
= −
(TM)
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc
đường thẳng : 1 1
− sao cho biểu thức
P= MA + MB − MC đạt giá trị nhỏ nhất
Tính a+b+c= ?
A 5
11 3
3
−
➢ Giải:
❖ Gọi D(x;y;z) là điểm thỏa 2DA+3DB−4DC= 0
❖ 2DA+3DB−4DC= 0 2DA+3(DA+AB) 4(− DA+AC)= 0 DA=4AC−3AB
1 4.2 3.2
1 4.1 3.1
x y z
− = − −
− = +
( 13;12; 6)
D
❖ Khi đó:
MD + AD + BD − DC không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc
Δ nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên Δ
Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M (a;b;c) thuộc mặt
phẳng ():2x− +y 2z+ =7 0 sao cho biểu thức P= 3MA+5MB−7MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính
?
a b c+ + =
➢ Giải:
❖ Gọi F x y z( ; ; )là điểm thỏa 3FA+5FB−7FC= 0 CF=3CA+5CBF( 23; 20; 11)− −
❖ Khi đó: P= 3(MF+FA) 5(+ MF+FB) 7(− MF+FC) =MF
❖ Do đó P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của F lên () Điểm M( 23 2 ; 20− + t − − +t; 11 2 )t Vì
M thuộc () nên:
2( 23 2 ) (20− + t − − + − +t) 2( 11 2 ) 7t + = = 0 t 9 M( 5;11; 7)− + + =a b c 13
Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt
P= MA − MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ Gọi K x y z( ; ; )là điểm thỏa 2KA−7KB+4KC= 0 K( 21;16;10)−
P= −MK + KA − KB + KC
❖ Do đó P nhỏ nhất khi MK lớn nhất Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1)KI =(22; 16; 11)− −
Trang 6❖ Phương trình đường thẳng KI:
1 22 16
1 11
= +
= −
= − −
Thay x,y,z vào (S) ta được:
(22 )t + −( 16 )t + −( 11 )t =861 = t 1 Suy ra KI cắt (S) tại hai điểm 1
2
(23; 16; 12) ( 21;16;10)
K K
= −
❖ Vì KK1 > KK2 nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M K1(23; 16; 12)− − Vậy
(23; 16; 12)
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1), B(-3;5;5) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng
( ) : 2 x− +y 2z− =8 0 sao cho biểu thức P=MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ Ta có f A f B ( ) ( ) 0, nên A, B ở về cùng một phía so với () Gọi A’ là điểm đối xứng qua A qua ()
❖ Phương trình đường thẳng AA’:
1 2 1
1 2
x y z
= +
= −
= − +
− + − =
Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là
nghiệm của hệ:
1 2 1
(3; 0;1)
1 2
I
x y z
= +
= −
= − +
− + − =
❖ Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) và A’, B nằm khác phía so với () Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có: MA MB+ =A M' +MBA B' Đẳng thức xảy ra khi
M = A B
❖
5 4 ' ( 8; 6; 2) ' : 1 3
3
= −
= +
Tọa độ giao điểm M của A’B và () là nghiệm của
hệ:
5 4
1 3
(1; 2; 4) 3
M
x y z
= −
= − +
= +
− + − =
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1),C(7;-4;4) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng
( ) : 2 x− +y 2z− =8 0 sao cho biểu thức P= MA MC− đạt giá trị lớn nhất.Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ M a b c( ; ; ) Đặt f M( )=2a b− +2c−8
❖ Ta có f A f C ( ) ( ) 0 nên A và C nằm về hai phía so với ()
❖ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ()
Trang 7❖ Phương trình đường thẳng AA’:
1 2 1
1 2
= +
= −
= − +
Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là
nghiệm của hệ:
1 2 1
(3; 0;1)
1 2
I
x y z
= +
= −
= − +
− + − =
❖ Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có:
MA MC− = MA−MC A C Đẳng thức xảy ra khi M =A C' ( )
❖ A C' =(2; 3;1)− A C' :
5 2
1 3 3
= +
= − −
= +
Tọa độ giao điểm M của A’C và () là nghiệm của
hệ
5 2
1 3
(3; 2; 2) 3
M
x y z
= +
= − −
= +
− + − =
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 1
= = và mặt phẳng
( ) :P ax by+ + − =cz 3 0 chứa Δ và cách O một khoảng lớn nhất Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên Δ, suy ra K(1+t;1 2 ; 2 )+ t t , OK = +(1 t;1 2 ; 2 )+ t t
❖ Vì OK ⊥ nên
2 1 2
; ;
3 3 3 1
; ;
3 3 3
K
OK
= = −
❖ Gọi H là hình chiếu của O lên (P), ta có: d O P( ; ( ))=OH OK =1 Đẳng thức xảy ra khi
H K Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K và vuông góc với
OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là: 2x+ −y 2z− = + + =3 0 a b c 1
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1 1
= = và mặt phẳng
( ) : x−2y+2z− =5 0 Mặt phẳng (Q): ax+by+cz+ =3 0 chứa Δ và tạo với () một góc nhỏ nhất Tính a b c+ + = ?
Trang 8➢ Công thức giải nhanh: n( )Q = n( ) ,n,n
➢ Chứng minh công thức:
❖ A(1;1;0) Δ, khi đó φ=ACH và sin sinACH AH AK
AC không đổi nên suy
ra φ nhỏ nhất H hay (Q) là mặt phẳng đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng (ACK) K
❖ Mặt phẳng (ACK) đi qua Δ và vuông góc với () nên: n(ACK)− n( ) ,n
❖ Do (Q) đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng (ACK) nên:
( )Q (ACK), ( ), ,
n =n n=n n n
❖ Áp dụng công thức nên ta có n( )Q = −( 8; 20; 16)− suy ra:
( ) : 8(Q − x− +1) 20(y− −1) 16z= 0 2x−5y+4z+ = + + =3 0 a b c 1
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường : 1 1
= = và hai điểm M(1;2;1), N(-1;0;2) Mặt
phẳng (ß): ax by+ +cz−43=0 đi qua M, N và tạo với (Δ) một góc lớn nhất Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
➢ Công thức giải nhanh: n( ) = n NM,n,n NM
❖ Chứng minh tương tự câu 15: n( ) =(1;10; 22) suy ra
( ) :1( x− +1) 10(y− +2) 22(z− = +1) 0 x 10y+22z−43= + + =0 a b c 33
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), ( 1; 0; 3), (2; 3; 1)B − − C − − Điểm M(a;b;c) thuộc
mặt phẳng (): 2x+ −y 2z− =1 0 sao cho biểu thức P=3MA2+4MB2−6MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ M a b c( ; ; )( ) 2a b+ −2c− =1 0
P=a +b + +c a− b− c− = a+ + −b + −c + a b+ − c− − −
❖ Dấu “=” xảy ra khi: a= −11;b=25;c= + + =1 a b c 15
Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), ( 1; 0; 3), (2; 3; 1)B − − C − − Điểm M a b c( ; ; )
thuộc đường thẳng : 1 1 1
− sao cho biểu thức P= MA−7MB+5MC đạt giá trị lớn
nhất Tính a b c+ + = ?
A 31
11
12
55 7
➢ Giải:
❖ M M(1 2 ; 1 3 ;1+ t − + t −t)
❖ MA−7MB+5MC=(2t+19;3t−14;− +t 20)
❖
2
❖ Dấu “=” xảy ra khi: t=12 + + =a b c 55
Trang 9Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;3), B(-1;0;-3), C(2;-3;-1) Điểm M(a;b;c) thuộc
2
S x− + y− + −z = sao cho biểu thức P=MA2−4MB2+2MC2 đạt giá trị lớn nhất Tính a b c + + = ?
➢ Giải:
❖ Gọi E x y z( ; ; ) là điểm thỏaEA−4EB+2EC= 0 E( 9; 4; 13)− −
P= −EM +EA − EB + EC
❖ P lớn nhất khi EM nhỏ nhất Mặt cầu (S) có tâm
2 11 (2; 2;8) ( 11; 2; 21) : 2 2
8 21
= −
= −
Thay x, y, z vào (S) ta được 1
2
t = Suy ra
IE cắt (S) tại hai điểm
1
2
;3;
15 37
;1;
E
E
− −
❖ Vì EE1EE2 nên EM nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 7;3; 5
, suy ra M =(6; 0;12)
Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y 1 z 2
= = cắt đường thẳng
' :
− sao cho khoảng cách từ điểm B(2;1;1) đến đường thẳng d là nhỏ nhất Tính
?
a b c+ + =
➢ Giải:
(0; 1; 2)
M d d
M t t t t
=
d
❖
2
2
AM
− +
t
t
=
Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y 1 z 2
= = cắt đường thẳng
' :
− sao cho khoảng cách giữa d và
5 :
− là lớn nhất Tính a b c+ + = ?
➢ Giải:
(0; 1; 2)
M d d
=
, suy ra u d = AM =(2t−1;t+ − 1; t)
❖ N(5; 0; 0), u =(2; 2;1)− u,AM= −(t 1; 4t−1;6 )t
Trang 10❖
2
2
,
❖
4
2
d
t
t
= −
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x−2y+2z− =1 0,
( ) :Q x+ −y 2z+ =1 0 và điểm I(1;1;- 2).Mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với (P) và mặt phẳng
( ) : ax by+ +cz+ =m 0 vuông góc với (P), (Q) sao cho khoảng cách từ I đến (α) bằng 29 Biết
rằng tổng hệ số a b c m+ + + dương
Cho các mệnh đề sau đây:
(1) Điểm A(1;1;0) và B(-1;1;-2) thuộc mặt cầu (S)
(2) Mặt phẳng (α) đi qua C(0;-5;-3)
(3) Mặt phẳng (α) song song với đường thẳng (d)
2 5 3
x t
z
=
= − −
= −
(4) Mặt cầu (S) có bán kính R = 2
(5) Mặt phẳng (α) và Mặt cầu (S) giao nhau bằng một đường tròn có bán kính lớn hơn 2
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề sai ?
➢ Giải: Chọn đáp án C
❖ R=d I P( , ( ))=2 Phương trình mặt cầu: 2 2 2
(x−1) +(y−1) + +(z 2) =4
❖ n =(2;3; 4)( ) : 2 x+4y+3z+ = m 0 d I( ; ( )) = 29m= 29
❖ Vậy ( ) : 2 x+4y+3z29=0 chọn ( ) : 2 x+4y+3z+29=0 do a b c m+ + + 0
❖ Đối chiếu:
(1) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt cầu ta thấy
(2) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng
(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) song song (d) nhưng thực chất là (d)
thuộc phẳng phẳng (α), các em kiểm tra bằng cách tính khoảng cách 2 điểm bất kỳ đến (α) đều bằng 0
(4) Đúng
(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu nên hai mặt
không giao nhau
Câu 23: Cho không gian Oxyz, cho các điểm A(2;3;0), B(0;- 2 ;0) và đường thẳng d có phương trình
0
2
x t
y
=
=
= −
Điểm C (a;b;c) trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất
Tínha b c+ + = ?
➢ Giải:
❖ Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA+CB nhỏ nhất
❖ Gọi C(t;0;2-t) Ta có CA= 2 2 2 2
2(t−2) +3 ,CB= 2(1−t) +2
Trang 11❖ CA CB+ = + + =u v u v 2 25+ =3 3
❖ Dấu “=” xảy ra khi 2( 2) 3 7 2
t
t
−
Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;c) với c < 0 thuộc mặt cầu
( ) : (S x−2) +(y−1) + −(z 1) =9 sao cho biểu thức P= +a 2b+2c đạt giá trị lớn nhất Khi đó
?
a b c+ + =
➢ Giải
( 2) 2( 1) 2( 1) 6 (1 4 4) ( 2) ( 1) ( 1) 9 6 15
P= a− + b− + c− + + + a− + −b + −c = + =
❖ Dấu “=” xảy ra khi:
1 2
2 1
2 ( 2) ( 1) ( 1) 9
b a
c
−
− =
−
Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4;-1), C(2; 4; 3), D(2; 2;-1) và điểm
M(a;b; c) sao cho biểu thức 2 2 2 2
P=MA +MB +MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c+ + = ?
A 7
23
21
3 4
➢ Giải:
❖ Gọi G là trong tâm của ABCD suy ra 7 14; ; 0
4 4
4
P= MG +GA +GB +GC +GD Vì GA2+GB2+GC2+GD2 không đổi nên P nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất hay 7 14; ; 0
4 4
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−4x+2y−6z+ =5 0 và mặt phẳng
( ) : 2P x+2y− +z 16=0 Điểm M(a;b; c) di động trên (S) và điểm N(m;n; p) di động trên (P) sao cho
độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất, khi đó a b c+ + + + + =m n p ?
➢ Giải:
❖ Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 1;3)− và bán kính R = 3
❖ d I P( ; ( ))= 5 R Do đó (S) và (P) không có điểm chung Suy ra minMN = − = 5 3 2
❖ Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N 0 Dễ thấy N 0 là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và M 0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với mặt cầu (S) Gọi d là đường
thẳng đi qua I và vuông góc với (P) thì N0 = d ( )P , khi đó d:
2 2
1 2 3
= +
= − +
= −
Tọa độ N là 0
2 2
N
= +
= − +