Tỉ số thể tích khối đa diện file word có lời giải chi tiết image marked

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế SĐT... Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.. Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN... Mặt phẳng đi qua A

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I – PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB , trên cạnh OA chọn A ' 0 , trên cạnh OBchọn B  ' 0

Lúc đó: OA B' ' ' '

OAB

S OA OB

S = OA OB

Chứng minh:

Gọi H H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và , ' A lên '

OB

Lúc đó: 0 ' ' 1 ' ' '

2

A B

S = A H OB và 1

2

OAB

S = AH OB Suy ra:

OA B

OAB

S OA OB OA OB

S = OA OB = OA OB (Định lý thales)

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC , trên cạnh SA chọn A ' 0, trên cạnh SB chọn B  trên cạnh ' 0 SC chọn C ' 0

Lúc đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V = SA  SB  SC

Chứng minh:

Gọi H H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và , ' A lên '

mp (SBC )

Lúc đó:

1

' '.S

3

V = A H và . 1

3

V = AH S Suy ra:

.

V A H S SA SB SC

V = AH  S = SA SB  SC (Định lý thales)

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

1

2

3

Lời giải

Ta có:

' ' ' ' ' '

'.

1

; ' ' ' 3

1

3

A B C

AA B C

C ABC

ABC

d A A B C S V

V

Do S ABC =S A B' 'C' và

( ; ' ' ' ) ( ;( ) )

d A A B C =d C ABC

nên (1): ' ' '

'.

1

AA B C

C ABC

V

V =

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB SD Mặt phẳng , (AMN cắt ) SC tại E Gọi V là thể tích của khối chóp 2 S AMEN và V là thể tích khối chóp 1 S ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 2 1 1

3

V = V B 2 1 1

4

V = V C 2 1 1

8

V = V D 2 1 1

6

V = V

Lời giải

1 2

SM SN SI

SB = SD = SO= ⎯⎯→ Qua O dựng OK AE

2

AEC





=

 Suy ra: K là trung điểm EC

2

IE OK SOK





=

 Suy ra : E là trung điểm của S Vậy

1 3

SE

SC =

V V SA SM SE

V V = SA SB SC  =  =

1

6

6

V = V

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN=2ND

Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

1

4

3

Lời giải

Ta có

;

V = V = V V =

3

3

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S ABC Gọi M N lần lượt thuộc các cạnh , SB SC sao cho ,

SM =MB SN = − CN Mặt phẳng (AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi ) V1=V S AMN. và

V =V Khẳng định nào sau đây đúng ?

3

V = V C 1 1 2

2

V = V D 1 2 2

3

V = V

Lời giải

Ta có : .

.

S AMN

S ABC

V SM SN

Vậy 1 1 2

2

V = V  Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N lần lượt là trung điểm các cạnh , BC SM Mặt , phẳng (ABN cắt ) SC tại E Gọi V là thể tích của khốối chóp 2 S.ABE và V là thể tích khối chóp 1

S ABC Khảng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

3

V = V B 2 1 1

4

V = V C 2 1 1

8

V = V D 2 1 1

6

V = V

Lời giải

⎯⎯→ Qua M dựng MK BE Xét tam giác BEC :

2







=

 Suy ra E là trung điểm SK

3

SE

SC =

Ta có: .

.

S ABE

S ABC

V SA SB SE

V V

V = SA SB SC  =  =

hay 2 1 1

3

V = V  Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Chp hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA và ' BB ' Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' tại E Đường thẳng ' CF cắt đường thẳng B C' ' tại F Gọi '

2

V là thể tích khối chóp C ABFE và V là thể tích khối lăng trụ 1 ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

3

V = V B 2 1 1

4

V = V C 2 1 1

8

V = V D 2 1 1

6

V = V

Lời giải

Hình chóp C A B C ' ' ' và lăng trụ ABC A B C ' ' 'có

đường cao và đáy bằng nhau nên

V = V V = −V V = V

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

' '

ABB A S = S V = V

hay 2 1 1

3

V = V  Chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC , trên AB BC SC lần lượt lấy các điểm , , M N P sao cho , ,

AM = MB BN = NC SP=PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là:

A 4

5

8

Lời giải

V V BM BN BS

V =V = BA BC BS  =  =

V V CA CN CP

V =V =CA CB CS  =  =

.

.

S BMN

A CNP

V

V

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC và AD đôi một vuông góc , với nhau; AB=6 ,a AC =7a và AD=4a Gọi M N P tương ứng là trung điểm các cạnh , , BC CD DB , , Tính thể tích V của tứ diện AMNP

2

V = a B V =14a3 C 28 3

3

V = a D V =7a3

Lời giải

6

ABCD

V = AB AC AD= a

Dễ thấy MNP được tạo nên bởi các đường

trung bình của BCD  chúng đồng dạng với nhau theo tỉ số

3

7

V S

V S

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của

' '

A B và ' A D Tỉ số thể tích của khối ' A ABD và khối ' OMND C B' ' ' bằng

A 4

4

5

3

7

Lời giải

Do S ABD =S A B' 'D'S MND C B' ' ' =S B C D' ' '+S MND B' '

' '

S S

Mặt khác ta có:

'

' ' '

A MN

A B D

S

S =  = =

Suy ra: 'C'B' 7

4

S = S

Ta có:

'

' ' '

' ' '

1

3 1

; ' ' ' ' 3

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

V

' ' '

4

7

ABD

MND C B

S

S

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA= a, ABC đều cạnh 2a Gọi M N , lần lượt thuộc các cạnh SB SC sao cho , SM =MB SN, = −2CN Tính thể tích khối AMNCB

A

3

2 3

9

a

3

3 9

a

3

4 3 9

a

3

2 3 3

a

Lời giải

Ta có:

2

Ta có: .

.

S AMN

S ABC

V SM SN

3

a

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt phẳng ( ) qua M và song song với (ABCD , cắt các cạnh ) SB SC SD lần lượt tại , , N P Q Gọi , , V1=V S ABCD.

A V1=8V2 B.V1=6V2 C V1=16V2 D V1=4V2

Lời giải

Dễ thấy N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh , ,

, ,

SB SC SD

.

2 2

=



V = V = SA SB SC =   =

1 8 2

V V

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ( ) chứa AM và song song với BD , cắt các cạnh SB SD lần lượt tại , N P Gọi , V1 =V S ANMP. và

V =V Khẳng định nào sau đây đúng?

A V2 =3V1 B 2 3 1

2

V = V C V2 =2V1 D 2 7 1

2

V = V

Lời giải

Gọi BDAC= O ;AMSO= I là

trọng tâm SAC và SBD Qua I dựng

PN BD  Thiết diện là tứ giác ANMP

S ANM

V

V = V = SB SC =  =

1 2 2 1

2

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q lần lượt , , ,

thuộc các cạnh SA SB SC SD sao cho , , , ; 2 ; 3 ; 1

3

SM =MA SN = NB SP= PC SQ= SD Tính thể tích khối

SMNPQ

A

3

3 2

16

a

3

2 48

a

3

2 16

a

3

2 32

a

Lời giải

Ta có .

.

S MNP

S ABC

V SM SN SP

V = SA SB SC =   =

Tương tự: .

.

S MPQ

S ACD

V = SA SC SD  =   =

16

V =V +V = V

a a

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1=V A A B C ' ' ' và V2 =V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

4

V = V B 1 1 2

2

V = V C 1 1 2

3

V = V D 1 2 2

3

V = V

Lời giải

Ta có: ' ' ' ( ( ) ) ' ' '

1

; ' ' ' 3

V = d A A B C S

Và V ABC A B C ' ' ' =d A A B C( ;( ' ' ' ) )SA B C' ' '

Suy ra: 1

2

1

3

V

V =  Chọn đáp án D.

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M trên cạnh AA sao cho: ' AM =2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

A 1 3 2

4

V = V B 1 1 2

2

V = V C 1 1 2

3

V = V D 1 2 2

3

V = V

Lời giải

Do AA' (BCC B' ')V M BCC B ' ' =V A BCC B ' '

Ta có : ' ' ' 1 ' ' ' . ' ' 2 ' ' '

V = V V = V

Suy ra: 1

2

2

3

V

V =  Chọn đáp án D.

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA ? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn '

đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1=V BACB'và V2 =V ABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

9

V = V B 1 1 2

6

V = V C 1 1 2

3

V = V D 1 2 2

3

V = V

Lời giải

1

3

V = d A BCB S

3d A BCB C 2SBCB C

( )

6d A BCB C SBCB C 6V ABCD A B C D

Suy ra: 1

2

1

6

V

V =  Chọn đáp án B.

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là trung điểm cạnh AB Gọi V1=V MBCB' và

2 ABCD A B C D ' ' ' '

V =V Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

12

V = V B 1 1 2

6

V = V C 1 1 2

12

V = V D 1 2 2

3

V = V

Lời giải

Ta có:

V = V =  V = V

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ' , đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D , cắt AC tại E Mặt phẳng đi qua A D E chia khối lăng trụ thành hai ', , phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A 2

4

4

4

27

Lời giải

ADE

ABC

S AD AE

S = AB AC =  =

Mặt khác:

( ) ( ( ) )

'

V = d A ADE S = d A ABC  S

' ' '

A ADE

A B C CEDB

V

V

 Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều S ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C' của

cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỉ số SC'

SC

A 1

2

5 1 2

−

5

Lời giải

Đặt SC' x;

SC = (0  x 1)

Ta có :

2

' '

.

2

S AD C

S ADC

Và '

.

'

2

S ABC

S ABC

x V xV V

V = SC =  = =

2

2

Theo đề bài ta suy ra

2

2

x x x − +

 Chọn đáp án C.

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích V Tính thể tích khối chóp ACB D ' '

A

3

V

2

V

3

V

D.3

4

V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4

khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD ; 4 ' ' '; ' ; ' ' '; '

khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V

nên thể tích

cần tìm bằng 4

V V

Nhận xét: Hoàn toàn có thể “thử: trường hợp đặt biệt, khi hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương

cạnh a thì dễ thấy thể tích khối lập phương là a , còn khối 3 ACB D ' ' là khối tứ diện đều cạnh a 2 

thể tích tương ứng là ( )3

3

= So sánh ta đưa ra kết quả

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD có BC=2AB , SA vuông góc với đáy

Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM =AB Gọi V V lần lượt là thể tích của hai khối chóp 1, 2

S ABM và S ABC Tính 1

2

V

V 

A 1

1

1

1

2

Lời giải

Ta có:

AD

S = AB = S V = V

2

V

V

 Chọn đáp án D.

Ví dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng

0

60 Gọi A B C tương ứng là điểm đối xứng của ; ;'; '; ' A B C qua S Tính thể tích khối bát diện có các mặt ABC A B C; ' ' '; 'A BC B CA C AB AB C; ' ; ' ; ' '; BC A CA B ' '; ' '

A 2 3a3 B

3

3 2

a

3

2 3 3

a

3

4 3 3

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

1

3

V = V = V =  SG 

SA ABC =SAG=

Xét SGA vuông tại G

:tanSAG SG SG SA tanSAG a

SA

Vậy

a a

 Chọn đáp án C.

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q lần lượt , , ,

thuộc các cạnh SA SB SC SD sao cho , , , ; 2 ; 3 ; 1

3

SM =MA SN = NB SP= PC SQ= SD Tính tỉ số thể tích

giữa khối SMNPQ và khối S ABCD

A 3

16 B

3

8 C

3

1

12

Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 =V A BCC B. ' ' và V2 =V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 3 2

4

V = V B 1 1 2

2

V = V C 1 1 2

3

V = V D 1 2 2

3

V = V

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi B và ' C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD bằng

A 1

1

1

1

8

Câu 4 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi ",A B C D E lần lượt là trung điểm '', '', '', '' của AA BB CC DD EE Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ ', ', ', ', ' ABCDE A B C D E '' '' '' '' '' và khối lăng trụABCDE A B C D E ' ' ' ' ' bằng:

A 1

1

1

1

10

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A trên cạnh ' SA sao cho

1

'

3

SA = SA Mặt phẳng qua A và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh ' SB SC SD lần lượt tại , , ', ', '

B C D Khi đó thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' ' bằng:

A

3

V

9

V

27

V

81

V

Câu 6 Cho hình chóp S ABC cóA và ' B lần lượt là trung điểm của các cạnh ' SA SB Tỉ số thể tích ,

.

' ' '

S ABC

S A B C

V

A 1

1

Câu 7 Cho hình chóp S ABC Gọi A và ' B lần lượt là trung điểm của ' SAvà SASB Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C ' ' và S ABC bằng:

A 1

1

1

1

8

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD .Gọi A B C D lần lượt là trung điểm của ', ', ', ' SA SB SC SD Khi đó tỉ số , , , thể tích của hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' và S ABCD bằng:

A 1

1

1

1

16

Câu 9 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' và khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A 1

1

1

1

6

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', gọi O là giao điểm của AC và BD Tỉ số thể tích của khối

chóp O A B C ' ' 'D' và khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:

A 1

1

1

1

6

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

A ABC

S ABCD

V

A 1

1

1

1

8

Câu 12 Cho hình chópS ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABCD

V

A 1

1

1

1

8

Câu 13 Cho hình chópS ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABC

V

A 1

1

1

1

8

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC AC Gọi , ,

V =V V =V Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A V1 =2V2 B V1=8V2 C.V1 =4V2 D V1=6V2

Câu 15 Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung điểm của ,

SA và SB Tính tỉ số thể tích .

.

S CDMN

S CDAB

V

V

A 1

5

3

1

2

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA=9;SB=4;SC= và đôi một vuông góc Các điểm ; '; '8 A B C thỏa

mãn SA=2SA SB'; =3SB SC'; =4SC' Tính thể tích của khối chóp S A B C ' ' '

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACD B' '

A

3

3

a

3

2 3

a

3

4

a

3

6 4

a