Tiểu Luận Xây Dựng Phương Án Ban Đầu Trong Bài Toán Vận Tải Có Ô Cấm

Nguyễn Đình Tùng_giảng viên bộ môn Quy hoạch tuyến tính chúng em đã hoàn thành xong đề tài tiểu luận “Xây dựng phương án ban đầu trong bài toán vận tải có ô cấm”.. Thông qua bài tiểu l

KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 06/2009

KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN

Nhận xét của giảng viên hướng dẫn:

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian tìm tòi tài liệu trong thư viện trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Đa phương tiện, các phương tiện thông tin đại chúng, sự hướng dẫn của ThS Nguyễn Đình Tùng_giảng viên bộ

môn Quy hoạch tuyến tính chúng em đã hoàn thành xong đề tài tiểu luận “Xây

dựng phương án ban đầu trong bài toán vận tải có ô cấm” Thông qua bài

tiểu luận này, chúng em đã phần nào hiểu thêm về lĩnh vực vận tải của bộ môn Quy hoạch tuyến tính, hiểu hơn về ngôi trường mình đang học để chúng em càng thêm yêu Đại Học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt thông qua quá trình làm bài tiểu luận đã giúp chúng em có những kỹ năng ban đầu trong việc tìm tòi tài liệu, kỹ năng phân tích tài liệu, kỹ năng làm việc theo nhóm,…đồng thời giúp các bạn trong nhóm gần gũi và hiểu nhau hơn, tạo độnglực giúp đỡ nhau trong quá trình học tập sau này Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn:

 Trường ĐH Công Nghiệp TP.HCM đã tạo môi trường thuận lợi cho việchọc tập và nghiên cứu làm tiểu luận

 Khoa: KHOA HỌC CƠ BẢN đã trang bị cho chúng em những kiến

thức về bộ môn Quy hoạch tuyến tính

 Thày giáo Nguyễn Đình Tùng - giảng viên bộ môn Quy hoạch tuyến tính đã giúp đỡ và hướng dẫn chúng em tận tình cách làm tiểu luận

 Thư viện trường đã cung cấp những tài liệu cần thiết, là nơi chúng em thảo luận và học tập

Thay mặt nhóm, Nhóm trưởng:

Bùi Văn Tiệp

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 06/2009

Phần A: Lời mở đầu

LỜI MỞ ĐẦU

Loài người đã biết chọn “phương án” hành động trong các công việc của mình

từ thời cổ đại Đầu tiên người ta biết chọn phương án “chấp nhận được”, theo các tiêu chuẩn từ mức độ, cảm tính đến có cơ sở khoa học và định lượng Khi

có nhiều chấp nhận được, điều mong muốn tự nhiên là chọn cái tốt đẹp nhất (tức là “tối ưu”), cũng lại theo một hoặc một số tiêu chuẩn nào đó Dần dần người ta biết “mô hình hóa toán học” công việc của mình, tức là diễn đạt công việc đó ở dạng phương trình toán học, diễn giải thế nào là tiêu chuẩn chấp nhậnđược, tiêu chuẩn tối ưu

Trong Quy hoạch toán học lại có Quy hoạch tuyến tính, Quy hoạch phi tuyến,

và nhiều lĩnh vực đặc thù khác như Quy hoạch nguyên, Quy hoạch phân thức, Quy hoạch động, Quy hoạch ngẫu nhiên,

Vậy Quy hoạch tuyến tính là gì? Có thể tạm định nghĩa Quy hoạch tuyến tính

là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu trên hữu hạn biến mà hàm mục tiêu và các ràng buộc đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính Đây chỉ là một định nghĩa mơ hồ Bài toán Quy hoạch tuyến tính sẽ được làm rõ trong chương trình học

Quy hoạch tuyến tính được coi là ra đời vào năm 1947 khi Dantzig công bố phương pháp đơn hình để giải các bài toán xuất phát từ việc lập kế hoạch cho không quân Mỹ Vậy có thể nói Quy hoạch tuyến tính hình thành vào giữa thế

kỉ XX do nhu cầu của các bài toán quản lí Nhưng ngay sau đó nó đã được pháttriển rất nhanh nhờ sự phát hiện ra rằng nhiều bài toán, có thể khác xa nhau về hình thức, được đưa về quy hoạch tuyến tính và giải bằng phương pháp đơn hình Cũng như mọi lĩnh vực khoa học khác, Quy hoạch tuyến tính được sinh

ra không phải bất ngờ sau vài ngày, hoặc vài tháng Lí thuyết toán học chính và

là chỗ dựa căn bản để Dantzig phát minh ra phương pháp đơn hình là lí thuyết

về các bất đẳng thức tuyến tính được nghiên cứu kĩ bởi Fourier năm 1826.Dantzig được coi là cha đẻ của QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH có thể cũng chỉ

vì quyển sách sớm hơn nhiều “Các phương pháp toán học trong tổ chức và kế hoạch hóa sản xuất” của L.V Kanterevich do nhà xuất bản Đại học quốc gia Leningrad in năm 1939, ít được biết đến thậm chí ở Nga và chỉ được dịch sang tiếng Anh ở Mỹ năm 1960 (Có thể năm 1939-1947 chính là những năm đại chiến thế giới thứ hai và ảnh hưởng của nó!?)

Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận của Quy hoạch Toán học Quy hoạch toánhọc có nhiều ứng dụng trong thực tế, trong số những ứng dụng đó phải kể đến Bài toán vận tải Trong bài tiểu luận này, Nhóm xin được trình bày những kiến

thức cơ bản nhất về “Xây dựng phương án ban đầu trong bài toán vận tải

có ô cấm” Do lượng kiến thức về môn học còn hạn chế, trong quá trình làm

Tiểu luận về đề tài của mình không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong

có được những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy và các bạn để Nhóm hoàn thiện hơn về kiến thức của mình

Phần B: Nội dung

Chú ý: Để giải bài toán vận tải có ô cấm ta sẽ xem ô cấm như ô bình thường nhưng cước phí vận chuyển là M rất lớn rồi giải như trường hợp không có ô cấm.

I Thuật toán quy không cước phí giải bài toán vận tải

1 Định lý tiền đề

a) Định lý 1: Cho bài toán vận tải có ma trận cước phí C=(Cij) trong đó i=1,m và j=1,n Nếu ta thay ma trận cước phí này bằng ma trận cước phí mới C’=(C’

ij) trong đó C’

ij= C’+ri+sj thì hai bài toán vận tải có cùng phương án tối ưu (lượng hàng ở các kho thu, phát vẫn giữ nguyên)b) Định lý 2: Giả sử x=(xij) là một phương án cực biên của bài toán vận tải với tập các ô chọn là E, và có C’

ij=0 với (i,j)E(nghĩa là sau khi

đã quy không cước phí các ô chọn) ta có:

2 Cách xây dựng phương án mới tốt hơn phương án đã cho

Bước 1: Tìm một ô (i, j)E sao cho cước phí C’

ij<0 nhỏ nhấtBước 2: Vì E không chứa chu trình (do E là tập các ô chọn của phương

án cực biên x) ta gọi F=E(i,j) có chứa một chu trình V duy nhất qua ô (i,j) Ta đánh số thứ tự các ô thuộc V, bắt đầu từ ô (i,j) theo một chiều nào đó Kí hiệu VL, VC lần lượt là tập hợp các ô thuộc V có số thứ tự lẻ

i j

j i

i j

x

x x

x x

V j i

V j i

C L







) , (

) , (

) , (

Vậy ta đã xây dựng xong phương án mới tốt hơn phương án cũ

3 Thuật toán quy không cước phí giải bài toán vận tải

Bước 1: Thành lập một phương án ban đầu có số ô chọn là (m+n-1) cũng có thể có ô chọn không (cách thành lập phương án ban đầu được trình bày ở những mục sau)

Bước 2: Quy không cước phí các ô chọn Nếu các ô loại có cước phí dương thì phương án đang xét là phương án tối ưu và ta kết thúc bài toán Nếu ô loại có cước phí âm thì ta qua Bước 3

Bước 3: Xây dựng phương án mới như phần I.2 đã nêu

Bước 4: Quay về bước 2 và qua một vài bước hữu hạn ta tìm được phương án tối ưu do phương án cực biên xét ban đầu không suy biến (trường hợp suy biến ít xảy ra trong thực tế)

4 Ví dụ minh họa (được trình bày trong ví dụ minh họa của mục xây dựng phương án ban đầu)

II Các phương pháp xây dựng phương án ban đầu:

1 Xây dựng phương án ban đầu bằng phương pháp Góc Tây Bắc

a) Phương pháp giải

Bước 1: - Ta chọn ô phía góc Tây Bắc trong bảng vận tải

Bước 2: - Phân phối lượng hàng tối đa có thể vào ô đã chọn ở Bước 1 Giả

sử đó là ô (r,s) Giảm lượng cung ở hàng r và giảm lượng cầu ở cột s một lượng bằng lượng đã phân phối Sự phân phối này có thể thỏa mãn ràng buộc về cung hoặc về cầu hoặc về cả cung và cầu

- Loại bỏ những ràng buộc (không cần xét tiếp) đã thỏa mãn bằngcách đánh dấu chéo vào hàng (cột) tương ứng của ma trận cước phí Nếu cả cung và cầu cùng được thỏa mãn thì chỉ loại bỏ một hàng (cột) và lúc đó cả lượng cung và cầu còn lại của các ô trong hàng đều trở về 0

Bước 3: - Lặp lại Bước 1 và Bước 2 cho tới khi còn lại 1 hàng (cột) duy

nhất Lượng hàng phân phối vào các ô thuộc hàng (cột) này hoàn toàn được xác định bởi các lượng hàng đã phân bố vào các ô trước đó

1 Trình bày ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xây dựng phương án ban đầu theo phương pháp Góc Tây – Bắc với

Bước 2: - Ta phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô phía góc Tây Bắc đã

chọn ở Bước 1 với lượng hàng là 65 (Trạm phát 1 còn lượng hàng là 80-65=15) Lượng hàng trạm thu I đã đủ, ta xóa bỏ 2 ô

Bước 3: - Ta tiếp tục phân hàng nhiều nhất vào ô C12 phía góc Tây Bắc là

15 sau khi đã loại bỏ đi cột đầu tiên chứa trạm thu 1 đã thu đủ hàng

- Sau khi phân hàng vào ô C22 trạm phát 2 còn số hàng 90-60=30.

Ta tiếp tục phân hàng vào ô C23 phía góc Tây Bắc với số hàng nhiều nhất có thể là 30 và hiển nhiên số hàng còn lại ở trạm thu 3 thu được từ trạm thu 3 là 100-30=70 đúng bằng toàn bộ số hàng của trạm phát 3 do có sự cân bằng về thu và phát trong bài toán vận tải

J

J

- Phương án này chưa tối ưu vì còn có hàng chứa trong ô cấm

ta phải xây dựng phương án mới tốt hơn Ta chọn cặp bộ số (ri, sj) như bảng dưới đây

Phương án chưa tối ưu nên ta xây dựng phương án mới như sau:

X(4)

x

0 X(2)

x

2

2 Kết luận về phương pháp góc Tây – Bắc

- Thông qua ví dụ minh họa ta thấy, phương pháp góc Tây – Bắc

dễ thực hiện nhưng từ phướng án này để đi đến phương án tối ưu thì rất lâu

III Xây dựng phương án ban đầu theo phương pháp Min cước

1 Phương pháp giải

Bước 1: - Ta chọn ô có cước phí nhỏ nhất trong bảng vận tải

Bước 2: - Phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô có cước phí nhỏ nhất đã

về 0Bước 3: - Lặp lại Bước 1 và Bước 2 với những ô còn lại trên bảng cước

phí vận tải cho đến hết

2 Trình bày ví dụ minh họa

Ví dụ 2: Xây dựng phương án ban đầu theo phương pháp Min cước với bảng

Bước 2 - Ta phân lượng hàng nhiều nhất có thể vào ô có cước phí nhỏ

nhất C13 là 80 đồng thời, ta xóa bỏ ô C11 và C12 ngay sau khi trạm phát 1 đã phát hết hàng cho ô C13

- Tiếp tục ta phân lượng hàng nhiều nhất có thể là 20 vào ô có cước phí nhỏ nhất còn lại là ô C23 đồng thời ta xóa ô C33 sau khi trạm thu 3 đã thu hết hàngvà trạm phát 2 còn lại là: 90-65-20=5.

- Ta phân lượng hàng tối đa có thể vào ô C32 có cước phí nhỏ nhất

là 70 và phân lượng hàng còn lại của trạm 2 vào nốt ô C22 của trạm thu 2 do có sự cân bằng thu phát trong bài toán vận tải

5 20

R1=1

R2=-3

R3=M-10S1=0 S2=3-M S3=-2

5 -M+6 * 0 x

= min

0

S1=0 s2=-3 s3=-2

Vì M là số dương rất lớn nên ma trận cước phí mới này không âm Vậy phương

án vừa có là tối ưu

3 Kết luận về phương pháp Min cước

- Thông qua ví dụ minh họa ta thấy, so với phương pháp góc Tây Bắc thì phương pháp Min cước đi đến phương án tối ưu nhanh hơn và dễ thực hiện

- Phương án x thu được có đúng (m+n-1) ô đã phân hàng, nó là một phương án cực biên vì các ô đã chọn không tạo thành một chu trình

IV Xây dựng phương án ban đầu theo phương pháp Voghen

1 Phương pháp giải

Bước 1: - Đối với mỗi hàng và mỗi cột của bảng vận tải ta tính hiệu số

dương giữa hai giá trị cước phí nhỏ nhất trên hàng (cột) đó Tức

là lấy hiệu (cước phí nhỏ nhì “-” cước phí nhỏ nhất)Bước 2: - Chọn hàng hay cột có hiệu số cước phí này nhỏ nhất Nếu có

nhiều hàng hay cột có cùng hiệu số nhỏ nhất thì ta chọn tùy ý 1 hàng hay cột trong số đó

Bước 3: - Phân phối lượng hàng tối đa có thể vào ô có cước phí nhỏ nhất

trên hàng hay cột đã chọn Giả sử đó là ô (r,s) Giảm lượng cung

ở hàng r và giảm lượng cầu ở cột s một lượng bằng lượng đã phân phối Sự phân phối này có thể thỏa mãn ràng buộc về cung hoặc về cầu hoặc về cả cung và cầu

- Loại bỏ những ràng buộc (không cần xét tiếp) đã thỏa mãn bằngcách đánh dấu chéo vào hàng (cột) tương ứng của ma trận cước phí Nếu cả cung và cầu cùng được thỏa mãn thì chỉ loại bỏ một hàng (cột) và lúc đó cả lượng cung và cầu còn lại của các ô trong hàng đều trở về 0

Bước 4: - Lặp lại Bước 1, 2, 3 cho đến khi còn lại một hàng hay một cột

duy nhất Lượng hàng phân phối vào các ô thuộc hàng (cột) này hoàn toàn xác định bởi các lượng hàng đã phân phối trước đó

2 Trình bày ví dụ minh họa

0 X(2)

Vậy sau khi kiểm tra ta thấy rằng phương án mới đã tối ưu

3 Kết luận về phương pháp Voghen

- Thông qua ví dụ minh họa ta thấy, đa số các bài toán dùng phương pháp Voghen thường đi đến phương pháp tối ưu nhanh hơn so với phương pháp góc Tây Bắc và phương pháp Min cước Tuy nhiên cũng có những trường hợp nhỏ mà phương pháp Voghen đi đến phương án tối ưu sau phương pháp Min cước.Phần C: Kết luận

Thông qua đề tài tiểu luận “Xây dựng phương án ban đầu trong bài toán vận tải có ô cấm” Nhóm đã tích lũy được những kiến thức cơ bản về

bộ môn Quy hoạch tuyến tính thuộc lĩnh vực Quy hoạch toán học Vì kiến thức chuyên môn còn hạn chế, Nhóm trình bày những kiến thức cơ bản nhất về

“Xây dựng phương án ban đầu trong bài toán vận tải có ô cấm” với những ví

dụ minh họa cụ thể nhất Ví dụ mà Nhóm đưa ra tuy không nhiều nhưng hẳn đãgiúp các bạn phần nào hiểu được phương pháp giải loại bài tập đó Ví dụ đưa ratrong các phương pháp: Góc Tây Bắc, Min cước, Voghen đều được thống nhất cùng một đề bài để minh họa rõ nét về khả năng đi đến kết quả tối ưu của ba phương pháp Qua đó, ta thấy được phương pháp Góc Tây Bắc tuy dễ làm, dễ thực hiện nhưng để đến được với phương án tối ưu phải trải qua rất nhiều bước.Phương pháp Min cước thực hiện cũng khá đơn giản mà hiệu quả lại cao hơn phương pháp Góc Tây Bắc, chỉ cần trải qua một số hữu hạn bước có thể đến được với giá trị tối ưu Đặc biệt phải kể đến phương pháp Voghen, phương pháp này đa số trong các bài toán đều rất hữu hiệu, nó gần với phương án tối

ưu hơn, thường tốt hơn phương pháp Góc Tây Bắc và phương pháp Min cước Tuy nhiên trong một vài trường hợp nhỏ, nó có thể đến với phương án tối ưu sau phương pháp Min cước Nhưng đấy chỉ là những trường hợp nhỏ lẻ, ít gặp Phương pháp Voghen có thể nói là phương pháp thông dụng và tốt nhất để giải bài toán vận tải có ô cấm

x

2