Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)

Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)Chỉ số khả tổng trong phạm trù môđun artin trên vành giao hoán (tt)

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BO CO TÂM TT

— T€I KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› C‡P „I HÅC

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

BO CO TÂM TT

— T€I KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› C‡P „I HÅC

ThS NCS Tr¦n ùc Dông

Th¡i Nguy¶n, 3/2018

DANH SCH NHÚNG TH€NH VI–N THAM

GIA NGHI–N CÙU — T€I V€ ÌN VÀ

PHÈI HÑP CHNH

I Th nh vi¶n thüc hi»n · t i

TT Hå v  t¶n ìn và cæng t¡c Vai trá

1 ThS Tr¦n ùc Dông Khoa To¡n - Tin, Tr÷íng HKH Chõ nhi»m

2 GS.TS L¶ Thanh Nh n Tr÷íng HKH GV h÷îng d¨n, çng t¡c gi£ b i b¡o

3 ThS Ph¤m Hçng Nam Khoa To¡n - Tin, Tr÷íng HKH Th÷ kþ +NCV

II ìn và phèi hñp thüc hi»n

T¶n ìn và Nëi dung phèi hñp ¤i di»n

Vi»n To¡n håc, Vi»n T÷ v§n, gióp ï, ành h÷îng nghi¶n cùu GS TSKH Nguy¹n

H n l¥m Khoa håc v  Tü C÷íng

Cæng ngh» Vi»t Nam

¤i håc S÷ Ph¤m Hñp t¡c nghi¶n cùu, vi¸t chung b i b¡o TS Tr¦n é Minh Ch¥u

Th¡i Nguy¶n

Chapter 1 Ki¸n thùc chu©n bà 6

Chapter 2 o t½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa mæun

- Tê chùc chõ tr¼: Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

- Thíi gian thüc hi»n: 09/2015 - 09/2017

2 Möc ti¶u:

- Giîi thi»u v  nghi¶n cùu kh¡i ni»m kiºu a thùc d¢y cõa M vîi möc ½ch

o t½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M Chóng tæi nghi¶n cùu kiºu athùc d¢y thæng qua àa ph÷ìng hâa v  ¦y õ m-adic, t½nh ch§t l¶n xuèng cõa kiºu a thùc d¢y giúa M v  M/xM vîi x l  ph¦n tû tham sè

n o â cõa M Ngo i ra, vîi gi£ thi¸t R l  th÷ìng cõa v nh Gorenstein àaph÷ìng, chóng tæi mi¶u t£ kiºu a thùc d¢y cõa M thæng qua c¡c mæunkhuy¸t thi¸u cõa M

- Chùng minh k¸t qu£ v· sü b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham

sè cõa mæun CohenMacaulay

- X¥y düng ành ngh¾a ch¿ sè kh£ têng cõa mæun Artin v  nghi¶n cùuc¡c t½nh ch§t v· kh¡i ni»m n y

- N¥ng cao n«ng lüc nghi¶n cùu cho c¡n bë gi£ng d¤y ¤i sè v  Lþ thuy¸t

sè t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n; Phöc vö hi»u qu£ cho vi»c thüc hi»n luªn ¡nTi¸n s¾ cõa chõ nhi»m · t i; Mð rëng hñp t¡c nghi¶n cùu khoa håc giúa

¤i håc Th¡i Nguy¶n vîi c¡c cì sð kh¡c trong v  ngo i n÷îc

3 T½nh mîi, t½nh s¡ng t¤o:

- Kiºu a thùc l  kh¡i ni»m ÷ñc GS Nguy¹n Tü C÷íng giîi thi»u n«m

1992 º o t½nh Cohen-Macaulay cõa mæun Trong â, kiºu a thùc ÷ñcnghi¶n cùu thæng qua àa ph÷ìng hâa, ¦y õ m-adic Trong · t i n y,chóng tæi ¢ giîi thi»u mët kh¡i ni»m mîi l  kiºu a thùc d¢y º o t½nhCohen-Macaulay d¢y cõa mæun Ngo i ra, chóng tæi ¢ nghi¶n cùu kiºu

a thùc d¢y thæng qua àa ph÷ìng hâa v  ¦y õ m-adic, t½nh ch§t l¶n xuèng cõa kiºu a thùc d¢y giúa M v  M/xM vîi x l  ph¦n tû tham sè

n o â cõa M M°t kh¡c, vîi gi£ thi¸t R l  th÷ìng cõa v nh Gorenstein

àa ph÷ìng, chóng tæi mi¶u t£ kiºu a thùc d¢y cõa M thæng qua c¡cmæun khuy¸t thi¸u cõa M

- K¸t qu£ v· sü b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham sè cõa tr¶n

v nh CohenMacaulay ¢ ÷ñc chùng minh bði N.G Northcott Trong ·

t i n y, chóng tæi mð rëng k¸t qu£ n y cho mæun

- ¢ câ nhi·u nghi¶n cùu cõa c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi v· ch¿ sè kh£quy Trong · t i n y, chóng tæi giîi thi»u mët kh¡i ni»m mîi l  ch¿ sè kh£têng èi vîi mæun Artin tr¶n v nh giao ho¡n v  mët sè c¡c t½nh ch§t li¶nquan

4 K¸t qu£ nghi¶n cùu:

Cho(R,m)l  mët v nh giao ho¡n àa ph÷ìng Noether,M l  mëtR-mæunhúu h¤n sinh C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc cõa · t i l :

• X¥y düng ành ngh¾a kiºu a thùc d¢y cõa mæun M, k½ hi»u l 

sp(M )

• N¸u R l  catenary th¼ sp(M ) ≥ dim(nSCM(M )) D§u b¬ng x£y

ra khi R l  catenary phê döng v  måi thî h¼nh thùc cõa R l  henMacaulay

Co-• Cho p∈ Supp M v  R l  catenary

(i) N¸u dim(R/p) ≥ sp(M ) th¼ Mp l  Rp-mæun Cohen-Macaulayd¢y

(ii) N¸u dim(R/p) ≤ sp(M ) th¼ sp(Mp) ≤ sp(M ) − dim(R/p)

• sp(M ) ≤ sp(M )c D§u b¬ng x£y ra khi R/p l  unmixed vîi måi i¶annguy¶n tè li¶n k¸t p cõa M

• Gi£ sûsp(M ) > 0 v x ∈ ml  fd¢y ch°t cõaDi−1/Di vîi måi i ≤ t.Khi â sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1 D§u b¬ng x£y ra khi R l  catenaryphê döng v  måi thî h¼nh thùc cõa R l  CohenMacaulay

• T½nh to¡n sp(M ) thæng qua mæun khuy¸t thi¸u cõa M

• Chùng minh t½nh b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham sè cõamæun CohenMacaulay

• ÷a ra ành ngh¾a v· ch¿ sè kh£ têng cõa mæun Artin v  nghi¶n cùumët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n kh¡i ni»m n y

5 S£n ph©m:

5.1 S£n ph©m khoa håc:

- Xu§t b£n 1 b i b¡o thuëc danh möc SCI

• Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung, Tran Do Minh Chau (2016), "Ameasure of non-sequential Cohen-Macaulayness of finitely generatedmodules", J Algebra, 468, pp 275-295

- Xu§t b£n 1 b i b¡o trong n÷îc

• Tr¦n ùc Dông (2015), "On the invariant of the index of reducibilityfor parameter ideals of Cohen-Macaulay modules, T¤p ch½ Khoa håc

v  Cæng ngh» ¤i håc Th¡i Nguy¶n, 147(02), pp 199202

5.2 S£n ph©m  o t¤o:

- Câ 01 KLTN ¤i håc ¢ nghi»m thu

• Nguy¹n B¡ Long (2017), Mët sè t½nh ch§t cõa nûa nhâm sè, Khâaluªn tèt nghi»p, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

6 Ph÷ìng thùc chuyºn giao, àa ch¿ ùng döng, t¡c ëng v  lñi

½ch mang l¤i cõa k¸t qu£ nghi¶n cùu:

- C¡c b i b¡o khoa håc l  s£n ph©m nghi¶n cùu cõa · t i ÷ñc xu§t b£ntr¶n c¡c t¤p ch½ trong v  ngo i n÷îc

- C¡c b i b¡o khoa håc ÷ñc phê bi¸n tîi c¡c ëc gi£ thæng qua th÷ vi»ntruy·n thèng v  th÷ vi»n i»n tû C¡c b i b¡o â l  ti·n · nghi¶n cùuti¸p theo cho c¡c nh  to¡n håc nghi¶n cùu v· ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè

- C¡c k¸t qu£ cõa · t i công l  t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶ncao håc, gi£ng vi¶n, nghi¶n cùu sinh v  c¡c nh  to¡n håc nghi¶n cùu v·

- Coordinator: MSc PhD Student Tran Duc Dung

- Implementing institution: TNU - University of Sciences

- Duration: 09/2015 - 9/2017

2 Objective(s):

- We introduce the notion of sequential polynomial type of M, which isdenoted by sp(M ), in order to measure how far M is different from thesequential Cohen-Macaulayness We study the sequential polynomial typeunder localization and m-adic completion We investigate an ascent  de-scent property of sequential polynomial type between M and M/xM forcertain parameter x of M Moreover, when R is a quotient of a Gorensteinlocal ring, we describe sp(M ) in term of the deficiency module of M

- Prove result about the invariant of the index of reducibility of parameterideals of Cohen  Macaulay modules

- We introduce the notion of the sum  irreduciblity index of Artinianmodules and applications and we study some proposition of this notion

- Develop ability research of algebraic and arithmetic teachers of ThaiNguyen University of Sciences; attend efficiently up to coordinator's thesis;extend scientific cooperation between Thai Nguyen University and others;serve to graduate program in training and research of Thai Nguyen Uni-versity

3 Creativeness and innovativeness:

- Polynomial type is a concept introduced by Professor Nguyen Tu Cuong

in 1992 to measure the Cohen-Macaulayness of modules In it, the nomial type is studied through localization, m - adic completion In thisarticle, we have introduced a new concept that is sequential poloynomialtype to measure the Cohen-Macaulayness of modules In addition, we havestudied the sequential polynomial type through localization and m - adiccompletion, the ascent-descent theorem of the sequential polynomial typebetween M and M/xM for x is a parameter element of M On the otherhand, if R is the local Gorenstein ring, we describe the sequential polyno-mial type of M in term of the deficiency module of M

poly The result of invariant of the index of reducibility of parameter ideals ofCohenMacaulay ring has been proved by N.G Northcott In this topic,

we extend this result to the module

- There have been many studies of mathematicians around the world onthe index of reducibility In this article, we introduce a new concept that

is the sum  irreduciblity index of Artinian modules on the commutativering and some related properties

• Let p ∈ Supp M and R is catenary

(i) If dim(R/p) ≥ sp(M ) then Mp is sequentially Cohen-Macaulay

Rp-module

(ii) If dim(R/p) ≤ sp(M ) then sp(Mp) ≤ sp(M ) − dim(R/p)

• sp(M ) ≤ sp(M )c The equality holds true when R/p is unmixed forall associated primes p of M

• Suppose thatsp(M ) > 0 andx ∈ m be a strict felement ofDi−1/Di

for all i ≤ t Then sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1 The equality holdstrue when R is universally catenary and all formal fibers of R areCohenMacaulay

• Compute sp(M ) by the deficiency module of M

• Prove the property of constant index of reducibility of parameter als of Cohen-Macaulay modules

ide-• Introduced the notion the sum - irreducibility index of Artinian ules and some related properties

mod-5 Products:

5.1 Scientific publications:

- One SCI paper:

• Le Thanh Nhan, Tran Duc Dung, Tran Do Minh Chau (2016), "Ameasure of non-sequential Cohen-Macaulayness of finitely generatedmodules", J Algebra, 468, pp 275-295

- One paper in Vietnam

• Tran Duc Dung (2015), "On the invariant of the index of reducibilityfor parameter ideals of Cohen-Macaulay modules, Journal of Scienceand Technology, Thai Nguyen University, 147(02), pp 199202.5.2 Training results:

- 01 undergraduate thesis

- The results of the thesis are also reference materials for students, graduatestudents, lecturers, fellows and mathematicians who study Algebra andNumber Theory.

Mð ¦u

1 T½nh c§p thi¸t cõa · t i

Cho (R,m) l  mët v nh giao ho¡n àa ph÷ìng Noether vîi i¶an cüc

¤i duy nh§t m v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh chi·u d Khi â, vîi

x = (x1, , xd) l  mët h» tham sè cõa M, luæn câ `(M/xM ) ≥ e(x; M ),trong â `(•) l  h m ë d i v  e(x; M ) l  sè bëi cõa M èi vîi h» tham sè

x N¸u vîi måi (ho°c tçn t¤i) h» tham sè x sao cho `(M/xM ) = e(x; M )

th¼M ÷ñc gåi l  mæun Cohen-Macaulay Lîp mæun Cohen-Macaulay l 

èi t÷ñng nghi¶n cùu trung t¥m cõa ¤i sè giao ho¡n Mët trong nhúng mðrëng ¦u ti¶n cõa lîp mæun Cohen-Macaulay l  lîp mæun Buchsbaum

do J Stuckrad-W Vogel ÷a ra Mæun M ÷ñc gåi l  Buchsbaum n¸utçn t¤i mët h¬ng sè C sao cho `(M/xM ) = e(x; M ) + C vîi måi h»tham sè x Do â, mæun Cohen-Macaulay l  mët tr÷íng hñp °c bi»tcõa mæun Buchsbaum vîi C = 0 Ti¸p sau â, N.T C÷íng - P Schenzel

- N.V Trung ¢ giîi thi»u mët lîp mæun thäa m¢n t½nh ch§t tçn t¤ih¬ng sè C sao cho `(M/xM ) ≤ e(x; M ) + C vîi måi h» tham sè x, ÷ñcgåi l  mæun Cohen-Macaulay suy rëng Mët h÷îng mð rëng kh¡c l  kh¡ini»m mæun Cohen-Macaulay d¢y ÷ñc giîi thi»u còng lóc bði R Stanleycho tr÷íng hñp ph¥n bªc v  P Schenzel cho tr÷íng hñp àa ph÷ìng Cho

Hm0(M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M l  låc chi·u cõa M, tùc l  Di l mæun con lîn nh§t cõa M câ chi·u nhä hìn dim Di−1 vîi måi i = 1, , t

Mæun M gåi l  mæun Cohen-Macaulay d¢y (mæun Cohen-Macaulaysuy rëng d¢y) n¸u mæun th÷ìng Di−1/Di l  Cohen-Macaulay (Cohen-Macaulay suy rëng) vîi måi i = 1, , t

N«m 1992, N.T C÷íng ¢ giîi thi»u b§t bi¸n p(M ) cõa M, gåi l  kiºu

a thùc cõa M, nh¬m möc ½ch o t½nh khæng Cohen-Macaulay cõa M.N¸u ta quy ÷îc bªc cõa a thùc khæng l −1 th¼M l  Cohen-Macaulay khi

v  ch¿ khi p(M ) = −1 v  M l  Cohen-Macaulay suy rëng n¸u p(M ) ≤ 0.Têng qu¡t, theo [?],

p(M ) = maxj<ddim(R/Annb

b

RHmj(M ))

Ngo i ra, p(M ) ≥ max{dim nCM(M ), dim D1} vîi nCM(M ) l  quÿ t½chkhæng Cohen-Macaulay cõa M D§u b¬ng x£y ra khi R l  catenary phêdöng v  måi thî h¼nh thùc cõa R l  Cohen-Macaulay Nhúng k¸t qu£ tr¶nd¨n ¸n mët h÷îng nghi¶n cùu tü nhi¶n l  x¥y düng mët b§t bi¸n º ot½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M

Nh­c l¤i r¬ng mët mæun con N cõaM gåi l  b§t kh£ quy n¸u nâ khængthº vi¸t th nh giao cõa hai mæun con thüc sü chùa nâ Mët ph¥n t½chb§t kh£ quy cõa N ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch thu gån n¸u khæng bä ÷ñc b§t

cù th nh ph¦n b§t kh£ quy n o trong ph¥n t½ch â Ta ¢ bi¸t r¬ng måimæun con N cõa M ·u câ ph¥n t½ch b§t kh£ quy thu gån v  sè mæuncon b§t kh£ quy xu§t hi»n khæng phö thuëc v o ph¥n t½ch thu gån cõa

N Theo N G Northcott, sè c¡c mæun con b§t kh£ quy xu§t hi»n trongmët ph¥n t½ch thu gån cõa N ÷ñc gåi l  ch¿ sè kh£ quy cõa N Vîi i¶antham sè q cõa M sinh bði h» tham sè (x1, , xd), ta ành ngh¾a ch¿ sèkh£ quy cõa q èi vîi M l  ch¿ sè kh£ quy cõa mæun con qM v  kþ hi»u

l  irM(qM ) Do q l  i¶an tham sè cõa M n¶n M/qM câ ë d i húu h¤n.Khi â ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham sè q èi vîi M ch½nh l  chi·u cõa

¸ cõa mæun M/qM x²t nh÷ khæng gian vectì tr¶n tr÷íng k, trong â

¸ cõa M l  têng t§t c£ c¡c mæun con ìn cõa M, k½ hi»u l  Soc(M ),tùc l  irM(qM ) = dimkHomk(k, M/qM ) Mët trong nhúng v§n · ÷ñcquan t¥m l  nghi¶n cùu t½nh b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham

sè trong c¡c lîp v nh °c bi»t

N¸u nh÷ trong ph¤m trò c¡c mæun Noether ng÷íi ta quan t¥m ¸nc¡c mæun con b§t kh£ quy v  l½ thuy¸t ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa Noether-Lasker, th¼ trong ph¤m trò c¡c mæun Artin, mæun con b§t kh£ têng v l½ thuy¸t biºu di¹n thù c§p cõa I.G Macdonald công quan trång t÷ìng tünh÷ vªy V¼ vªy vi»c x¥y düng v  nghi¶n cùu v· mët kh¡i ni»m èi ng¨uvîi ch¿ sè kh£ quy l  r§t þ ngh¾a Mæun con B cõa A ÷ñc gåi l  b§t kh£têng n¸u B khæng thº vi¸t th nh têng cõa hai mæ un con thüc sü, tùc

l  n¸u B = C + D, trong â C, D l  hai mæun con thüc sü cõa B th¼

B = C ho°c B = D V¨n trong b i b¡o n y, æng ¢ chùng minh ÷ñcmæun Artin Aluæn câ biºu di¹n b§t kh£ têng thu gån A = A1+ + An,trong â méi Ai l  b§t kh£ têng v  khæng thøa Ngo i ra, sè th nh ph¦nb§t kh£ têng trong ph¥n t½ch khæng phö thuëc v o c¡ch chån ph¥n t½chb§t kh£ têng thu gån cõa A i·u n y thæi thóc chóng tæi nghi¶n cùu v·b§t bi¸n n y º °c tr÷ng cho c¡c lîp v nh quan trång trong ph¤m tròmæun Artin tr¶n v nh giao ho¡n

2 Möc ti¶u cõa · t i

- Giîi thi»u v  nghi¶n cùu kh¡i ni»m kiºu a thùc d¢y cõa M vîi möc

½ch o t½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M Chóng tæi nghi¶n cùukiºu a thùc d¢y thæng qua àa ph÷ìng hâa v  ¦y õ m-adic, t½nh ch§t

l¶n  xuèng cõa kiºu a thùc d¢y giúa M v  M/xM vîi x l  ph¦n tûtham sè n o â cõa M Ngo i ra, vîi gi£ thi¸t l  R l  th÷ìng cõa v nhGorenstein àa ph÷ìng, chóng tæi mi¶u t£ kiºu a thùc d¢y cõa M thængqua c¡c mæun khuy¸t thi¸u cõa M

- Chùng minh k¸t qu£ v· sü b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham

sè cõa mæun CohenMacaulay

- X¥y düng ành ngh¾a ch¿ sè kh£ têng cõa mæun Artin v  nghi¶n cùuc¡c t½nh ch§t v· kh¡i ni»m n y

- N¥ng cao n«ng lüc nghi¶n cùu cho c¡n bë gi£ng d¤y ¤i sè v  Lþ thuy¸t

sè t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n; Phöc vö hi»u qu£ cho vi»c thüc hi»n luªn ¡nTi¸n s¾ cõa chõ nhi»m · t i; Mð rëng hñp t¡c nghi¶n cùu khoa håc giúa

¤i håc Th¡i Nguy¶n vîi c¡c cì sð kh¡c trong v  ngo i n÷îc

3 Nëi dung nghi¶n cùu cõa · t i

- Giîi thi»u kh¡i ni»m kiºu a thùc d¢y sp(M ) cõa M º nghi¶n cùut½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa mæun M Khi nghi¶n cùu kiºu athùc d÷îi t¡c ëng cõa àa ph÷ìng hâa, vîi gi£ thi¸t R l  catenary v 

p ∈ SuppR(M ) chóng tæi chùng minh ÷ñc n¸u dim(R/p) > sp(M ) th¼

Mp l  Rp-mæun Cohen-Macaulay d¢y Ngo i ra, n¸u dim(R/p) ≤ sp(M )

th¼ sp(Mp) ≤ sp(M ) − dim(R/p) M°t kh¡c, d÷îi t¡c ëng cõa ¦y õ

m-adic, chóng tæi chùng minh ÷ñc sp(M ) ≤ sp(M )c v  d§u b¬ng x£y

ra khi måi i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M l  unmixed N¸u nh÷ bä gi£thi¸t unmixed, sp(M )c câ thº r§t nhä trong khi sp(M ) lîn b§t ký Vîi x l mët ph¦n tû tham sè, chóng tæi chùng minh ÷ñc t½nh ch§t "l¶n-xuèng"giúa M v  M/xM K¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng l  °c tr÷ng çng i·u chokiºu a thùc d¢y, cö thº n¸u R l  th÷ìng v nh Gorenstein àa ph÷ìng v 

Kj(M ) l  mæun khuy¸t thi¸u thù j cõa M th¼ sp(M ) = max {q1, q2},trong â q1 = maxj /∈D(M )dim Kj(M ), q2 = maxj∈D(M )p(Kj(M )) v 

D(M ) = {dim(R/p) |p ∈ AssRM }

- Chùng minh ÷ñc ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham sè b§t ký cõa mæunCohenMacaulay ch½nh l  kiºu cõa mæun, trong â kiºu cõa M, k½ hi»u

l  r(M ), ÷ñc cho bði r(M ) = dimkExttR(k, M ) vîi t = depth M

- Chùng minh t½nh b§t bi¸n cõa ch¿ sè kh£ quy cõa i¶an tham sè cõamæun CohenMacaulay