SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt

SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt SKKN cân bằng hệ số khi sử dụng bất đẳng thức cô si trong chứng minh bđt

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bất đẳng thức là một phần hay và khó của môn Toán và thường xuấthiện trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, chọn, học sinh giỏi cáccấp Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng, giúp cho chúng ta có đượccảm nhận sâu sắc về cái hay, cái đẹp của Toán học

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấyrằng học sinh rất bị động, gặp nhiều khó khăn và lúng túng khi gặp các bàitoán bất đẳng thức Có lẽ một phần do các em chưa được tiếp xúc và trang bịnhững kỹ thuật có thể giúp các em có cái nhìn sâu sắc hơn về bất đẳng thức,

từ đó xây dựng cho mình phương án tiếp cận các bài toán

Hiện nay có rất nhiều bất đẳng thức nhưng có lẽ bất đẳng thức Cô-si làmột trong những bất đẳng thức nổi tiếng và quan trọng nhất Bất đẳng thứcnày có nhiều kỹ thuật áp dụng , được áp dụng rộng rãi vào giải nhiều dạngtoán nói chung và bất đẳng thức nói riêng Kỹ thuật hay được sử dụng đó làcân bằng hệ số Sử dụng kỹ thuật này giúp chúng ta giải được nhiều bài toánmột cách thật tự nhiên và nhanh gọn

Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống, tích lũy đượcmột số bài toán bằng cách sử dụng kỹ thuật này Với mong muốn được traođổi với đồng nghiệp cũng như có thể trang bị thêm cho các em học sinh, đặcbiệt là các em khá giỏi một phương pháp mạnh trong việc chứng minh bấtđẳng thưc Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Cân bằng hệ số khi sử dụng bấtđẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức”

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

a) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số: Cho 2 số không âma b, Ta có a b � 2 ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b

b) Bất đẳng thức Cô-si cho ba số: Cho 3 số không âm a b c, , Ta có

Đề kiểm tra đội tuyển toán 9 (Phần bất đẳng thức)

Câu 1 Cho x� 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1

Câu 3 Cho a b c, , � 0,bc ca ab   5 Chứng minh rằng : 3a2  3b2  �c2 10

Câu 4 Cho a b c, ,  0,bc ca ab   1 Tìm GTNN của biểu thức P 4a2  4b2 c2

Câu 5 Cho a b c, ,  0và a b c   3 Tìm GTNN của P a 2  b2 c3

Qua kiểm tra và chấm bài tôi nhận thấy:

- Đa số các em làm tốt câu 2, nhưng trình bày bằng cách áp dụng bấtđẳng thức Bunhia-copx-ki tương đối phức tạp

- Một số em làm được câu 1, câu 3 Đa số các em còn lại mắc sai lầm ởhai câu này

- Câu 4, câu 5 hầu như bỏ trống

Nguyên nhân là các em gặp nhiều khó khăn khi dấu đẳng thức xảy ra ởcác biến không bằng nhau, dẫn đến các em áp dụng sai Câu hỏi đặt ra là dấuđẳng thức tìm được ở vị trí nào của các biến? Điều đó là nỗi băn khoăn của rấtnhiều học sinh khi gặp phải các bài toán dạng này Điều đó khiến tôi suy nghĩrất nhiều và quyết định nghiên cứu đê tài này

3.1 Thêm bớt biến số thích hợp để dấu đẳng thức xảy ra

Bài 1 Cho a b c, ,  0 Chứng minh rằng: 2 2 2

lời giải của bài toán

Từ đó có điều phải chứng minh

�Với ý tưởng đó ta xét bài toán sau:

Bài 2 Cho a b c, ,  0 Chứng minh rằng:

a

a b là bậc 1, mẫu chứa a b căn cứ vào đó ta xét m 0 và áp dụng BĐT Cô-si

32 2

m a

5 2

5 3

ta có lời giải sau:

Phân tích lời giải:

Bài 2 Cho a b c, ,  0và thỏa mãn a b c   3abc Chứng minh rằng:

Phân tích lời giải:

Với biểu thức phức tạp này và căn cứ vào giả thiết abc 1 Ta phải thêmbớt thêm các số hạng để loại bỏ các thừa số 1 b , 1 c Nhưng khi áp dụngCô-si cho 3 số thì sẽ xuất hiện 3 a4 nên ta sẽ thêm bớt một hằng số nữa

�Với phương pháp như trên có thể giải một số bài toán tương tự

Bài 1 Cho x� 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1

2

x

Phân tích lời giải:

Để có thể sử dụng được BĐT Cô-si Ta đưa thêm tham số m và xét cách tách:

mà không để ý đến dấu đẳng thức xảy ra:

Bài 2 Cho a b c, , � 0,bc ca ab   5 Chứng minh rằng : 3a2  3b2  �c2 10

1

2

2 5

a c

Bài 2 Cho a b c, ,  0,bc ca ab   1 Tìm GTNN của biểu thức P 4a2  4b2 c2

Phân tích lời giải:

Không như bài toán trên ở bài toán này không dễ gì tách được các hệ số

2 , , 2 2

a b c để có thể cân bằng các hệ số của ab bc ca, , khi áp dụng BĐT Cô-si Vìvậy việc đưa vào tham số là cần thiết

Lời giải:

m c

�Trong nhiều trường hợp nếu cần thiết ta phải đư thêm nhiều tham số

Bài 3 Cho a b c, ,  0và a b c   3 Tìm GTNN của P a 2  b2 c3

Lấy    1  2 theo vế được: 6 6 m5 x 3 6 n5 2 y �x3  y3 5m n  � 1 5  m n 

5

5 6 5

6 5

3 5

�Việc cân bằng hệ số tỏ ra có hiệu quả rõ ràng ở bài toán trên Với cách làm

tương tự chúng ta có 2 bài toán sau:

2 Cho a b, � 0thỏa mãn a2 b2  5 Tìm GTNN của P a 3 b6

3.4 Cân bằng hệ số dựa trên bậc của các hạng tử

Có thể nói rằng việc thêm bớt trong một số trường hợp phụ thuộc vàokhá nhiều bậc của các hạng tử trong BĐT cần chứng minh Có thể lấy một số

ví dụ sau làm minh họa

Bài 1 Cho a b c, ,  0 Chứng minh rằng: 5 5 5 3 3 3

�Một số bài toán tương tự:

1 Cho a b c, ,  0thỏa mãn a b c 1 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

3.5 Một số bài toán khác

Bài 1 Cho a b, � 0,a2 b2  1 CMR : max ,  3 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 2

Bài 2 Cho a b c d, , ,  0 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau:

Phân tích lời giải:

Bốn số hạng trong vế trái có vai trò tương tự nhau, gợi cho ta một đánhgiá trung gian nào đó cho từng số hạng Tuy nhiên các đánh giá này phải cómột điểm chung nào đó Các mẫu giống nhau chẳng hạn

Bài 3 Cho a b c, , � 0thỏa mãn a b c   1 Tìm GTLN của

P a ab b b  bc c c  ca a

Phân tích lời giải:

Có rất nhiều khó khăn khi trực tiếp áp dụng BĐT Cô-si ở đây và một đánh giátrung gian cũng không hề dễ dàng Nhưng ở đây vai trò các biến như nhaunên có thể sắp thự tự các biến mà không làm mất tính tổng quát

�Việc đưa về hai biến giúp ta tránh được phức tạp khi đánh giá Tiếp tục xétbài toán sau

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Với cách phân chia theo từng kỹ thuật nhỏ các dạng toán BĐT như trên

sẽ giúp các em học sinh có cái nhìn sâu sắc và cách tiếp cận các bài toán mộtcách chủ động, hiệu quả

Sau khi thực hiện áp dụng vào giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh đã cónhiều sự thay đổi và tự tin hơn rất nhiều Điều đó thể hiện qua việc các em giảiquyết được hầu hết các bài tập tương tự và tự minh tìm hiểu thêm các bài toán khác.

Tuy nhiên việc phân chia, sắp xếp đó chỉ mang tính chất tương đối vàcác bài toán có thể có nhiều cách giải Vì vậy khi giảng dạy, đặc biệt là côngtác bồi dưỡng học giỏi ta có thể khuyến khích học sinh giải bài toán BĐTbằng nhiều cách khác nhau nhằm phát huy tính sáng tạo của các em

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

Sau khi thực hiện bồi dưỡng học sinh giỏi các em đã nắm được thêmnhiều kiến thức, các em đã nắm vững các kỹ thuật và nhận dạng được từngdạng toán Các em đã áp dụng một cách sáng tạo các kỹ thuật theo hướng pháttriển và nhận biết được những sai lầm hay mắc phải khi giải các bài toánBĐT Có thể nói rằng với phương pháp trên đã làm thay đổi rất nhiều suynghĩ, cách thức tiếp cận một bài toán hay và khó, giúp các em say mê tìm tòi

và sáng tạo trong học tập

Qua việc thực hiện chuyên đề các bài toán về BĐT bằng phương pháp

cân bằng hệ số, tự bản thân tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

- Đối với giáo viên: Thường xuyên đọc sách, tự học ,tự nghiên cứu,

nâng cao trình độ biến kiến thức nhân loại thành kiến thức của mình bằngcách viết chuyên đề nêu thành từng dạng bài, phương pháp giải cho từ dạng

đó, phân tích những sai lầm mà học sinh thường mắc phải từ đó tìm cách dạykhắc phục những sai lầm đó Bồi dưỡng cho học sinh tính say mê học tập, khảnăng tự đọc, tự nghiên cứu để nâng cao kiến thức cho mình Nên giới thiệu

kiến thức bổ sung, những dạng toán hay thông qua việc giảng dạy trên lớp

- Đối với học sinh: Thường xuyên tự học, tự tìm hiểu để tìm tòi phương

pháp giải cho từng loại toán Sắp xếp theo trình tự nhất định tìm những điểmcần lưu ý khi giải mà dẫn tới sai lầm Sáng kiến kinh nghiệm '' Cân bằng hệ số

khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức '' đã được

tiến hành giảng dạy cho học sinh đội tuyển toán 9 trường THCS Văn Langnăm học 2011 - 2012 bước đầu đã thu được những kết quả đáng khích lệ, saukhi học xong chuyên đề phần lớn các em đã nắm vững và hình thành chominh được phương pháp giải một số bài toán về BĐT

Tuy nhiên đó mới chỉ là những nghiên cứu bước đầu của cá nhân tôi,rất mong được đồng nghiệp và hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để đề

tài của tôi đạt kết quả cao hơn trong những khóa bồi dưỡng tiếp theo Tôi xinchân thành cảm ơn.

2 Kiến nghị

Kính mong Ban giám hiệu trường THCS Văn Lang, Tổ chuyên môn

tạo điều kiện để tôi thực hiện sáng kiến của mình Kính mong được sự thamgia trao đổi, góp ý để bản sáng kiến được hoàn chỉnh và đạt kết quả cao trongthực tiễn giảng dạy

Việt Trì, ngày 10 tháng 01 năm 2012

Người viết

Bùi Hải Quang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỤC LỤC

Phần I- ĐẶT VẤN ĐỀ 1

Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2

1- Cơ sở lí luận 2

2- Thực trạng của vấn đề 3

3- Các biện pháp mới đã thực hiện để giải quyết vấn đề 4

3.1- Thêm bớt biến số thích hợp để dấu đẳng thức xảy ra 4

3.2 Thêm bớt số hạng hằng số dựa theo nguyên tắc dấu đẳng thức xảy ra 7

3.3 Lựa chọn thamsố 10

3.4 Cân bằng hệ số dựa trên bậc của các hạng tử 14

3.5 Một số bài toán khác 19

4- Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 21

Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 23

1- Kết luận 23

2- Kiến nghị 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO 25