SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nộidung quan trọng và nhiều khả năng sẽ gặp trong kỳ thi tốt THPT Quốc Gia sắp tới,nhưng rất nhiều học sinh còn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

Đơn vị: Trường Tiểu học, THCS và THPT Hồng Đức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

- Chuyên ngành đào tạo: Cử nhân Toán

II KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán THPT

- Năm vào ngành: 2010

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không có

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích 4

PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

I Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng 5

II Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số 6

1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị 6

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc 7

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 8 PHẦN II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 11

PHẦN III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 12

I Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 12

II Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết hệ số góc 14

III Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 17 IV Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau 18

V Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị 19

VI Tìm những điểm trên đường thẳng dmà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3 tiếp tuyến với đồ thị  C :yf x  21

VII Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị  C :yf x  và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau 23

VIII Các bài toán khác về tiếp tuyến 24

MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 27

PHẦN IV HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 32

I Khảo sát thực tế 32

II Kết quả sau khi thực hiện SKKN 32

KẾT LUẬN 33

PHỤ LỤC 35

Đề số 1 35

Đề số 2 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nộidung quan trọng và nhiều khả năng sẽ gặp trong kỳ thi tốt THPT Quốc Gia sắp tới,nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toán này Bài toánviết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữabài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tạimột điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góccủa tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến…đối với học sinh lại càng khó Họcsinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11 lại được luyện tập rất ít Hơnnữa các em không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làmbài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếpđiểm; hiểu sai đề bài…

2 Mục đích

Như ở trên đã nêu, trong chương trình cũng như sách giáo khoa Đại số và Giảitích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phương trình tiếptuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được rènluyện nhiều về kĩ năng Chính vì vậy, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bàitoán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểusâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành

thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Tìm hiểu bài toán về tiếp

tuyến của đồ thị hàm số”.

PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN

I Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong  C Giả sử  C là đồ thị của hàm

số yf x  và M x f x0 0;  0  C Kí hiệu M x f x ;    là điểm di chuyển trên  C Đường thẳng M M0 là một cát tuyến của  C

M x f x và ngược lại Giả sử cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn, kí hiệu là M T0

thì M T được gọi là tiếp tuyến của 0  C tại M Điểm 0 M được gọi là tiếp điểm Tại0

mỗi vị trí của M trên  C ta luôn có 0





Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy

Nhắc lại ý nghĩa hình học của đạo hàm: “Đạo hàm của hàm số yf x  tại x0là

hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M x f x0 0;  0 ”

ĐỊNH LÍ 1

ĐỊNH LÍ 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm là , trong đó

Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng Đường thẳng tiếp xúc với khi và chỉ

khi hệ sau có nghiệm

II Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị

a Bài toán 1 Cho hàm số yf x( ) có đồ thị  C và điểm M x y0 0; 0( )C Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M x y0 0; 0

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3 6x29x có đồ thị  C Hãy viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị  C tại điểm A2; 2 thuộc đồ thị  C

Giải Ta có y' 3 x212x9 nên y' 2  3 Với x 0 2 thì y 0 2

Phương trình tiếp tuyến cuả đồ thị  C tại điểm A2; 2 là y3(x 2) 2 hay

b Bài toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) tại điểm có

hoành độ x x 0 (hoặc tung độ yy0)

2

y x  x có đồ thị  C Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C tại điểm có hoành độ x 0 2

y có đồ thị  C Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm có tung độ y 0 5

Giải Gọi điểm M x y là tiếp điểm Ta có 0 0; 0 2

Ta có y' 0  3 Do đó phương trình tiếp tuyến là y 5   3 (x 0 ) hay y3x5.

 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C tại điểm ( 3 ; 5 )

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc

Bài toán Cho hàm số yf x  có đồ thị  C và một số k   Viết phương trình tiếptuyến của đồ thị  C có hệ số góc k

1

x y x





  C có hệ số gócbằng 2

Giải Gọi điểm M x y là tiếp điểm 0 0; 0 x 0 1

Có hai toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3) 

Hai phương trình tiếp tuyến là y2x1 và y2(x2) 3  y2x7

x y x

01

x x

y x  x  có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của

 C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 3x 5y 4 0

Giải

5

k  Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với

đường thẳng  nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 5

3

d

k  Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Bài toán Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y A; A

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3 3x22 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

thị  C biết tiếp tuyến đi qua điểm 23; 2

53

33

9

x

k x

k x

Ví dụ 2 Cho hàm số 1 4 2 3

3

y x  x  có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của

 C đi qua điểm )

2

3

;0(

y  Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C khi và chỉ khi hệ sau

33

00

6

x x

x x

1

111

)1()1(

11

1

2 2

x

x x

x x

x k

x

x k

x

x

Phương trình vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào đi qua I - giao điểm của haiđường tiệm cận.

y  C Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được

2 tiếp tuyến đến đồ thị  C

Giải Gọi B(0;b)Oy Phương trình đường thẳng qua B có dạng y kx b   d

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

PHẦN II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấykhó khăn trong việc khảo sát hàm số Tuy nhiên khi làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thịhàm số, học sinh thường gặp phải khó khăn sau:

- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài

- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại mộtđiểm thuộc đồ thị của hàm số

- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổi…trong bước trung gian Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…

Ví dụ Cho hàm số y x 3 3x22 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồthị  C biết tiếp tuyến đi qua điểm A0;3

Giải Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A0;3 , phương trình của d có dạng y kx 3

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình

Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp tuyến Như vậy lời giải đúng là

x x

k k

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C qua A có dạng y y 0 f x'( )(0 x x 0)

Theo đầu bài ta có x0 0, y0 3 và y x'( )0 f x'( ) 00 

Vậy phương trình tiếp tuyến là y 3

Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải…

PHẦN III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp giải

cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề hướng dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết Bởi khi đó, các em không còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số” ở dạng nào ? Chính vì vậy mà trong vài năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập; chỉ ra phương pháp giải từng dạng Từ đó các

em tự tin và có hứng thú học tập

I Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

a Bài toán 1 Cho hàm số yf x  có đồ thị  C và điểm M x y0 0; 0( )C Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm M x y0 0; 0

Ví dụ 3 Cho hàm số y 2 3x x 3 có đồ thị  C Hãy viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C tại điểm uốn của đồ thị

Giải Ta có y' 3 3  x2, y''6x và y'' 0  x0.

Toạ độ điểm uốn là 0; 2, y'(0) 3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là y3(x 0) 2 hay

y x

b Bài toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C : yf x  tại điểm có

hoành độ x x 0 (hoặc tung độ yy0)

* Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có

hoành độ x x 0

Hệ số góc : f x' 0 Tung độ tiếp điểm y0 f x 0 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có

Bài 2 Cho hàm số yx4 2x23 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

a Tại giao điểm của  C với trục tung

b Tại điểm có tung độ y 1

1

x y x

a Tại điểm có hoành độ x 2

b Tại điểm có tung độ y 9

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm được chỉ ra

 tại điểm có hoành độ x 4

b  C :y2x 2x21 tại các giao điểm của  C với trục tung và trục hoành

Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại các giao điểm của  C với đường được chỉ ra

a  C :y2x3 3x29x 4 và d y: 7x4

b  C :y2x3 3x29x 4 và  P y: x28x 3

c  C :y2x3 3x29x 4 và C' : y x 3 4x26x 7

II Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết hệ số góc

Bài toán Cho hàm số yf x  có đồ thị  C và một số k   Viết phương trình tiếptuyến của đồ thị  C có hệ số góc k

* Phương pháp giải

Cách 1

Bước 1 Tìm hoành độ tiếp điểm x0 bằng cách giải phương trình f x' 0 k

Bước 2 Tìm tung độ tiếp điểm y0 f x 0 Thay x y f x0; ; '0  0 vào phương trình tiếptuyến yf x'  0 x x 0y0

Cách 2 Phương pháp điều kiện kép

Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y kx m  (m là ẩn) tiếp xúc với đồthị  C :yf x( ) Khi đó, phương trình kx m f x( ) có nghiệm kép Áp dụng điều kiện

để phương trình có nghiệm kép, tìm được m Từ đó, viết được phương trình tiếp tuyếncần tìm

NHẬN XÉT: Vì điều kiện ( ) :C1 yf x( ) và ( ) :C2 y g x ( ) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện

2

; 45

; 30

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng ya +bx Khi đó, hệ số góc k a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ya +bx Khi đó, ka 1 thì k 1

Ví dụ 1 Cho hàm số yx3  3x2  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết

hệ số góc của tiếp tuyến k 3

Giải Gọi M x y là tiếp điểm Ta có 0 0; 0 y' 3x2 6x

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y3(x1) 2 y3x1





y  C Biết tiếptuyến đó song song với đường thẳng y9x2017

Giải Gọi M x y là tiếp điểm Ta có 0 0; 0 y' 3x2 6x

 Với x 0 3 thì y  Phương trình tiếp tuyến của 0 1  C cần tìm là y9x 31hay y9x 26

Vậy có hai tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y9x2017 là y9x6 và

y có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của

 C biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1

Bước 2 Điểm A x y A; Ad, ta được y A y x'( )(0 x A x0)y0  3 Tìm được x0.

Bước 3 Kết luận về tiếp tuyến d

CHÚ Ý

Số nghiệm phân biệt ở phương trình    1 ; 3 bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến đồ thị  C

3

y x  x Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

đi qua điểm A3;0

Giải Ta có y'x2 2x

Gọi phương trình đường thẳng qua A3;0 có hệ số góc k là y k x   30  d

Để đường thẳng  d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C thì    

Thay  2 vào  1 ta có 1 3 2  2   

3x  x  x  x x Ta tìm được x0;x3 Với x 0 thay vào  2 tìm được k 0 Phương trình tiếp tuyến là y 0

Với x 3 thay vào  2 tìm được k 3 Phương trình tiếp tuyến là y3x 33x 9 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C đi qua A3;0 là y 0 và y3x 9

IV Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau

Bài toán Cho hai đường  C1 :yf x  và C2:y g x   Tìm điều kiện của tham số

m để hai đường tiếp xúc nhau

 Nếu  C1 :ypx p và C2: yax2bx c thì  C1 và C2 tiếp xúc nhau

3

x  x  Thay vào phương trình  1 ta được 1 2

311;

 tiếp xúc với  C1 và C2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

Thế  2 ,  5 ,  6 vào  3 tìm được v, a, u, b Từ đó viết phương trình của 

 Nếu  C1 và C2 tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyếnchung của  C1 và C2 cũng là tiếp tuyến của  C1 và C2 tại điểm đó

33

a a

VI Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3 tiếp

Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k là y k x x   My M

 tiếp xúc với  C khi hệ sau có nghiệm    

 '

Số nghiệm của phương trình  3 chính bằng số tiếp tuyến của  C vẽ từ M

x

x x x x k x

x

6

3

23)

(23

2

2 0

3 0 0 2

x

x    x  Vậy trên  C tồn tại duy nhất điểm M01;0 mà qua đó kẻ được đúng một và chỉ mộttiếp tuyến với đồ thị  C

Bài tập áp dụng

Bài 1 Tìm những điểm trên đồ thị  C :y x 3 3x1 mà từ đó vẽ được đúng một tiếptuyến với  C

Bài 2 Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với

VII Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị  C :yf x 

và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

* Phương pháp giải

Gọi M x M;y M và đồ thị hàm số  C :yf x 

Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k là y k x x   My M

 tiếp xúc với  C khi hệ sau có nghiệm    

 '

Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với  C   3 có hai nghiệm phân biệt x x1; 2

Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f x f x' 1 ' 2 1 Từ đó tìm được điểm M CHÚ Ý

Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với  C sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía so với trục hoành thì phương trình  3 có hai nghiệm phân biệt và f x f x    1 2 0

4

M   

  luôn kẻ được hai tiếp tuyến với

 C :yf x 2x2 3x1 vuông góc với nhau Viết phương trình hai tiếp tuyến đó

  luôn kẻ được hai tiếp tuyến với  C :yf x 2x2 3x1

vuông góc với nhau và hai tiếp tuyến đó là  10 3 1

4

y  x và  10 3 1

4

y   x