Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Trang 1Câu 45 [2D2-7.1-4] (LIÊN TRƯỜNG NGHỆ AN LẦN 1 - 2018) Cho x,
y
là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1
2
x y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
17 2
13 2
Lời giải
Đáp án A
Điều kiện:
1
x y xy
>
<
Biến đổi điều kiện thành
1
2
3x y− log x y 3 −xy.log 2 1 xy
Xét hàm số
( ) 3 logt 2
với t>0
Ta có
3
ln 2
t t
t
với mọi t>0
Suy ra hàm số
( )
f t
luôn đồng biến và liên tục trên khoảng
(0;+∞)
Từ
( )*
ta có
2 1
2 2
2 2
x y
Đặt
u x y= +
, vì
( )2 ( 2 2)
x y+ ≤ x +y =
nên − ≤ ≤2 u 2
Ta có
( ) ( 2 2 )
M = x y x+ +y −xy − xy =2(x y+ ) (2−xy)−3xy
u − −
Xét hàm số
( ) ( 2) ( 2 )
với u≤2
Có
( ) 3 2 3 6
g u′ = − u − +u
;
( ) 0
g u′ =
1 2
u u
=
Ta có
;
( )1 13 2
;
Vậy
[ 2;2] ( ) 13
2
−
khi u=1
hay
1 2
x y
x y
+ =
1 1 2
x y
xy
+ =
suy ra
2
2
x y
=
−
=
hoặc
2
2
x y
=
+
=