Đề cương ôn thi toán 11 kỳ II (có đáp án)

Trong tam giác SAB, vẽ đường cao AH.

SỞ GD&ĐT KON TUM

TRƯỜNG PT DTNT ĐĂK HÀ

NGÂN HÀNG ĐỀ KIỂM TRA NĂM HỌC 2008 - 2009

(Khối 11 - Ban cơ bản)

Câu 1: Cho cấp số nhân có công

bội dương (un), biết u1 = 2, u3 =8

1 (Mức độ A; 2,0 điểm)

Tính u7?

2.(Mức độ B; 1,0 điểm)

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của

cấp số nhân đó

1 Ta có 3 1 2 2 3

1

u

4 2

q

2

q

  ( Vì công bội dương)

6

u u q

6

u

2 Ta có:

10 10

2(1 2 )

1 2

S  

 2(1 1024)

2046 1





Câu 2: Tính các giới hạn sau:

1.(Mức độ A; 1,5 điểm)

2

2

lim

n





2.(Mức độ C; 2,5 điểm)

lim n  n n

1 Ta có:

2 2

2

9 6

3

n

n









 6

3 2

  2.Ta có lim n2 n n

2

n n n



 

n n n



  1 lim

1

1 2

n





Câu 3: Tính các giới hạn sau:

1 (Mức độ A; 1,5 điểm)

2

3

9

lim

3

x

x

x

 





2 (Mức độ B; 1,5 điểm)

2

2

lim

2

x

x





1 Ta có:

2



lim (3 3)

6

x x

 



2



lim( 3) 1

x x





Câu 4: Tính các giới hạn sau:

1 (Mức độ A; 1,5 điểm)

2

2

lim

3

x

x

x x

 





2 (Mức độ B; 2,0 điểm)

2

3

lim

2

x

x

x









1 Ta có:

2

3 2

1

x x

x







2 3





2 Ta có: xlim (2 x3) 5 0 

2

lim ( 2) 0

x x



   ; x-2<0 với mọi x < 2

Do đó

2

3 lim

2

x

x x







 



Câu 5: Cho hàm số

2

4

x

khix

x khix





 



Xét tính liên tục của hàm số tại x=2

Ta có

2

4 lim ( ) lim

2

x

f x

x







2

lim ( 2) 4

x  x



lim ( ) lim (3 2) 4

x  f x x  x

f(2) = 4 Vì xlim ( )2 f x xlim ( )2 f x f(2) 4

   nên hàm số liên tục tại x = 2

Câu 6: Cho hàm số

( )

x khix

f x

x khix





Xét tính liên tục của hàm số tại x=0

Ta có xlim ( ) lim0 f x x0 x2 0

lim ( ) lim ( 1) 1

x  f x x  x

Vì xlim ( )0 f x xlim ( )0 f x

 nên hàm số gián đoạn tại x= 0

Câu 7: Cho hàm số

2

( )

ax khix

f x

x x khix







Xét tính liên tục của hàm số trên R

Hàm số f(x) xác định trên R Với x < 1 hàm số f(x) = x2 + x -1 liên tục trên  ;1

Với x > 1 hàm số f(x) = ax + 2 liên tục trên 1;

Tại x = 1 ta có:

2

x f x x x x

x f x x ax a

f(1) = a + 2 + Nếu a = -1 thì lim ( ) lim ( )x1 f x  x1f x f(1) 1

Nên hàm số liên tục tại x = 1 suy ra hàm số liên tục trên R + Nếu a  -1 thì lim ( ) lim ( )x1 f x  x1f x

Nên hàm số gián đoạn tại x = 1 suy ra hàm số liên tục trên

Câu 8: Cho hàm số

khix

khix







Xét tính liên tục của hàm số trên R

Hàm số f(x) xác định trên R + Trên mỗi khoảng   ; 3 và 3; hàm số

3

y x



định nên liên tục

+ Tại x = -3 ta có:

2

lim ( ) lim

3

f x

x





 2

3

3 lim

3

x

x x

 







3

lim ( 3) 0

x x

 

f(-3) = 2 Vì lim ( )x 3 f x f( 3) nên hàm số gián đoạn tại x = -3 Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng   ; 3 , 3; và gián đoạn tại x = -3

Câu 9: Cho hàm số

khix

x khix







Xét tính liên tục của hàm số tại x=1

Ta có

lim ( ) lim

1

f x

x





2

1

lim

1

x

x







2 1

x x



f(1) = 3 Vì lim ( )x1 f x f(1) 3 nên hàm số liên tục tại x = 1

Câu 10: Chứng minh phương

trình

2x3 – 6x – 1 = 0

Có 3 nghiệm trên khoảng (-2;2)

Đặt f(x) = 2x3 - 6x -1 Hàm số f(x) xác định trên R

Ta có:f(-2) = -5 f(-1) = 3 f(0) = -1 f(2) = 3 Vì f(-2).f(-1) = -15 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-2;-1)

f(-1).f(0) = -3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1;0)

f(0).f(2) = -3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0;2)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;2)

Câu 11: Chứng minh phương

trình

32x3 – 60x2 + 16x + 3 = 0

Có 2 nghiệm trái dấu

Đặt f(x) = 32x3 – 60x2 + 16x + 3 Hàm số f(x) xác định trên R

Ta có:f(-1) = -95 f(0) = 3 f(1) = -9 Vì f(-1).f(0) = -285 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1;0)

f(0).f(1) = -27 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0;1)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm trái dấu nhau

Câu 12: Cho hàm số : y = 2x3 +

3x2 +1

Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm có hoành

độ x0 = 1

Ta có : y’ = 6x2 + 6x Suy ra y’(1) = 12 Ngoài ra y(1) = 6 Nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1 ;6) là :

y = 12( x-1 ) + 6 hay y = 12x -6

Câu 13: Tính đạo hàm các hàm số

sau :

1.(Mức độ A; 0,75 điểm)

f(x) = 2x3 + x2 -3x +1

2.(Mức độ A; 1,5 điểm)

( )

2

x

f x

x







1 f’(x) = 6x2 + 2x -3

 2

'( )

2

f x

x





 2

2

x





3.(Mức độ B; 1,75 điểm)

f(x) = x.tanx

 

3 f’(x) = 1.tanx + x.(tanx)’

= tanx + 2

cos

x x

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông và có

SA mp ABCD

1 (Mức độ A; 2 điểm)

Chứng minh SBBC và

2.(Mức độ B; 1điểm)

Gọi O là giao điểm hai đường

chéo AC và BD, chứng minh

SOD

 là tam giác vuông

1.Ta có SA mp ABCD ( ) SABC (vì BC(ABCD) (1)

Ta lại có ABBC (ABCD là hình vuông) (2) Từ (1) và (2)  SBBC

AD DC



2 Ta có SA mp ABCD ( ) SABD (vì BD(ABCD) (1)

Ta lại có BDAC (BD và AC là 2 đường chéo của hình vuông) (2) Từ (1) và (2)  SOBD hay SODvuông tại O

Câu 15: Cho tứ diện OABC có

OA, OB, OC đôi một vuông góc

Gọi H là điểm thuộc mặt

OH mp ABC Chứng minh

rằng :

1.(Mức độ A; 1,5 điểm)

BCmp OAH

1 Ta có :AOmp ABC( ) AOBC (vì BC(ABC) (1) Mặt khác theo giả thuyết ta có OH mp ABC( ) suy ra OH BC(2) Từ (1) và (2)  BCmp OAH( )

2 Kẻ AH cắt BC tại M

Tam giác OAM vuông tại O có OH là dường cao nên ta có :

2.(Mức độ A; 1,5 điểm)

OH OA OB OC

OH OA OM (1)

Theo câu 1 ta có BC mp OAH( ) BCOM hay OM là đường cao trong tam giác OBC vuông tại O nên ta có 1 2 12 12

OM OB OC (2)

Từ (1) và (2) 1 2 12 12 12

Câu 16: Cho tứ diện SABC có

tam giác ABC vuông tại B,

SA mp ABC

1.(Mức độ A; 1,5 điểm)

Chứng minh BC mp SAB( )

2.(Mức độ B; 1,5 điểm)

Gọi AH là đường cao của tam

giác SAB, AK là đường cao của

tam giác SAC Chứng minh

SCmp AHK

1.Tacó :SA mp ABC ( ) SABC(vìBC(ABC)) (1) Mặt khác theo

(Vì tam giác ABC vuông tại B ) (2) Từ (1) và (2)  BCmp SAB( )

2 Theo câu1 ta có :BCmp SAB( ) BCAH (vì AH (ABC) (1)

Mặt khác theo giả thuyết ta có AH SB suy ra AH (SBC)

Ta lại có SK AK( theo GT ) Từ (1) và (2) SCmp AHK( )

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD là hình vuông và có

SA mp ABCD

1.(Mức độ A; 1,5 điểm)

Chứng minh BD(SAC)

1.Ta có :SA mp ABCD ( ) SABD (1) (vì BD(ABCD)

Mặt khác theo giả thuyết ta có ACBD

2 (Mức độ B; 1,5 điểm)Gọi I,J

lần lượt là trung điểm SC và SD,

chứng minh IJ (SAD)

(AC và BD là hai đường chéo của hình vuông) (2) Từ (1) và (2)  BD(SAC)

2 Ta có :SA mp ABCD ( ) SADC (vì DC(ABCD) (1)

Mặt khác theo giả thuyết ta có CDAD

(ABCD là hình vuông) (2) Từ (1) và (2)  CD(SAD) Mà IJ//CD ( IJ là đường trung bình của tam giác SCD Nên IJ (SAD)

Câu 18: Cho tứ diện SABC có

tam giác ABC vuông cân tại B, có

AC = 6 ; SA = 3 và

SA mp ABC

1 (Mức độ A; 1,5 điểm)

Chứng minh (SAB) ( SBC)

2 (Mức độ B; 1,5 điểm)

Tính ( ,(d A SBC))

1 Ta có :SA mp ABC ( ) SABC (vì BC(ABC) (1)

Mặt khác theo giả thuyết ta có BCAB

( tam giác ABC vuông tại B ) (2) Từ (1) và (2)  BCmp SAB( )

(SAB) (SBC)

  ( Vì BCmp SAB( )

2 Trong tam giác SAB, vẽ đường cao AH

Vì (SAB) ( SBC) và (SAB) ( SBC)SBnên AH (SBC)hay

d A SBC = AH

Ta có 1 2 12 12

AH AS  AB

Mà AS = 3 (g/t) ;

2

AC

AB  =3 2

9 18

AH  

18 6

6

AH

Câu 19: Cho hình vuông ABCD.

H, K lần lượt là trung điểm của

AB và AD Trên đường thẳng

d  ABCD tại H lấy S SH

1.(Mức độ A; 1,5 điểm)Chứng

minh rằng: AC(SHK)

2.(Mức độ B; 1,5 điểm) Tính

khoảng cách từ C đến mp(SHK)

biết cạnh hình vuông bằng 4

1.Ta có :SH mp ABCD( ) SH AC (vì AC(ABCD) (1)

Ta lại có ACBD (AC và BD là hai đường chéo của hình vuông) Mà HK//BD ( HK là đường trung bình của tam giác ABD)

Nên AC HK (2) Từ (1) và (2)  AC(SHK)

2 Goi I là giao điểm của AC và HK, theo câu1 ta cóAC(SHK)nên

CI là khoảng cách từ C đến mp(SHK)

Ta có 3

4

CI  CA

3 4 2 4



3 2



Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD

ó đáy ABCD là hình vuông cạnh a

và SA mp ABCD ( )

1.(Mức độ A; 0,5 điểm) Tính

khoảng cách giữa SA và BC biết

AS = 2a

2 (Mức độ A; 0,5 điểm)Tính

khoảng cách từ A đến (SDC)

1 Ta có :SA mp ABCD ( ) SAAB (vì AB(ABCD)

Ta lại có ABBC (ABCD là hìn vuông ) Nên AB là đường vuông góc chung của SA và BC, suy ra khoảng cách giữa SA và BC là AB = a

2 Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH

Ta có :AH SD(*) Mặc khác ta có ADDC (ABCD là hình vuông ) (1)

Ta lại cóSA mp ABCD ( ) SA CD (vì CD(ABCD)(2)

Từ (1) và (2)  CD(SAD)

Từ (*) và (**)  AH (SCD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mp(SCD) Trong tam giác vuông SCD ta có :

AH AS  AD

(2 )a a 4a

5

a

AH