1TOM TAT LY THUYET DANG TOAN CHUONG 3 HH LOP 12 OXYZ (2)

A, B, C thẳng hàng AB AC cùng phương... PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1.. Muốn viết phương trình mặt cầu S ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính Mặt cầu S có:... PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1... PH

Trang 1

Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201

Các em nhận tài liệu các môn [toán] [lý] tại : 44 phố vọng – 0966.666.201

Trang 1

TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG 3 HH LỚP 12

I TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ

1 M x( M;y M;z M)OM  x i M y j M z k M

2 Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB)

 AB(x Bx A;y By z A; Bz A)

( B A) ( B A) ( B A)

AB x x  y y  z z

3 M là trung điểm AB thì :

A B A B A B

x x y y z z

4 G là trọng tâm của ABC thì:

xA xB xC yA yB yC zA zB zC

5 G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:

x x x x y y y y z z z z

6 Ứng dụng của tích có hướng:

a) Diện tích tam giác ABC: 1 ,

2

ABC

S  AB AC

b) Diện tích h b hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

6

ABCD

V  AB AC AD

d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ =[AB AD AA , ] '

7 Tọa độ các điểm đặc biệt:

( ; 0; 0) ( ) ( ; ; 0) (0; ; 0) ( ) ( ; 0; )

M Ox M x M Oxy M x y

M Oy M y M Oxz M x z

M Oz M z M Oyz M y z

1 a( ;a a a1 2; 3) aa i1 a j2 a k3

2 Các tính chất:

Cho hai vecto a( ; ; ),a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 ta có:

 a b (a b a1 1; 2 b a2; 3b3)

 k a(ka ka ka1; 2; 3)

 a b a b1 1a b2 2a b3 3









 



| |a  a a a

 a b a b  0 a b1 1a b2 2a b3 30

s( , )

a b a b a b

co a b

a a a b b b



(với a0 ,b0)

3 Tích có hướng của 2 vectơ:

, a a ;a a ;a a

a b a b

b b b b b b

Độ dài tích có hướng :

a a a a a a

a b

b b b b b b

Hoặc u v,   u v sin u v,

4 Điều kiện 2 vectơ cùng phương:

( , , 0)

a a a

a cuøng phöông b b b b

b b b

 a cuøng phöông b  a b, 0

5 Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:

, ,a b c đồng phẳng  a b c,  0

6 A, B, C thẳng hàng AB AC cùng phương ,

1 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2mp

(1):A x1 B y C z1  1 D10

(2):A x2 B y C z2  2 D2 0 A B C2; 2; 2 0

 (1) cắt (2)  1 1 1

A B C có một cặp khác nhau

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = 0:

( o, ( )) Ax o By o Cz o D

d M

O

x

y z

i  (1; 0; 0)

j  (0;1; 0)

k  (0; 0;1)

Trang 2

Trang 2

 (1) // (2)  1 1 1 1

A  B C  D

 (1) ≡ (2)  1 1 1 1

A  B C  D

 (1)(2) n n1 2  0 A A1 2B B1 2C C1 2 0

2 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho 2 đt

d1 qua M1 và có VTCP a ; d1 2 qua M2 và có VTCP a 2

 d1//d2  1 2

a a







 d1d2  1 2

a a







 d1 cắt d2

a a

a a M M





 d1 chéo d2  a a1, 2.M M1 2 0

 d1 d2  a a1 2 0

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

a) Cách 1:

Cho d:

x x a t

y y a t

z z a t



  



  



và (): AxByCz D 0

+ Thay ptts của d vào pt ( ) ta có:

A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1)

 Phương trình (1) có 1 nghiệm  d cắt ( )

 Phương trình (1) vô nghiệm  d // ( )

 Phương trình (1) vô số nghiệm  d  ( )

* Tìm tọa độ giao điểm I của d và ():

 Thay ptts của d vào pt (), giải tìm t

 Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z

 I(x;y;z)

b) Cách 2:

Đt d đi qua M và có VTCP a ; mp () có VTPT n

 d cắt ()  a n0

 d // ( )  . 0

( )

a n

M 









 d  ( )  . 0

( )

a n

M 









 d ( )  ;a n cùng phương

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1 và

, ( , )

a M M

d M d

a



3 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

,

d d d

a a



4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

 1, 2  , 2

d d d d M d (lấy Md1)

5 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

( 1), ( 2)  , ( 2)

d   d M  (lấy M(1))

6 Khoảng cách giữa đt và mp song song:

 , ( )  , ( )

d d  d M  (lấy Md)

GÓC

1 Góc giữa 2 mặt phẳng:

Cho (1) có VTPT n , 1 (2) có VTPT n , ta có : 2

1 2

cos

n n

 

2 Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho d1 có VTCP a , d1 2 có VTCP a , ta có : 2

1 2

cos

a a



3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho d có VTCP a , ( ) có VTPT n , ta có :

sin

n a



4 Góc trong tam giác ABC :

AB.AC cos A

AB.AC



II PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm 2 yếu tố: tâm và bán kính

Mặt cầu (S) có:

Trang 3

Trang 3

+ Bán kính r

(xa) (y b )  (z c) r

2 Mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  ax by cz d có tâm I (a;b;c) , bán kính

r a   b c d , (với a2b2c2 d 0)

1/ Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu dạng cơ bản

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và đi qua điểmA x( A;y A;z A):

Mặt cầu (S) có:

+ Tâm I(a;b;c)

+ Do (S) đi qua A nên có bán kính:   2  2 2

r IA x x  y y  z z

(xa) (y b )  (z c) r

r I A

rIA

Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

+ Gọi I là trung điểm của AB  Tâm ; ;

A B A B A B

+ Do (S) có đkính AB nên có bkính:   2  2 2

 AB  x B x A y B y A z B z A r

(Ta có thể tính bán kính r = IA hay r = IB)

(xa) (y b )  (z c) r

r I

AB r 2 (r IA IB)



Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0:

+ Tâm I(a;b;c)

+ Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên có bán kính: r d I P , ( ) Aa 2Bb Cc2 2D

(xa) (y b )  (z c) r

I

P) rd(I,(P)

r

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D:

+ Gọi ptmc (S): x2y2z22ax2by2cz d 0 (đk:a2b2c2 d 0)

+ Do (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D nên: (Thay lần lượt tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ 4 pt, giải hệ tìm a,b,c,d)

+ Vậy ptmc (S): x2 y2z22ax2by2cz d 0

III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Phương trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng

quát của mp(P) ta cần tìm 2 yếu tố:

+ Điểm thuộc mp(P) là: M0(x0;y0;z0)

+ VTPT của mp(P) là: n( ; ; )A B C ,  n0

(VTPT là vectơ vuông góc với mp(P))

 Ptmp (P) có dạng: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0

P)

VTPT n  (A; B; C)

0 0 0 0

M x ; y ; z

2 Chú ý

* Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có

3 Các trường hợp đặc biệt:

 ( ) / / Ox( ) : By Cz  D 0D 0 ( ) Ox

Trang 4

Trang 4

véctơ pháp tuyến là n( ; ; )A B C

* Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt các

trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0),

B(0;b;0), C(0;0;c) thì:

(P): x y z 1 ( , ,a b c 0)

 ( ) / / Oy( ) : Ax Cz  D 0D 0 ( ) Oy

 ( ) / / Oz( ) : AxBy D 0D 0 ( ) Oz

(Oxy) :z0; (Oxz) :y0; (Oyz) :x0

1/ Bài toán 1: (P) có điểm thuộc và có 1 VTPT

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một

điểm thuộc (P) và một VTPT vuông góc với (P)

+ VTPT của mp(P) là: n( ; ; )A B C ,  n0

 Ptmp (P) là: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0

P)

VTPT n  (A; B; C)

0 0 0 0

M x ; y ; z

* Một số cách xác định VTPT thường gặp:

1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = 0

+ VTPT của (Q) là: n(Q) (A; B;C)

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n(P)n(Q) (A; B;C) P)

Q)

  P   Q

n n

2/ (P)d:



  



  



x x a t

y y a t

z z a t

)

+ VTCP của d là: ad (a ;a ;a )1 2 3

+ Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n(P) ad (a ;a ;a )1 2 3

P)

d n P  ad

3/ (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB

+ Gọi I là trung điểm của AB ; ; ( )

A B A B A B

+ Do (P)AB nên (P) có VTPT: n AB x Bx y A; B y z A; B z A P)

  P

n  AB

A

B I

4/ (P)AB thì (P) có VTPT: n AB x Bx y A; By z A; B z A

P)

  P

n  AB A

B

2/ Bài toán 2: (P) có điểm thuộc và có 2 VTCP

điểm thuộc (P) và 2 VTCP u, v của (P) (VTCP là vectơ nằm trong

(P) hay song song với (P))

+ VTPT của mp(P) là: nu v, ( ; ; )A B C

 Ptmp (P) là: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0

P)

VTPT n  u, v

0

M

u v

* Một số cách xác định VTCP của mp(P):

Trang 5

Trang 5

1/ (P) // d hay (P) chứa d thì VTCP ad của d là 1 VTCP của (P)

d

a P)d

d

a

d

2/ (P) // AB hay (P) chứa AB thì AB là 1 VTCP của (P)

AB P) A B

3/ (P)(Q) thì VTPT n  Q của Q là 1 VTCP của (P)

  Q

n P)

Q)

4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:



  



  



x x a t

y y a t

z z a t

)

thì (P) chứa luôn điểm M thuộc d

Lấy M x ; y ; z 0 0 0 d M x ; y ; z 0 0 0(P)

P)

d M

3/ Bài toán 3: (P) có 1 VTPT (hoặc 2 VTCP) nhưng chưa có điểm thuộc

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định 1 VTPT hay 2 VTCP của (P)

+ VTPT của mp(P) là: n( ; ; )A B C

 Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó D là ẩn chưa biết, đặt đk cho D nếu cần)

+ Sử dụng dữ kiện còn lại để tìm D, các dữ kiện thường gặp là:

+

+ mp(P) tiếp xúc mặt cầu d(I, (P)) R D (I và R là tâm và bán kính của mặt cầu (S))

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số: Muốn viết phương trình

tham số của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:

+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0)

+ VTCP của d là: a(a ; a ; a )1 2 3 ,  a0

(VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 Ptts của d:

x x a t

y y a t

z z a t





  



2 Phương trình chính tắc: Muốn viết phương

trình chính tắc của đt d ta cần tìm 2 yếu tố:

+ Điểm thuộc d là: M0(x0;y0;z0) + VTCP của d là: a(a ; a ; a )1 2 3 , a a a1; 2; 3 0

0 M

VTCP a

a d

3 Chú ý:

 VTCP của trục Ox là : i(1;0;0)

 VTCP của trục Oy là : j(0;1;0)

 VTCP của trục Oz là : k(0;0;1)

4 Cách tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Trang 6

Trang 6

Cho d:

x x a t

y y a t

z z a t



  



  



và (P): AxByCz D 0

+ Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của hệ:

0



  



  





x x a t

y y a t

z z a t

+ Thay ptts của d vào pt (P) ta có:

A(xo + a1t) + B(yo + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0 (1)

+ Giải pt(1) tìm t

+ Thay t vừa tìm được vào ptts của d tìm x,y,z

+ Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)

* Chú ý: Nếu d: 0 0 0

và (P): AxByCz D 0 + Tọa độ giao điểm I của d và (P) là nghiệm của

hệ

0







+ Chuyển hệ trên về hệ 3 pt 3 ẩn tìm x,z,y + Giao điểm của d và (P) là : I(x;y;z)

1/ Bài toán 1: d có điểm và có VTCP

* Phương pháp chung: Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tọa độ một điểm thuộc d và một VTCP nằm

trên d hay song song với d

+ VTCP của d là: a(a ; a ; a )1 2 3 ,  a0 (VTCP là vectơ nằm trên d hay song song với d)

 Ptts của d:

x x a t

y y a t

z z a t





  



* Một số cách xác định VTCP thường gặp:

1/ d(P): Ax + By + Cz + D = 0

+ VTPT của (P) là: n(P)(A; B;C)

d ad  n P

2/ d //:



  



  



x x a t

y y a t

z z a t

(hay : 0 0 0

)

+ VTCP của  là: a (a ;a ;a )1 2 3

+ Do d // nên d có VTCP là: ad a(a ;a ;a )1 2 3 d

 ad  a

3/ d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP: a d ABx Bx y A; By z A; Bz A

d

2/ Bài toán 2: d có điểm và có 2 VTPT

điểm thuộc d và 2 VTPT u, v của d (VTPT là vectơ vuông góc với d)

+ VTCP của d là: a d u v, ( ;a a a 1 2; 3)

0

M

VTCP a  u, v

v d

u

Trang 7

Trang 7

 Ptts của d:

x x a t

y y a t

z z a t





  



* Một số cách xác định VTPT của đt d:

1/ d  thì VTCP a của  là 1 VTPT của d

d

 a

2/ d // (P) hay d nằm trong (P) thì VTPT n  P của (P) là 1 VTPT của d

  P n

d

3/ dAB thì AB là 1 VTPT của d

d

B AB A

3/ Bài toán 3: d có điểm thuộc, chưa có 1 VTCP hoặc d có 1 VTCP, chưa có điểm thuộc (bài toán này thường cho đt d “cắt” đường thẳng  cho trước)

1/ PP chung: Giả sử d đi qua A và cắt

:





  



x x a t

y y a t

z z a t

tại M

+ Gọi M d   M x 0a t y1; 0a t z2; 0a t3 

+ Tính AMA; B; C (ẩn là t)

+ Dựa vào dữ kiện còn lại để tìm ẩn t, các dữ kiện hay gặp là:

+AM  a ( ;a a a 1 2; 3) n a  P  0 A.a1B.a2C.a3 0

+ AM cùng phương với 1 2 3

b (b ; b ; b )

+ Khi có t ta tìm tọa độ điểm M

+ Viết phương trình đường thẳng d cần tìm đi qua A và M

*Lưu ý: Nếu đt d cắt 2 đt  1, 2 cho trước thì ta gọi hai điểm

M  d , N  d theo 2 ẩn t 1 , t 2 Sử dụng dữ kiện đề bài tìm t 1 , t 2

A



2/ Chú ý:

+ M d OxM(x ; 0; 0)0 Ox ; M d OyM(0; y ; 0)0 Oy; M d OzM(0; 0; z )0 Oz + AMA; B; C cùng phương với i (1;0;0) B 0





3/ Đt d là đường vuông góc chung của 2 đt d 1 và d 2

0 1

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

 



  



  



1 3

'

x x b t

d y y b t

z z b t

 



  



  



+ VTCP của đt d1 là : a d1 ( ;a a a1 2; 3)

+ VTCP của đt d1 là :

2 ( ;1 2; 3)

d

a  b b b

+ Gọi A, B là chân đường vuông góc chung của d1, d2

+ Ta có: A d1 A x( 0a t y1; 0a t z2 ; 0a t3 )

Bd2 B x( 1b t y1 '; 1b t z2 '; 1b t3 ')

+ AB là đường vuông góc chung

1

d

B

AB A

2

d

2

d

a

1

d

a

Trang 8

Trang 8

 Giải hệ tìm t, t’

+ Suy ra tọa độ A, B

+ Viết ptđt d đi qua 2 điểm A, B

V TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN

1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc đt

:



  



  



x x a t

d y y a t

z z a t

(Cần đưa ptđt d về ptts)

+ Gọi M x 0a t y1; 0a t z2 ; 0a t3 d

+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm ẩn t M( ; ; )

* Các dữ kiện hay gặp:

1/ AB (x B x A)2(y B y A)2(z Bz A)2

2/



d M



0

, ( , )

a

4/ ABC vuông tại A ABACAB AC 0

5/ ABC cân tại A ABAC

6/ ABC đều AB BC







2

ABC

S  AB AC

8/ A, B, C thẳng hàng

 AB( ;a a a1 2; 3), AC( ; ; )b b b 1 2 3

cùng phương 1 2 3

a

9/ a( ;a a a vuông góc 1 2; 3) b( ; ; )b b b 1 2 3

a b  0 a b1 1a b2 2a b3 3 0

10/ a cùng phương với b 1 2 3

a

2/ Chú ý: + M(x ; 0; 0)0 Ox M(0; y ; 0)0 Oy M(0; 0; z )0 Oz

+ Nếu đề bài yêu cầu tìm 2 điểm M1, N2 thì ta gọi tọa độ điểm M, N lần lượt theo 2 ẩn t 1 , t 2 Sử dụng dữ kiện đề bài tìm t 1 , t 2

VI TÌM ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG

1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc mp(P): Ax + By + Cz + D = 0

+ Gọi M a b c ; ; ( )P A a B b C c   D 0 (ta được một phương trình chứa ẩn a,b,c)

+ Dựa vào dữ kiện đề bài để tìm thêm 2 phương trình chứa ẩn a,b,c

+ Giải hệ phương trình tìm a,b,c M( ; ; )

2/ Chú ý: M(Oxy)M(a; b; 0) ; M(Oyz)M(0; b; c) ; M(Oxz)M(a; 0; c)

VII HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC - ĐỐI XỨNG – KHOẢNG CÁCH

1/ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC Dạng 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mp (P):

+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):

 A(x0;y0;z0)  d

 VTCP: an P (Do d  (P))

 ptts của d:

x x a t

y y a t

z z a t



  



  



+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d ( )P

+ Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H

P)

d

H A

Trang 9

Trang 9

Dạng 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đt d:

+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:

 M0(x0;y0;z0)  (P)

 VTPT:na d (Do (P)  d)

 ptmp (P):A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d ( )P

P)

d

H A

Dạng 3: Tìm hình chiếu vuông góc d’ của đt d trên mp (P): (d cắt (P))

+ Gọi A d ( )P ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A

+ Lấy điểm Md, viết ptđt  qua M và  (P)

+ GọiB  ( )P ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B

d

B A



d ' M

2/ ĐỐI XỨNG Dạng 1: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua mp (P):

+ Lập ptđt d qua A và vuông góc với (P):

 A(x0;y0;z0)  d

 VTCP: an P (Do d  (P))

 ptts của d:

x x a t

y y a t

z z a t



  



  



+ Gọi H là hình chiếu của A lên (P), ta có: H  d ( )P

+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

 H là trung điểm của AA’  A' 2 x H x A; 2y H y A; 2z H z A

P)

d A

A ' H

Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ của điểm A qua đt d:

+ Lập ptmp (P) qua A và vuông góc với d:

 M0(x0;y0;z0)  (P)

 VTPT:na d (Do (P)  d)

 ptmp (P):A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

+ Gọi H là hình chiếu của A lên d, ta có: H  d ( )P

+ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

 H là trung điểm của AA’  A' 2 x H x A; 2y H y A; 2z H z A

P)

d

H

A A '

Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua

điểm A

+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên (P’) // (P)

(P) có pt dạng: Ax+By+Cz+D’= 0 (D’D)

+ Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên: d(A,(P’)) = d(A,(P))  D’

A

P ')

3/ KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng:

Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt

3 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Trang 10

Trang 10

phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0:

( o, ( )) Ax o By o Cz o D

d M

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng:

Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d đi qua M1

và có VTCP a ):

0 0

, ( , )

a M M

d M d

a



,

d d d

a a



4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

 1, 2  , 2

d d d d M d (lấy Md1)

5 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

( 1), ( 2)  , ( 2)

d   d M  (lấy M(1))

6 Khoảng cách giữa đt và mp song song:

 , ( )  , ( )

d d  d M  (lấy Md)

VIII VỊ TRÍ GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU

1/ Bài toán 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu

+ Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r

+ Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến

(C) (có tâm H và bán kính r’) d(I, (P))r

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P)

+ IH = d(I,(P))

+ Tam giác IAH vuông tại H

r ' r IH  r  d(I, (P))

I

P)

r H r’

A

2/ Bài toán 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

+ Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H d(I, (P))r

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P)

+ r = IH = d(I,(P))

I

P)

rIHd(I,(P)

r H

IX VỊ TRÍ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU

1/ Bài toán 1: Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A và B

d

a , IM

a

+ H là hình chiếu vuông góc của I lên đt d

+ H là trung điểm của AB

2

+ Tam giác IAB cân tại I, tam giác IAH vuông tại H

I

*Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S):

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,17 MB