SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM một số vấn đề về GIẢNG dạy đồ THỊ hàm số y = AX + b ( a 0, b r )

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = AX + B ( A 0, B R )

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GI A CẨM

VẤN ĐỀ VỀ GIẢNG DẠY ĐỒ THỊ HÀM

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN THỊ HÙNG

CHƯC VỤ : GIÁO VIÊN

TỔ CHUYÊN MÔN: TOÁN LÝ NĂM HỌC 2011 - 2012

MỤC LỤC

MỤC LỤC

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3

A Cơ sở lý luận của vấn đề 3

B Thực trạng của vấn đề 4

C Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 6

D Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………14

PHẦN III: KẾT LUẬN 15

D MỘT SỐ KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 11

TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ

Chúng ta đã biết quá trình dạy hoc là quá trình thống nhất bao gồm : Quá trình dạy và quá trình học , là hệ thống tác động lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh

Hoạt động dạy của giáo không có nghĩa là truyền thụ tri thức , những sản phẩm có sẵn mà còn là người tổ chức , điều khiển , đánh giá hoạt động của học sinh một cách hợp lý trên cơ sở phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo và năng lực tự học của học sinh Nhằm hình thành cho học sinh thái độ , năng lực, phương pháp học tập để học sinh tự khám phá những tri thức mới

Cũng như các môn học khác, môn toán là một môn khoa học cơ bản trong nhà trường Đặc trưng của toán học là trìu tượng cao độ, có tính lô gích choặt chẽ Toán học trong chương trình cải cách giáo dục đã đưa ra một lượng kiến thức tương đối hoàn chỉnh , có hệ thống , có chọn lọc, kiến thức đưa ra có đủ cả chiều rộng lẫn chiều sâu, giúp cho học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ

Trong hoạt động nhận thức của học sinh thì giải toán luôn là một hoạt động hấp dẫn , bổ ích Giải toán giúp cho học sinh có thêm kiến thức , củng cố vững chắc các liến thức đã học, phát triển từng bước năng lực tư duy toán học , hình thàng kỹ năng toán học vào việc học các môn học khác Khâu dẫn dắt học sinh giải toán thông qua con đường kiểm tra lý thuyết, giải các bài tập đơn giản

là rất quan trọng Giáo viên cần tổ chức việc dạy,việc học của học sinh sao cho học sinh luôn đứng trước những vấn đề cần phải giải quyết, luôn phải tìm tòi sáng tạo những con đường để giải quyết những vấn đề đó , có như vậy mới phát

huy được tính tích cực chủ động , sáng tạo của học sinh Không làm cho học sinh chán nản , mệt mỏi khi giải bài tập

Qua nhiều năm giải toán , tiếp xúc với nhiều học sinh ở lớp 9 các em đều cho rằng phần hàm số và đồ thị là khó Chính vì vậy , tôi đã chọn phần đồ thị hàm số y= ax + b ( a0 , xR ) để nghiên cứu hy vọng giúp các em cảm thấy phần này không khó và rất hay.Khi học phần này học sinh không chỉ biết vẽ đồ thị mà biết ứng dụng đồ thị vào giải toán

Để cho giờ học sinh động , hấp dẫn , đạt hiệu quả cao thì giáo viên phải đưa ra các bài toán phù hợp với đối tượng học sinh và trọng tâm của bài dạy Trong sáng kiến này tôi đã lựa chọn và tổng hợp một số bài toán mà theo tôi giúp cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản vững vàng và nâng cao nhận thức cho học sinh Đối với học sinh phần đồ thị hàm số là khó hình dung nếu không nắm vững kiến thức này ở các lớp dưới , không thể giải các bài toán có liên quan đến đường thẳng y= ax + b ( a0 , xR ) vì từ phương trình đường thẳng y= ax + b có thể viết dưới dạng a’x + b’y = c’ là dạng của phương trình bậc nhất hai ẩn và cũng là một trong hai phương trình của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Qua các bài toán ta thấy đồ thị hàm số còn có ứng dụng trong việc giải

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Vì lý do đó tôi đã tập chung thời gian học hỏi kinh nghiệm, nghiên cứu tài liệu đẻ tìm ra phương pháp giảng dạy phần này sao cho đạt hiệu quả cao nhất Về kinh nghiệm cìn nhiều hạn chế, do đó sáng kiến kinh nghiệm không tánh khỏi thiếu sót , rất mong được sự giúp đỡ của đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện hơn

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

A CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ.

Tôi được biết trước đây đã có nhiều giáo viên nghiên cứu và thực hiện SKKN về phần hàm số và đồ thị y= ax ( a0 , xQ ) vì các điểm hữu tỉ chưa lấp đầy trục số , Do đó đồ thị hàm số y= ax ( a0 , xQ ) chưa phải là toàn bộ đường thẳng đi qua gốc tọa độ, mà chỉ là các điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) Khi vẽ đồ thị của hàm số này học sinh thường nhận xét đồ thi của nó là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và một điểm E(1;a) là sai chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu đồ thị hàm số y= ax ( a0 , xR ) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) qua đó học sinh thấy được các điểm số thực đã lấp đầy trục số cũng từ đồ thị hàm số y= ax ( a0 , xR ) có thể vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng y = ax cắt trục tung tai điểm có tung độ bằng b ( b 0) đó chính là đồ thị hàm số bậc nhất y= ax + b ( a0 , xR ) Tôi chọn SKKN phần hàm số đồ thị y= ax + b ( a0 , xR ) để nghiên cứu vì phần này có liên quan rất nhiều đến tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số

và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Để học sinh học tốt phần này giáo viên cần nghiên cứu kỹ các nội dung :

- Khái niệm hàm số

- Đồ thị hàm số y = ax + b ( a0 , xR )

- Trọng tâm nhận dạng đồ thị hàm số và một số dạng toán có liên quan tới đồ thị hàm số

Giáo viên cần có các biện pháp giảng dạy phù hợp ,giúp học sinh thấy được sự khác nhau giữa hàm số và đồ thị hàm số y= ax ( a0 ) đã học ở lớp 7,

từ đó kính thích đức tính tìm tòi khám phá cái mới ở học sinh Tránh sự nhàm trán , lặp lại trong giờ học

B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Việc sử dụng phương pháp dạy học mới đã dược mỗi giáo viên hay mỗi trường vận dụng ở mức độ khác nhau và đạt đươc kết quả tốt.Tuy nhiên còn một số hạn chế về cơ sở vật chất, đồ dùng dạy học, thói quen dạy học và ý thức học chưa tốt của một số học sinh.Các em còn tiếp thu kiến thức một các thụ động , áp đạt, vì vậy không có hứng thú trong học tập Nhận thức được vai trò

và trách nhiêm của người thầy : Vừa là người tổ chức điều khiển , đánh giá hoạt động của học sinh, vừa giúp học sinh ý thức về nhiệm vụ học tập của mình Tôi

cố gắng dẫn dắt học sinh nắm bắt kiến thức một cách hệ thống , có chọn lọc để học sinh có khả năng về niềm tin toán học của mình Từ đó mới phát huy tính tích cực chủ động , sáng tạo của học sinh trong học tập

Đối với học sinh lớp 9, đa số các em đã xác định được mục đích học tập của mình, có hệ thống kiến thức tương đối chắc từ lớp dưới song các em vẫn còn chưa có tính kiên trì ngại làm các bài tập khó Đối với các bài tập về hàm số các

em luôn cho rằng đây là các bài tập khó đòi hỏi, sự cẩn thận và tư duy trìu tượng cao nên các em rất ngại học Qua kiểm tra chất lượng học tập của các em trong năm học 2010- 2011 đối với một số em học sinh lớp 9 trường THCS Gia Cẩm tôi thấy kết quả học tập của các em ở phần này là chưa cao Cụ thể:

Lớp Số HSKS Giỏi Khá TB Yếu Kém

Qua kiểm tra tôi thấy: phần lớn các em chưa hiểu rõ khái niệm về hàm số ,

sự nhận biết hàm số còn chưa rõ ràng , nhầm lẫn giữa tập xác định và tập giá trị

Việc vẽ đồ thị hàm số còn chưa chính xác , các em rất cẩu thả trong việc vẽ đồ thị , việc xác định các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước còn lúng túng và đặc biệt là giải các bài toán trọng điểm của đồ thị hàm số

Vì vậy cần phải giúp các em nâng kiến thức lên, làm sao sau khi học phần này các em có thể giải được các bài toán liên quan Ngoài ra còn có cơ sở để học tốt các môn khác Từ thực trạng đó tôi thấy để học sinh học tốt phần này thì giáo viên khi giảng dạy cần có kiến thức vững chắc và phương pháp phù hợp để giúp các vượt qua được các vướng mắc thường gặp

C.CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I.Khái niệm hàm số:

- Cho hai tập hợp số X và Y Một hàm số f từ X đến Y là quy tắc cho tương ứng với mỗi giá tri x X với một và chỉ một giá trị của y Y

Ta viết f : X -> Y

X - > y = f(x)

Trong đó X là tập xác định của hàm số

Y là tập giá trị của hàm số

Y =f(x) là giá trị của hàm số f tại x

II Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp số ( x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Đối với học sinh lớp 9, khi học về phần hàm số phải nắm chắc các kiến thức sau:

1) Với x X đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là đường thẳng đi qua gốc tọa

độ O(0;0) và E(1;a)

2) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a0 , xR ) là một đường thẳng song song với đường thẳng y = ax cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b nếu b 0

và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

Đường thẳng y = ax + b ( a0 , xR ) a gọi là hệ số góc của đường thẳng

3) Cho hai hàm số y = ax + b (d) và y = a’x + b’ ( d’) ( Với a 0 ,a’ 0)

Có đồ thị là hai đường thẳng (d) và (d’) thì :

- d // d’<=> a = a’

- d d’ <=> a = a’ và b = b’

- d cắt d’  a  a’

- d d’  a.a’ = -1

4) Hàm số y = ax + b ( a0 ) Có thể viết dưới dạng khác là a’x + b’y= c’

gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn số Biểu diễn tập nghiệm của phương trình

a’x + b’y= c’ trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số bậc nhất

a c

y x

b b

a’x + b’y= c’ là một phương trình của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số Khi vẽ đồ thị của hai hàm số trên ta xác định nghiệm của hệ phương trình Cụ thể:

- Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng cắt nhau

 ' '

a b

a b

a b 

- Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng trùng nhau

 ' ' '

' ' ' ( ; ; 0)

a b c

a b c

a b c 

- Hệ có nghiệm duy nhất khi khi và chỉ khi hai đường thẳng song song

 ' ' '

' ' ' ( ; ; 0)

a b c

a b c

a b c  Trong phần đồ thị hàm số bậc nhất có rất nhiều dạng để củng cố và khắc sâu kiến thức Tôi đã chọn một ssos bài tập phù hợp với đối tượng học sinh và giúp cho học sinh nắm vững thêm kiến thức phần này

III Một số bài toán cơ bản:

1.Bài toán 1: Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của nó song song với

đường thẳng y = 3x + 1 và đi qua điểm M ( 4; -5)

Giải :

Đườn thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 nên có dạng

y = 3x + b và đi qua điểm M ( 4; -5) nên ta có -5 = 3 4 + b => b = -17.

Vậy hàm số cần tìm là : y = 3x – 17

2 Bài toán 2: Chứng minh rằng khi a thay đổi ax + 5y = 2 luôn đi qua một

điểm cố định

Giải :

Đường thẳng ax + 5y = 2 có dạng 2

a

y x

Mà tất cả các đường thẳng y = ax + b luôn đi qua điểm (0;b) => các đường

thẳng 2

a

y x đi qua điểm ( 0 ; 2/5) Vậy khi a thay đổi ax + 5y = 2 luôn đi qua một điểm cố định ( 0 ; 2/5)

3 Bài toán 3: Cho đường thẳng d có phương trình 3 3

4

y x (d)

a) Vẽ đường thẳng (d)

b)Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng (d) và hai trục tọa độ c) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng ( d)

Giải :

a) Vẽ đường thẳng (d)

b) SABC = OA.OB:2 = 6 (đv)

A O

x y

c) Kẻ OH vuông góc với OB -> Oh là khoảng cách từ O đến đường thẳng ( d)

SABC = OH.AB/2 => OH = 2SABC /AB mà = 5 (đv) = Oh = 2,5 ( đv)

4 Bài toán 4: Cho đường thẳng (d) có phương trình y = -2x + 5

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm O(0;0) và song song với đường thẳng (d)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và song song với đường thẳng (d)

c)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1;10) và vuông góc với đường thẳng (d)

Giải :

Các đường thẳng cần tìm đều có dạng y = ax + b( a 0)

a) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên b = 0 ; và a= -2 Đường thẳng cần tìm là

y = -2x

b) Đường thẳng y = -2x + b đi qua M( 1;1) nên x = 1 ; y = 1 = > b = 3

Đường thẳng cần tìm là y = -2x + 3

c) Đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = -2x + b nên

a.(-2)= -1 => a = ½ đi qua điểm M ( -1 ; 10 ) nê x = -1 ; y = 10 tìm được

b = 10,5 Đường thẳng cần tìm là y = 0,5x + 10,5

Sau khi làm tất cả các bài tập trên tôi thấy về đồ thị và hàm số của học sinh tương đối vững các bài toán đã khắc sâu cho học sinh:

- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ là đồ thị hàm số y = ax ( a 0)

- Đường thẳng y = ax+ b ( a 0) song song với đường thẳng y = ax ( a 

0) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Đường thẳng y = ax+ b ( a 0) và y = ax’ + b’ ( a’ 0)

+ cắt nhau khi a a’

+ Song song khi a = a’ b b’.

+ Trùng nhau khi a = a’ b = b’

+ Vuông góc với nhau khi a.a’ = -1

5 Bài toán 5: Tìm a để các đường thẳng sau đồng quy: y = ax (1)

2x – 3y = 8 (2) 7x – 5y = -5 (3)

Giải :

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng (2) và (3) thì tọa độ M là nghiệm của

phương trình 72x x 35y y85x y56

  =>M ( -5 ; -6 )

Vì 3 đường thẳng đồng quy nên M phải thuộc đường thẳng(1) => a = 1,2

Bài toán 6: Cho hàm số y = ( 2m – 3 )x -1

a) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -5x + 3 b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng ; y = 1 , y = 2x – 5 đồng quy

c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua A ( -1 ;0)

Giải :

a) Đường thẳng y = ( 2m – 3 )x -1 song song với đường thẳng y = -5x + 3

=> 2m – 3 = -5 => m = -1

b) Đường thẳng ; y = 1 , y = 2x – 5 cắt nhau tại điểm B ( 3;1) , đường thẳng y = ( 2m – 3 )x -1 đi qua B nên tìm được m = 11/6

c) Đường thẳng y = ( 2m – 3 )x -1 đi qua A ( -1 ;0 ) nên tìm được m= 1

7 Bài toán 7: Xác định đồ thị hàm số y = ax + b để đồ thị của nó cắt trục tung

tại điểm A có tung độ bằng -2 và cắt trục tại điểm B có hoành độ bằng 3.Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được

Giải :

Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng -2 nên b = -2

Đồ thị của nó cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ bằng 3 nên B ( 3 ; 0 ) tìm được a = 2/3 Vậy hàm số cần tìm là y = 2/3x -2

Vẽ đồ thị hàm số 2 2

3

y x

8 Bài toán 8: Giải bằng đồ thị hệ phương trình: y x y x 1 01 0

  



Giải:

Nếu y 0 ta có hệ phương trình y x y x 1 01 0 y y x x1(2)1(1)

Đường thẳng (1) và đường thẳng (2) có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại A(0;1) => nghiệm của hệ ( x;y) = (0;1)

Nếu y < 0 ta có hệ phương trình y x y x 1 01 0

   

 => y yx x1(4)1(3)

 

 Đường thẳng (3) và (4) song song nên hệ vô nghiệm

9 Bài toán 9: Cho 3 điểm A( 2;1) , B(-1;-2) , C(0;-1)

a) Xác định đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B

b) Chứng minh rằng A; B ; C thẳng hàng

Giải :

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A và B nên ta có hệ phương trình

2

a b

a b

 





  

1

a b









 Vậy đường thẳng AB là : y = x – 1

b) C(0;-1) vì x = 0 ; y= 1 thỏa mãn y = x-1 nên c thuộc đường thẳng y = x – 1

=> ba ddiemr A, B , C thẳng hàng

10 Bài toán 10: Cho hàm số y = x   1 x

a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức x   1 x

c) Dùng đồ thị cho biết phương trình x   1 x = m có bao nhiêu nghiệm nếu : m

= 1; m 1; m< 1

Giải :

a) Với x < 0 thì y = -x +1 –x = -2x +1

Với 0  x 1 thì y x + 1- x = 1

Với x > 1 thì y = x+ x- 1= 2x -1

Vẽ đồ thị tương ứng với 3 trường hợp

b) Căn cứ vào đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất y =1 với 0  x 1

c) Căn cứ vào đồ thị ta thấy : m = 1phương trình vô nghệm

m > 1 phương trình có hai nghiệm

m < 1 phương trình vô nghiệm

IV Các bài toán tương tự :

1) Xác định đồ thị hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó song song với đường thẳng y = 2x và đi qua điểm a ( 1 ; -4 )

2) Xác định đồ thị hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A ( 0 ; -6) và B( -2 ; 0)

3) Xác định hệ số a đường thẳng y = ax + 6 biết cắt trục hoàng taijddieemr có hoành độ bằng 2

4) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng 2x + ( m – 1) y =1 luôn đi qua một điểm cố định

5) Cho hai đường thẳng 2x – y = -6 và x+ y = 3

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng