Tuyển chọn bài giảng luyện môn toán lớp 11 (khoảng 450 trang)

Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa hai đồ thị một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng… Câu 2 3 điểm:  Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit..

Trang 1

lê hồng đức  v-ơng ngọc

lê viết hoà  lê hữu trí  lê bích ngọc

các bài giảng trọng tâm theo

ch-ơng trình chuẩn

toán 11

Trang 2

Trang 2 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham

Trang 3

lời nói đầu

Bộ giáo dục và Đào tạo đã công bố “ H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT ” và

“ Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học và cao đẳng môn Toán ”,

cụ thể:

cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT

I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu 1 (3 điểm):

 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)…

Câu 2 (3 điểm):

 Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit

 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân

 Bài toán tổng hợp

Câu 3 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón

tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

II Phần riêng (3 điểm)

Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong không gian

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ  Mặt cầu

 Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số yếu tố liên quan

 Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong

Trang 4

Trang 4 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giỏo ỏn, đề thi, sỏch tham

 Hệ ph-ơng trình mũ và logarit

 ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Cấu trúc của một đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu 1 (2 điểm):

 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)…

 ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Câu 4 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của

đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Câu 5 (1 điểm): Toán tổng hợp

II Phần riêng (3 điểm)

1 Theo ch-ơng trình chuẩn:

Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu

Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

 Xác định toạ độ của điểm, vectơ

 Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu

Trang 5

 Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong

 Hệ ph-ơng trình mũ và logarit

 Tổ hợp, xác suất, thồng kê

 Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số

Dựa vào đó Nhóm Cự Môn chúng tôi xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc bộ sách:

Các bài giảng trọng tâm  Môn Toán (gồm 3 tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho các dạng toán th-ờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đại học và cao đẳng môn Toán

Với môn Toán 11 phần kiến thức trọng tâm:

 Đại số và Giải tích có một phần kiến thức của ch-ơng I (ph-ơng trình l-ợng giác), ch-ơng II, một phần kiến thức của ch-ơng III (giới hạn của hàm số), ch-ơng IV

 Hình học gồm kiến thức của ch-ơng II, ch-ơng III

Từ đó, cuốn Các bài giảng trọng tâm  Toán 11 đ-ợc chia thành 2 phần:

Phần I: Đại số và Giải tích, bao gồm các chủ đề:

Chủ đề 2 - Hai đ-ờng thẳng song song

Chủ đề 3 - Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng

Chủ đề 4 - Hai mặt phẳng song song

Chủ đề 5 - Vectơ trong không gian

Chủ đề 6 - Hai đ-ờng thẳng vuông góc

Chủ đề 7 - Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trang 6

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan : Chia theo các chủ đề và ở đó mỗi dạng toán đều đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng các b-ớc thực hiện cùng thí dụ minh hoạ ngay sau đó Cuối mỗi thí dụ th-ờng

có nhận xét để giúp các em học sinh củng cố kiến thức

C Các bài toán chọn lọc : Bao gồm các ví dụ có tính tổng hợp cao và đ-ợc trích ra từ các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

Với phong cách trình bày nh- vậy, cuốn tài liệu sẽ giúp tăng chất l-ợng bài giảng cho các thầy, cô giáo và với các em học sinh nó sẽ cung cấp một bộ giáo trình hoàn chỉnh về mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu

Để cuốn tài liệu ngày càng hoàn hảo hơn Nhóm Cự Môn chúng tôi rất mong nhận

đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.

Chủ biên Lê Hồng Đức

Trang 7

Mục lục

lời nói đầu

phần I: Đại số và giải tích

Ch-ơng I: hàm số l-ợng giác và ph-ơng trình l-ợng giác

A Kiến thức cần nhớ .7

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan … 14

Đ 1: Các hàm số l-ợng giác 14

Đ 2: Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản 24

Đ 3: Một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản ……… … 34

Đ 4: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác … … 45

C Các bài toán chọn lọc 64

Ch-ơng II: tổ hợp và xác suất A Kiến thức cần nhớ 83

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan 90

Đ 1: Hai quy tắc đến cơ bản 90

Đ 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 95

Đ 3: Công thức nhị thức Niutơn 114

Đ 4: Biến cố và xác suất của biến cố 121

Đ 5: Các quy tắc tính xác suất 123

Đ 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc 126

Ch-ơng III: dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân A Kiến thức cần nhớ 147

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan .149

Đ 1: Ph-ơng pháp quy nạp toán học 149

Đ 2: Dãy số 153

Đ 3: Cấp số cộng 162

Đ 4: Cấp số nhân … 168

Trang 8

Ch-ơng IV: giới hạn

A Kiến thức cần nhớ 183

Đ 1: Giới hạn dãy số 190

Đ 2: Giới hạn hàm số 200

Đ 3: Hàm số liên tục … 230

Ch-ơng V: đạo hàm A Kiến thức cần nhớ 251

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan 256

Đ 1: Đạo hàm 256

Đ 2: Vi phân 287

Đ 3: Đạo hàm cấp cao 289

phần II: hình học Ch-ơng I: đ-ờng thẳng và mặt phẳng trong không gian Quạn hệ sonh song A Kiến thức cần nhớ 313

Đ 1: Đại c-ơng về đ-ờng thẳng và mặt phẳng 321

Đ 2: Hai đ-ờng thẳng song song 333

Đ 3: Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng 338

Đ 4: Hai mặt phẳng song song 341

Ch-ơng II: vectơ trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian A Kiến thức cần nhớ 359

Đ 1: Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ 364

Đ 2: Hai đ-ờng thẳng vuông góc với nhau 395

Đ 3: Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 401

Đ 4: Hai mặt phẳng vuông góc 407

Đ 5: Khoảng cách .411

mục lục 447

Trang 9

XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN NỘI DUNG TÀI LIỆU NÀY

 Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn): Hàm

số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau

bị vi phạm:

a Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

b Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a

c Ph-ơng trình f(x) = k có nghiệm nh-ng số nghiệm hữu hạn

d Ph-ơng trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự:

< xn < xn + 1 <

mà |xn xn + 1|  0 hay 

Trang 10

khảo, file word

Trang 11

Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:

 đ-ợc gọi là các đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx

Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:

 Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x = k  , k

 đ-ợc gọi là các đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx

Trang 12

Khả năng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử , khi đó ph-ơng

 Nhận xét: Nh- vậy, với mọi giá trị của tham số ph-ơng trình luôn có nghiệm

Trang 13

Khả năng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử , khi đó ph-ơng

trình có dạng : cotx = cot  x =  + k, k 

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ-ợc qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m =

cot, ta đ-ợc cotx = cot  x =  + k, k  hoặc sử dụng kí hiệu x = arccotm + k, k  Trong cả hai tr-ờng hợp ta đều kết luận ph-ơng trình có một họ nghiệm

 Nhận xét: Nh- vậy, với mọi giá trị của tham số ph-ơng trình luôn có nghiệm

1. Ph-ơng trình bậc nhất đối với một hàm số l-ợng giác

Chuyển ph-ơng trình về dạng ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

2. Ph-ơng trình bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác

Đặt hàm số l-ợng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t = cosx, điều kiện t  1), rồi giải ph-ơng trình theo ẩn phụ này

3. Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:

Trang 14

 sin(x + ) =

2 2

c

a b Đây là ph-ơng trình cơ bản của hàm số sin

1 t



 Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng:

a 2t2

1 t + b.

2 2

Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của ph-ơng trình trong (; ), ta có

thể lựa chọn ph-ơng pháp điều kiện cần và đủ

 Nhận xét quan trọng:

1 Cách 1 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải

và biện luận ph-ơng trình theo tham số

2 Cách 2 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm thuộc tập D với D 

[0; 2  ]

3 Cách 3 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham

số để ph-ơng trình k có nghiệm thuộc tập D với D  [0; 2  ]  

4 Từ cách giải 1 ta có đ-ợc kết quả sau:

 Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:

 sinx + cosx = 0  x = 

4

 + k  , k 

 sinx  cosx = 0  x =

4

 + k  , k 

Trang 15

4. Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:

Để giải ph-ơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Với cosx = 0  x =

2

 + k, k  Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng a = d

B-ớc 2: Với cosx  0  x 

2

 + k, k 

Chia hai vế của ph-ơng trình (1) cho cos2x  0, ta đ-ợc:

a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x)

1 Cách 1 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm

điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm thuộc tập D

2 Cách 2 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm

điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận ph-ơng trình theo tham số

5. Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

Để giải ph-ơng trình (1) ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t  2  sinx.cosx = t2 1

2



Trang 16

4

) = t0

2. Đây là ph-ơng trình cơ bản của hàm số sin

2 Ph-ơng trình (1') đ-ợc giải t-ơng tự nh- (1) với ẩn phụ:

t = sinx  cosx, điều kiện  t   2  sinx.cosx =

2

1 t2



B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan

 Chú ý: Với các hàm số l-ợng giác chúng ta cần biết thêm:

1 Hàm số y = sinx xác định trên và sinx  1 với mọi x

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số lẻ nên nếu có

sinx = sin  x =  + 2k hoặc x =    + 2k, k 

sinx = 0  x = k, k 

Trang 17

2 Hàm số y = cosx xác định trên và cosx  1 với mọi x

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số chẵn nên nếu có:

cosx = cos  x =  + 2k hoặc x =  + 2k, k 

xcos

1

xcos1

xsin1





Trang 18

4

)

B-íc 2: VËy hµm sè y = f(x) lµ tuÇn hoµn

2 Chøng minh r»ng T0 lµ chu k× cña hµm sè, tøc lµ chøng minh T0 lµ sè nhá nhÊt (1), (2), ta thùc hiÖn phÐp chøng minh b»ng ph¶n chøng theo c¸c b-íc:

B-íc 1: Gi¶ sö cã sè T sao cho 0 < T < T0 tho¶ m·n tÝnh chÊt (2):

xD, f(x + T) = f(x) 

 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt 0 < T < T0

B-íc 2: M©u thuÉn nµy chøng tá T0 lµ sè d-¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n (2)

B-íc 3: VËy hµm sè y = f(x) lµ tuÇn hoµn víi chu k× c¬ së T0

3 XÐt tÝnh tuÇn hoµn cña c¸c hµm sè l-îng gi¸c, chóng ta sö dông c¸c kÕt qu¶:

a Hµm sè y = sinx vµ y = cosx, tuÇn hoµn víi chu k× 2

Më réng: Hµm sè y = sin(ax + b) vµ y = cos(ax + b) víi a  0 tuÇn hoµn víi chu k×

2a



Trang 19

b Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì 

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a  0 tuần hoàn với chu kì

a



c Cùng với kết quả của định lý:

Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần l-ợt là a

và b với a

b  Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M

Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung

Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì , ta đi chứng minh:

f(x + k) = f(x) với k  , x thuộc tập xác định của hàm số

a Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos( + 2k) = cos), ta có ngay:

f(x + k) = sin2(x + k) = 1

2[1  cos(2x + 2k)] = 1

2(1  cos2x) = sin2x = f(x) với mọi x

b Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan( + k) = tan), ta có ngay:

f(x + k) = 3tan2(x + k) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x

Thí dụ 2 Cho hàm số y = f(x) = A.sin(  x +  ), (A,  và  là các hằng số; A và

 khác 0) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có:

Thí dụ 3 Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho d-ới đây là hàm tuần

hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a f(x) = tan(3x 

6

) b f(x) = 2cos2

(2x + 3

)

 Giải

Trang 20

a Hàm số tuần hoàn với chu kì T =

3



b Viết lại hàm số d-ới dạng:

f(x) = 2cos2(2x +

3

) = 1 + cos(4x + 2

3

)

Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2

4

 = 2



 Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đ-a ra kết luận

rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T =  "

Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số l-ợng giác

Thí dụ 1 Xét tính chất chẵn  lẻ của các hàm số sau:

a y = sinx  cosx b y = sinx.cos2

x + tanx

 Giải

a Hàm số xác định trên là tập đối xứng

Ta có:

f(x) = sin(x)  cos(x) = sinx  cosx  f(x)

Vậy, hàm số y = sinx  cosx không lẻ, không chẵn

Trang 21

f(x) = sin(x).cos2(x) + tan(x) = sinx.cos2x  tanx

= (sinx.cos2x + tanx) = f(x)

VËy, hµm sè y = sinx.cos2x + tanx lµ hµm sè lÎ

ThÝ dô 2 XÐt tÝnh chÊt ch½n  lÎ cña c¸c hµm sè sau:

a y = cos (x 

4

) b y = tan x c y = tanx  sin2x

f(x) = tan(x)  sin(2x) = tanx + sin2x = (tanx  sin2x) = f(x)

VËy, hµm sè y = tanx  sin2x lµ hµm sè lÎ

D¹ng to¸n 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè

Ph-¬ng ph¸p thùc hiÖn

Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè l-îng gi¸c c¬ b¶n

ThÝ dô 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mçi hµm sè sau:

a y = 2cos(x +

3

) + 3 b y =  2

xsin

Trang 22

từ đó, suy ra yMax = 5 và yMin = 1

b Ta lần l-ợt có nhận xét:

 2

xsin

1  1  1  yMin = 1

sin(x2)  1  sin(x2)  1  1  sin(x2)  2   2

xsin

1  1  2  1  yMax = 2  1

c Nhận xét rằng:

sin x  1  1  sin x  1  4  y = 4sin x  4

từ đó, suy ra yMax = 4 và yMin = 4

Dạng toán 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số l-ợng giác

2

 + 2k) với k 

 Nghịch biến trên khoảng (

2

 + 2k, 3

2

 + 2k) với k 

b Hàm số y = cosx

 Đồng biến trên khoảng ( + 2k, 2k) với k 

 Nghịch biến trên khoảng (2k,  + 2k) với k 

c Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (

d Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (k,  + k) với k 

2 Với các hàm số l-ợng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa

3 Các phép biến đổi đồ thị cơ bản đ-ợc tổng kết theo sơ đồ sau:

vectơ v (a, b)

Trang 23

a Đồ thị y = f(x) gồm:

 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị phía d-ới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành

b Đồ thị y = f(x) gồm:

 Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

c Để suy ra đồ thị y = f(x) chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai l-ợc đồ sau :

 Từ y = f(x) suy ra y = f(x)= g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(x)

= f(x)

 Từ y = f(x) suy ra y = f(x) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = h(x)

= f(x)

d Đồ thị hàm số y = u(x).v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:

 Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x)  0

 Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành

e Đ-ờng cong y = f(x) gồm:

 Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đ-ợc nửa đ-ờng cong còn lại

Thí dụ 1 Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng:

),

J3 = (314



; 334

), J4 = ( 452

Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng)

Trang 24

mà trong khoảng (2

3



; 4

) hàm số f(x) = cosx đồng biến Do đó, hàm số f(x) = cosx

mà trong khoảng (

4



; 4

) hàm số g(x) = tanx đồng biến Do đó, hàm số g(x) = tanx

)  Đ

0 = (

2

, 2

) (ứng với k = 0)

 hàm số y = sinx đồng biến trên J2

J 3 = (4

31

; 4

Trang 25

c Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (

2

 + k, 2

 + k) với k

3

, 2

)  Đ0 = (

2

, 2

) (ứng với k = 0)

 hàm số y = tanx đồng biến trên J2

J 3 = (4

31

; 4

b Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn

y = cosx

Hình b

Trang 26

 Giải

a Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin( + 2k) = sin), khi đó với m là

số chẵn (m = 2k, k  Z) ta có ngay:

f(x + m) = sin(x + 2k) = sin(x + 2k) = sinx = f(x) với mọi x

b Ta có bảng biến thiên nh- sau:

c Đồ thị của hàm số y = sinx đ-ợc minh hoạ trong hình bên

Thí dụ 4 Chứng minh rằng mọi giao điểm của đ-ờng thẳng xác định bởi ph-ơng

y0 = sinx0 và y0 =

3

x0  x0 = 3y0 = 3sinx0,

từ đó, suy ra A(3sinx0; sinx0) và do đó:

OA = (3sinx0)2 (sinx0)2 = 10sin2x0 = 10sinx0 < 10 bởi sinx0  1

Trang 27

VËy, ph-¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

ThÝ dô 2 TÝnh c¸c gãc cña  ABC, biÕt AB = 2cm, AC = 3cm vµ ®-êng AH

Trang 28

c Giải ph-ơng trình 2sinx  2cosx = 1  3 bằng cách bình ph-ơng hai vế

  cos3

.sin4



b Biến đổi ph-ơng trình về dạng:

2 2 sin(x 

4

) = 1  3  sin(x 

4

) = 3 1

2 2

 = sin(

12

)

  2cos

6

 = 1  3 , đúng

 Với k = 2l + 1 thì:

2sinx  2cosx = 2sin[

6

 + (2l + 1)]  2cos[

6

 + (2l + 1)]

Trang 29

b Víi hä nghiÖm x =

3

 + k ta cÇn xÐt hai tr-êng hîp vÒ tÝnh ch½n, lÎ cña k  B¹n

x + 18

 =  arccos2

5 + 2k   x =  arccos2

5 

18

 + 2k  , k 

Trang 30

Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Thí dụ 2 Tìm tập xác định của hàm số y = sin(x 2)

4

)] = 2

Trang 31

, k 

Vậy, ph-ơng trình có một họ nghiệm

 Chú ý: Với câu a) ta còn có thể trình bày nh- sau:

tan(x  150) = 5  x  150 = arctan5 + k1800 x = 150 + arctan5 + k1800 Vậy, ph-ơng trình có một họ nghiệm

Thí dụ 2 Tìm tập xác định của hàm số y = tan x

Trang 32

b Ta có biến đổi:

Trang 33

khảo, file word

cot3x = tan2

5

 = cot(

2

  25

) = cot10

  3x =

10

 + k

 x =

30

 + k3

, k 

Vậy, ph-ơng trình có một họ nghiệm

 + k2

}, với k 

Thí dụ 3 Giải ph-ơng trình tanx = cot2x

sin

0x

Dạng toán 5: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (  ;  ) của ph-ơng trình l-ợng

giác cơ bản

Ph-ơng pháp thực hiện

Giả sử với ph-ơng trình:

sinx = m

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các b-ớc sau:

a Biểu diễn (, ) trên đ-ờng tròn đơn vị thành cung AB

b Tịnh tiến đ-ờng thẳng m song song với trục cosin, khi đó số giao điểm của nó với cung AB bằng số nghiệm thuộc (; ) của ph-ơng trình

Trang 34

Cách 2: Thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1 Vẽ đồ thị hàm số y = sinx, lấy trên (, )

B-ớc 2 Tịnh tiến đ-ờng thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số giao

điểm của nó với phần đồ thị hàm số y = sinx bằng số nghiệm thuộc (, ) của ph-ơng trình

 Chú ý: Ph-ơng pháp trên đ-ợc mở rộng tự nhiên cho:

1 Ph-ơng trình cosx = m, với l-u ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến

đ-ờng thẳng m song song với trục sin

2 Với các ph-ơng trình tanx = m và cotx = m ta chỉ có thể sử dụng cách 2

Thí dụ 1 1 Vẽ đồ thị hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó những điểm hoành

độ thuộc khoảng (  ; 4  ) là nghiệm của mỗi ph-ơng trình sau:

1 Đồ thị hàm số y = sinx đ-ợc cho bởi hình vẽ sau:

a Nghiệm của ph-ơng trình sinx =  3

2 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sinx với đ-ờng thẳng y =  3

2 trên khoảng đó,

cụ thể là các điểm B1, B2, B3, B4, B5, B6 Từ đó, ta có nghiệm:

x1 = 23

, x2 = 3

, x3 = 43

, x4 = 53

, x5 = 103

, x6 = 113



Trang 35

b Nghiệm của ph-ơng trình sinx = 1 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sinx với đ-ờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm

A1, A2 Từ đó, ta có nghiệm:

x'1 = 2

, x'2 = 52



2 Đồ thị hàm số y = cosx đ-ợc cho bởi hình vẽ sau:

a Nghiệm của ph-ơng trình cosx = 1

2 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đ-ờng thẳng y = 1

2 trên khoảng đó, cụ thể là các điểm

B1, B2, B3, B4, B5 Từ đó, ta có nghiệm:

x1 = 3

, x2 = 3

, x3 = 53

, x4 = 73

, x5 = 113



b Nghiệm của ph-ơng trình cosx = 1 trên khoảng ( ; 4) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx với đ-ờng thẳng y = 1 trên khoảng đó, cụ thể là các

), ta có:

 /6

3/2

Trang 36

2  m < 1, ph-ơng trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc D

Thí dụ 3 Biện luận theo m số nghiệm thuộc ( 5

4

)

 tan(x +

4

) = m

Ta có kết luận:

 Với m  1 hoặc m  0, ph-ơng trình có

2 nghiệm phân biệt thuộc D

 Với 0 < m < 1, ph-ơng trình có 3

nghiệm phân biệt thuộc D

Thí dụ 4 Tìm nghiệm của các ph-ơng trình sau trong khoảng đã cho:



5  /4 O

y=tan(x+

4

)

Trang 37

Vậy, ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = 11

b Tr-ớc tiên, ta đi giải ph-ơng trình bằng phép biến đổi:



và x2 = 

9



Vậy, ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = 4

cos x 1

1cos x

2(1  sin2x) + sinx + 1 = 0  3  2sin2x + sinx = 0  2sin2x  sinx  3 = 0

Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đ-ợc:

Trang 38

c Đặt t = tanx, ta biến đổi ph-ơng trình về dạng:

3 t2  (1 + 3 )t + 1 = 0



t 1

1t

Vậy, ph-ơng trình có hai họ nghiệm

 Chú ý: Nh- trong câu b) chúng ta thấy ph-ơng trình ban đầu ch-a phải

ph-ơng trình bậc hai theo một hàm số l-ợng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi l-ợng giác dựa trên nguyên tắc:

1 Nếu ph-ơng trình chứa nhiều hàm l-ợng giác khác nhau thì biến

đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ chứa một hàm

2 Nếu ph-ơng trình chứa các hàm l-ợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ chứa các hàm l-ợng giác của một cung

Thí dụ 2 Giải ph-ơng trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy

3(1  2sin2x) + 10sinx + 1 = 0  3sin2x  5sinx  2 = 0

Đặt t = sinx điều kiện t 1, ta đ-ợc:

3t2  5t  2 = 0 

1t3

b Tr-ớc tiên, ta đi giải ph-ơng trình bằng cách biến đổi:

2(1  cos2x) + 3cosx = 2  2cos2x  3cosx = 0

 (2cosx  3)cosx = 0  cosx = 0  x = 900 + k1800, k 

Với điều kiện 00  x  3600

, ta có:

Trang 39

(m21)(1 + tan2x)2mtanxm2 + 2 = 0  (m21)tan2x2mtanx + 1 = 0

Trang 40

Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 2: Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1 t



 Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng:

a 2t2

1 t + b.

2 2

Định dạng
Số trang	88
Dung lượng	1,69 MB