100 bài tập vận dụng cao lượng giác 2018 có lời giải (thầy khánh)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng... Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng 3 ;.. Cho phương

Trang 1

Tải file word tại website http://dethithpt.com

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản……….……….………

2 Tìm nghiệm của phương trình……… .

3 Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất……… …

4 Số nghiệm của phương trình……… .

5 Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [ a b ; ] ……… …………

6 Tìm m để phương trình có nghiệm……….………

7 Tìm m để phương trình đúng có nghiệm thuộc n ( a b ; ) …….… …

8 Kỹ thuật hàm đặc trưng ……….……….… .

9 Tìm GTLN-GTNN của hàm số……… ……… ………

10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ………

Vấn đề 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số 20182 có tập xác định là

1 tan

y

x

=

B Hàm số sin có tập xác định là

3 cos

x y

x

=

C Hàm số y= cosx+1 có tập xác định là D= ¡

Trang 2

D Hàm số sin 2 có tập xác định là

2

x y

x x y

số được liệt kê ở bốn phương án A, B,

C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số

Câu 6. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó

cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một

chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công

thức h= y trong đó: 2,5sin 2 1 2 với là thời gian quay

của guồng với x ³ 0 tính bằng phút Ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên

mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất

A n =1 B n = 45 C n = 46 D n = 91

Câu 9. Cho góc a thỏa 0 và Tính

4

p a

Trang 3

-Tải file word tại website http://dethithpt.com

Câu 10. Cho góc thỏa mãn a tan 4 và Tính

A cos 2x- 2 sin 2x=2 B sin 2x- 2 cos 2x= 2

C cos 2x- 2 sin 2x= - 2 D sin 2x- 2 cos 2x= - 2

Câu 14 Cho hai phương trình cos3x - =1 0 1( ) và cos 2 1 2 ( ) Tập các nghiệm của phương

î þ cos 2x+ 3 sin 2x- 2 cosx= 0

phương trình cos 2( x- a)= cos x

p p

Câu 18 Có bao nhiêu giá trị của a thuộc [0;2p] để ba phần tử của S={sin ,sin 2 ,sin 3a a a} trùng với

ba phần tử của T={cos ,cos 2 ,cos3 a a a}

Câu 19. Phương trình 2n+1cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2x x x x n x=1 với n Î ¥* có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx =0 B sinx= sin 2 n x C sinx= sin 2n+ 1x D sinx= sin 2n+ 2x

Câu 20 Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm

Trang 4

Vấn đề 3 Nghiệm dương nhỏ nhất Nghiệm âm lớn nhất

Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+2 cos2x=1 có dạng a với là các số

là các số nguyên, và nguyên tố cùng nhau Tính

,

A S = - 3 B S = - 1 C S =1 D S = 3

Câu 28. Cho phương trình 2017( 2018 2018 ) ( ) cos 2 Nghiệm dương

Trang 5

Câu 31 Phương trình 2 cos2x+2 cos 22 x+2 cos 32 x- 3= cos 4 2 sin 2x( x+1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018)?

.18

.70

.35

p

Câu 43 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn

2sin 2 2 sin 5sin cos 2 0

Trang 6

.2

.4

p

a a

Câu 51. Cho phương trình 2 32 Có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn

mÎ -éê ùú

1;4 2

mÎ -æçç ö÷÷

÷

çè ø m Î -( 1;4 )

Câu 53. Cho phương trình cos 2x- (2m+1 cos) x m+ + =1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Câu 54. Cho phương trình cos2x+2 1( - m)cosx+2m- =1 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình có nghiệm?

Trang 7

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 4x=cos 32 x m+ sin2x có nghiệm thuộc khoảng 0;

Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3cos( 1) 1 có nghiệm?

2

m

f éë x+ + ùû=

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2 sinx+1)= f m( ) có nghiệm?

Câu 60. Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ , thỏa

+ ¥

1

20

Trang 8

Vấn đề 7 Tìm m để phương trình có đúng nghiệm n

thuộc khoảng ( a b ; )

Câu 61. Cho phương trình 2 cos 32 x+(3 2- m)cos3x m+ - 2=0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng 3 ;

Câu 63. Cho phương trình msin2x- 3sin cosx x m- - =1 0 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m

thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình có đúng nghiệm thuộc 3 0;3 Tổng các phần tử của bằng

Câu 64. Cho phương trình (cosx+1 4 cos 2)( x m- cosx)= msin 2x Số các giá trị nguyên của tham số

để phương trình có đúng nghiệm thuộc đoạn là

Câu 66. Cho phương trình sin4x+cos4x+cos 42 x= m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 4 ;

Câu 67. Cho phương trình (sinx- 1 cos) ( 2x- cosx m+ )= 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình có đúng nghiệm thuộc đoạn

Câu 70. Cho phương trình (m+1 cos) x+(m- 1 sin) x= 2m+3 Có bao nhiêu giá trị của tham số m

để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 1 2 2

3

x - x = p

Trang 9

Vấn đề 8 Kỹ thuật hàm đặc trưngCâu 71. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m+sin(m+sin 3x)=sin 3sin( x)+4 sin3x có nghiệm thực?

Trang 10

Vấn đề 9 Tìm GTLN-GTNN của hàm sốCâu 81. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) sin sin lần lượt là

Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )= 2 cos3x- cos 2x trên đoạn ; lần

Câu 83. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( )2018 Giá trị

Câu 86. Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số cos 2 sin 3 Tính

x

=+

9.2

11.2

Câu 90 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= sin2018x+cos2018x lần lượt là

Câu 91 Có bao nhiêu giá trị của tham số thực để hàm số a cos sin 1 có giá trị lớn nhất

Trang 11

Câu 94. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

bằng Hỏi tập có bao nhiêu phần tử?

8

2

2+

Câu 97. Cho hai số thực x y, thuộc 0; và thỏa mãn Giá trị nhỏ

p

2

p

5

Câu 100. Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn cos(x+ +y 1)+ =3 cos 3( xy)+9xy- 3x- 3 y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= x y( +2) bằng

.9

HẾT

Trang 12

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản……….……….……… 02

2 Tìm nghiệm của phương trình……… 04

3 Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất……… … 07

4 Số nghiệm của phương trình……… 10

5 Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [ a b ; ] ……… ………… 12

6 Tìm m để phương trình có nghiệm……….……… 16

7 Tìm m để phương trình đúng có nghiệm thuộc n ( a b ; ) …….… … 21

8 Kỹ thuật hàm đặc trưng ……….……….… 27

9 Tìm GTLN-GTNN của hàm số……… ……… ……… 31

10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ……… 34

Vấn đề 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 13

x y

x x y

Lời giải Kiểm tra ta có y1 và y3 là các hàm số lẻ Chọn B.

Câu 3 Trong các hàm số y1= sin ; x y2= sin 2 ; x y3 = tan ; x y4 = cotx có bao nhiêu hàm số thỏa mãn

số được liệt kê ở bốn phương án A, B,

C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số

nào?

A y= sin 2x B y=cos x C y= - sinx D y= - cos x

Lời giải Khi x = 0 thì y =1. Chọn B.

Câu 5. Đường cong trong hình bên mô tả đồ thị của

A B

p a a

p a

Ta thấy A = 0 không thỏa mãn hệ Do đó ( )3 sin 1

3

B A

p a

æ ö÷ ç

a

p

p a

Trang 14

0;

23

p a

é ù

ê ú Î

íï =ïïî

Nhận xét: Cách trắc nghiệm: nhìn đồ thị đoán được A= 2; B= - 1 (dựa vào min – max) và dùng dữ kiện đồ thị đi qua gốc tọa độ suy ra

6

p

a =

Câu 6. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó

cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một

chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công

thức h= y trong đó: 2,5sin 2 1 2 với là thời gian quay

4

y= éêpæççx- ö÷÷ùú+

÷ç

ê è øú

của guồng với x ³ 0 tính bằng phút Ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên

mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất

ê è øú

Cách trắc nghiệm thay từng đáp án vào và bấm máy so sánh

Câu 7. Gọi là số nguyên thỏa mãn n (1 tan1 1 tan 2+ 0) ( + 0) (L 1 tan 45+ 0)= 2 n Khẳng định nào sau đây đúng?

cos 44 cos 43 cos 2 cos1 sin 90

< < sin cos 5

2

Trang 15

t t

Trang 16

Câu 13 Phương trình 2 sin2x- 4 sin cosx x+4 cos2x=1 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?

A cos 2x- 2 sin 2x=2 B sin 2x- 2 cos 2x= 2

C cos 2x- 2 sin 2x= - 2 D sin 2x- 2 cos 2x= - 2

Lời giải Phương trình tương đương với (2 sin2x+2 cos2x)- 2.2 sin cosx x+(2 cos2x- 1)= 0

î þ cos 2x+ 3 sin 2x- 2 cosx= 0

phương trình cos 2( x- a)= cos x

p p

Trang 17

và các điểm này không trùng nhau nên tập

nghiệm của phương trình đã cho có điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác Chọn D.6

Câu 18 Có bao nhiêu giá trị của a thuộc [0;2p] để ba phần tử của S={sin ,sin 2 ,sin 3a a a} trùng với

ba phần tử của T={cos ,cos 2 ,cos3 a a a}

A sinx =0 B sinx= sin 2 n x C sinx= sin 2n+ 1x D sinx= sin 2n+ 2x

Lời giải Vì x= kp không là nghiệm của phương trình đã cho nên nhân hai vế phương trình cho

2 sin 2 cos 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

2 sin 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

Câu 20 Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm

x k

p p

N

M

Trang 18

Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+2 cos2x=1 có dạng a với là các số

Û = ççè - ÷÷øÛ êê

êêë

1414

a

S b

p¾ ¾®ì =ïï ¾ ¾® =

íï =ïî

Câu 22 Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin 1 cot 2 có dạng với

x x

44

a

S b

2 sin 3 cos 2 2 sin 3 cos

2 sin 3 cos 2 cos 0

Trang 19

é =êê

ê =êë

Lời giải Phương trình Û 4 cos3 cos 2x x+2 cos3x=1

2 cos5( cos ) 2 cos3 1

2 cos 2 cos3 2 cos5 1

x x x

 Nhận thấy sinx= 0Û x= k p (kÎ ¢) không thỏa mãn phương trình

 Nhân hai vế cho sin x ta được 2 sin cosx x+2 sin cos3x x+2 sin cos5x x= sinx

k x

êêë

¢

8

77

a

S b

p ¾ ¾®ì =ïï ¾ ¾® =

íï =ïî

Câu 26. Cho phương trình sin2018x+cos2018x= 2 sin( 2020x+cos2020x) Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

x x x x x

Trang 20

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho là ( )

là các số nguyên, và nguyên tố cùng nhau Tính

4

x x x k

x k k x

a

S b

x x

ïï

íï ¹ïî

Ta có cos 2 cos2 sin2 cos (cos sin )

-Do đó phương trình Û 22017(sin2018x+cos2018x) (sinx+cosx)cosx=(sinx+cosx)cosx

Û cosx(sinx+cos 2x)éêë2017(sin2018x+cos2018x)- 1ùúû= 0

a

S b

p¾ ¾®ì =ïï ¾ ¾® =

íï =ïî

Câu 29. Biết rằng phương trình 1 1 1 12018 có nghiệm dạng

0sinx+ sin 2x+ sin 4x+L + sin 2 x=

Trang 21

p

=

Lời giải Điều kiện: x ¹ 0

Lời giải Phương trình Û (1 cos 2+ x) (+ 1 cos 4+ x) (+ 1 cos 6+ x)- 3= 2 cos 4 sin 2x x+cos 4x

( )

cos 6 cos 2 2 cos 4 sin 2

2 cos 4 cos 2 2 cos 4 sin 2 0

2 cos 4 cos 2 sin 2 0

Trang 22

¢loại

2 2

- ++

ê

ê = Þ =êë

cos sin 2 cos

4

x x

p p

Trang 23

Lời giải Điều kiện:

cos 2 0

x x x

p

Lời giải Điều kiện: cos5 0

.cos 0

x x

ïï

íï ¹ïî

Lời giải Phương trình tương đương với sinx= k2 , p kÎ ¢

Vì - £1 sinx£1 nên suy ra k = 0, khi đó phương trình trở thành sinx= 0Û x= lp (l Î ¢)

Trang 24

[ ]

0;4 2

.2

6cos 2 3

x x

x x x

x k k x

-¢loại

p p p

Trang 25

Lời giải Nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế phương trình với cos x ta được

2 3

1 sin 3 cos 4 sin cos cos

2

2 sin 3 cos3 cos

2

22

k x

£ + £ ¾ ¾¾® ê

ê

= ® =ê

£ + £ ¾ ¾¾® ê

ê

= ® =ê

2 sin 1 sin cos 2 0

é

ê = + ¾ ¾® Îê

ê = +ê

Trang 26

3

1sin cos 2 sin sin cos 4 sin

Nhận thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được ( )3 ( 2 )

tanx- 1 = 4 tanx tan x+1

1 cos cos 1 2 cos cos cos 1

2 cos cos cos 0

2

2cos

32

x x x

x k x

Trang 27

mÎ æ ö÷çç ÷

÷

çè ø

Lời giải Phương trình 1 cos 2 1 cos 2

p

a a

ç+ ççè - ÷÷ø=

Phương trình tương đương với 5 4 cos

3sin 2 3sin 2 sin 4 cos 5

a a

ïï

Û íï

+ ³ïî

thỏa điều kiện

Trang 28

Câu 51. Cho phương trình 2 32 Có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn

Û 3 tan( 2x+cot2x+1)+tanx+cotx= m

Đặt t= tanx+cot x Điều kiện: t ³ 2

10

+ ¥

+-

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm Û m+ ³3 10Û m³ 7

mÎ -æçç ö÷÷÷

çè ø m Î -( 1;4 )

Lời giải Điều kiện cosx ¹ 0

Phương trình 2 sin 2 cos 2 sin 4.sin cos cos 2 .sin .

Vì x¹ kp nên sinx ¹ 0 Khi đó ( )* Û 4 cos2x(2 cos2x- 1)= m

Đặt t=cos ,2x với suy ra Phương trình trở thành

cos 0

x k x

p

ì ¹ïï

Câu 53. Cho phương trình cos 2x- (2m+1 cos) x m+ + =1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Trang 29

Lời giải Phương trình 2 ( )

1cos

cossin

Câu 54. Cho phương trình cos2x+2 1( - m)cosx+2m- =1 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình có nghiệm?

1

- ¥

Trang 30

Û (cos 2x- 1)m= 4 cos 23 x- 4 cos 22 x- 3cos 2x+3 ( )*

Đặt t=cos 2 ,x với 0; 3;1 Khi đó

3

;1 , 2

3;1 ,2

ïïïïïî

Vậy để phương trình m= f t( ) có nghiệm khi và chỉ khi m Î ( )0;1 Chọn C.

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sinx m+ cosx= -1 m có nghiệm x

ïïï

-ïïïî

Do đó yêu cầu bài toán - 2£ 2m£ 6Û - £1 m£ 3. Chọn C.

Câu 57. Cho phương trình mx2+4p2 = 4p2cos x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; bằng

4 cos 1

x m

-Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3cos( 1) 1 có nghiệm?

+ ¥

1

0

Trang 31

Lời giải Đặt t=3cos(x+1)+ ¾ ¾1 ® - 2£ £t 4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î -[ 2;4] thì - £1 f t( )£ 3

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2 sinx+1)= f m( ) có nghiệm?

Lời giải Đặt t=2 sinx+ ¾ ¾1 ® - £ £1 t 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î -[ 1;3] thì - 2£ f t( )£ 2

Do đó để phương trình có nghiệm Û - 2£ f m( )£ 2 Cũng từ bảng biến thiên suy ta f m( ) nhận mọi giá trị từ - 2 đến khi và chỉ khi 2 - £1 m£ 3

có giá trị Chọn B.

{1;2;3}

Câu 60. Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ , thỏa

Lời giải Đặt t=3sinx+ ¾ ¾2 ® - £ £1 t 5

Dựa vào đồ thị ta thấy f x( ) đồng biến trên [- 1;5] nên f(3sinx+2)= f m( )Û 3sinx+ =2 m

Mà 3sinx+ Î -2 [ 1;5]¾ ¾® mÎ -[ 1;5]¾ ¾® có giá trị nguyên Chọn B.7

Vấn đề 7 Tìm m để phương trình có đúng nghiệm n

thuộc khoảng ( a b ; )

Câu 61. Cho phương trình 2 cos 32 x+(3 2- m)cos3x m+ - 2=0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để phương trình có đúng nghiệm thuộc khoảng 3 ;

20

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	613,12 KB