Bài tập hình học nâng cao môn toán lớp 12

6 ABCD Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng.. – Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính

BÀI TẬP HÌNH HỌC NÂNG CAO MÔN TOÁN 12

A LÝ THUYẾT

1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi , , i j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac

vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

Chú ý: i2  j2 k2 1 và .i ji k  k j 0

2 Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa: u x y z; ;  u xiy jzk

b) Tính chất: Cho a( ;a a a1 2; 3),b( ;b b b1 2; ),3 kR

 a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)

 ka  (ka ka1; 2;ka3)



1 1

2 2

3 3







 



 0(0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

 a cùng phương (b b0)  akb k( R)

3

, ( , , 0)

a







 



 a b a b1 1a b2 2a b3 3  a b a b1 1a b2 2a b3 30

a  a a a

cos( , )

a b a b a b

a b

a b

    (với , a b0)

3 Tọa độ của điểm:

a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )OM ( ; ; )x y z (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0

 M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0

b) Tính chất: Cho A x( A; y A; z A), B x( B; y B; z B)

 AB(x B x A;y By A;z Bz A)  2 2 2

( B A) ( B A) ( B A)

AB  x x  y y  z z

 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): ; ;

M

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ; ;

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

; ;

4 Tích cĩ hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)

a) Định nghĩa: Cho a( ,a a1 2,a3), b( ,b b b1 2, 3)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số

b) Tính chất:

 i j,  k; j k, i; k i,  j  [ , ]a b a; [ , ]a b b

 [ , ]a b a b .sin a b,  ,a b cùng phương  [ , ]a b 0

c) Ứng dụng của tích cĩ hướng:

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: , a b và c đồng phẳng  [ , ].a b c0

 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

 Diện tích tam giác ABC: 1 ,

2

ABC

S  AB AC

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: V ABCD A B C D ' ' ' '  [AB AD AA, ] '

 Thể tích tứ diện ABCD: 1[ , ]

6

ABCD

Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc,

tính gĩc giữa hai đường thẳng

– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ

diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các

vectơ cùng phương

a b a b

a và b cùng phương a b

a b c đồng phẳng a b c

 

B CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: các bài tốn về tọa độ véc tơ, tọa độ điểm; sự bằng nhau, sự cùng phương của hai véc tơ

Bài 1:Trong khơng gian Oxyz cho (1; 2; 3), ( 1;1; 2), (3; 4;3) a  b  c

a) Tìm tọa độ véc tơ u3a b 2c

b) Tìm y,z để véc tơ v ( 2; ; )y z cùng phương với u Cho biết ,v u cùng hướng hay ngược

hướng

c) Chứng minh: ,a b không cùng phương Có tồn tại các số thực m,n để cmanb không? Có kết luận gì về kết quả tìm được

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;2;3), B(2;1;2), C(-3;3;1)

a) CMR: A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho M(1;-1;2), N(2;0;1)

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mp(Oxy)

b) Điểm I chia đoạn MN theo tỉ số nào?

c) Tìm tọa độ điểm P đối xứng với M qua N

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho A(1;2;3), B(0;4;-1), C(3;-2;-5), D(5;-6;3)

a) Chứng minh: ABCD là hình thang

b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AD, CB và CD Chứng minh: các tam giác APQ và CMN có cùng trọng tâm

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(-2;2;2) và trọng tâm G(-1;1;2)

a) Tìm tọa dộ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A thuộc mp(Oxy), B thuộc Oz

b) Gọi H là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của H qua A Tìm tọa độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng

Dạng 2: Bài toán về tích vô hướng của hai véc tơ và các ứng dụng của tích vô hướng

Những bài toán về tích vô hướng xoay quanh các chủ đề:

 Tính tích vô hướng

 Tính độ dài véc tơ, độ dài đoạn thẳng

 Tính góc tạo bới hai véc tơ, góc giữa hai đường thẳng

 Chứng minh tính vuông góc của hai véc tơ, hai đường thẳng

 Các bài toán liên quan và kết hợp các dạng trên

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho (2; 2;1), ( 1; 1; 2), (2; 4; 1) a b   c  

a) Tính (a b c )( 3 )a và cos( , )a b

b) Xác định k để d  a k c vuông góc với véc tơ c

c) Tìm tọa độ véc tơ u có độ dài bằng 1 và cùng hướng với v a b

d) Tìm tọa độ véc tơ w biết a w1, b w 7, c w 7

Bài 2: Cho A(-4;2;1), B(1;-3;1), C(3;2;2) Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C biết I

thuộc mp(Oyz) Tính bán kính của mc đó

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(1;-1;2), C(2;3;1)

a) Chứng minh tam giác ABC có A là góc tù

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm M thuộc Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(2;-1;3), B(1;2;-1), C(-4;7;5) Các đường phân

giác trong và ngoài của góc A của tam giác ABC cắt BC lần lượt tại D và E Tìm tọa độ các điểm D, E

Dạng 3: Bài toán về tích có hướng của hai véc tơ và các ứng dụng của tích có hướng

Những bài toán về tích có hướng xoay quanh các chủ đề:

 Tính tích có hướng

 Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ

 Phân tích một véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng

 Tính diện tích của một tam giác, tứ giác

 Tính thể tích của một tứ diện, hình chóp

 Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác

 Các bài toán liên quan

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho (4;3; 4), (2; 1;1), (1; 2; ), ( 3;1; 2) a b  c z d 

a) Tính a b,  và tìm z để các véc tơ , , a b c đồng phẳng

b) Chứng minh các véc tơ , ,a b d không đồng phẳng

c) Hãy biểu thị véc tơ ( 13;14;15)u  theo các véc tơ , ,a b d

Bài 2: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2)

a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Bài 3: Cho các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)

a) Chứng minh: A,B,C,D là các đỉnh của một tứ diện

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD

c) Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD)

Dạng 4: Các bài toán về phương trình mặt cầu

Những bài toán về mặt cầu xoay quanh các chủ đề:

1) Lập phương trình mặt cầu: có hai cách

a) Tìm tâm và bán kính và sử dụng pt (xx0)2 (y y0)2 (z z0)2R2

b) Áp dụng phương trình x2y2z22ax2by2cz d 0

2) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu

3) Các bài toán xét sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng hay đường thẳng

Bài 1: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) có tâm là I(1;1;-2) và đi qua điểm M(-3;2;4)

b) Có đường kính AB biết A(2;2;4), B(0;-2;2)

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I thuộc Oz và đi qua hai điểm M(1;-2;4), N(-1;2;2)

b) Có tâm J thuộc mp(Oxy) và đi qua 3 điểm A,B,C với A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3)

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm

Bài 1: Cho tam giác ABC có A( 3; 2;0), ( 1;3; 2), (1;0;1) B  C Tìm tập hợp những điểm M trong không

gian thỏa mãn điều kiện:

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD’ biết A trùng O, B(2;0;0),

C(2;3;0) và A’(0;0;4)

a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b) Chứng minh rằng AC’ qua trọng tâm của tam giác A’BD

Bài 2: Cho tứ diện OABC có A(3;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;5)

a) Tìm tọa độ điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên AB

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1;1;2), B(2;4;3) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (Oxz) và N thuộc

(Oxy) để MA+MN+NB có giá trị bé nhất

Bài 4: Cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(0;1;0), C(1;-1;-4)

a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình chữ nhật

b) Tìm tọa độ điểm S thuộc mp(Oyz) sao cho SA(ABCD)

c) Tính thể tích hình chĩp SABCD

Bài 5: Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(1;1;2)

a) Biết A thuộc Ox, B thuộc Oy, C thuộc Oz Tìm tọa độ các điểm A,B,C

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và OC Tìm tọa độ điểm E trên đường thẳng OM để

MEOG

Bài 6: Cho A(1;0;0), B(2;1;2)

a) Tìm tọa độ điểm C thuộc mp(Oxy) để tam giác ABC vuơng cân tại A

b) Gọi D là trung điểm đoạn AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho BC 3BE Chứng minh:

AECD

§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

 Vectơ n0 là VTPT của () nếu giá của n vuơng gĩc với ()

 Hai vectơ ,a b khơng cùng phương là cặp VTCP của () nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên ()

Chú ý:  Nếu n là một VTPT của () thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ()

 Nếu , a b là một cặp VTCP của () thì n a b,  là một VTPT của ()

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

AxBy Cz  D với A B C 

 Nếu () cĩ phương trình AxBy Cz  D 0 thì n( ; ; )A B C là một VTPT của ()

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0( ;0 0; 0) và cĩ một VTPT n( ; ; )A B C là:

A xx B yy C zz 

3 Các trường hợp riêng

Chú ý:  Nếu trong phương trình của () khơng chứa ẩn nào thì () song song hoặc chứa

trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z 1

a  b c

() cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () cĩ phương trình: (): A x1 B y C z1  1 D10

(): A x2 B y C z2  2 D2 0

 (), () cắt nhau  A B C1: 1: 1 A2:B2:C2

Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Tính chất mặt phẳng ()

 () // ()  1 1 1 1

A  B C  D

 ()  ()  A A1 2B B1 2C C1 2 0

5 Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0

0, ( ) Ax 2By 2Cz 2 D

d M

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Nguyên tắc: tìm một điểm và một véc tơ pháp tuyến

Mp qua 3 điểm A,B,C nhận véc tơ n AB AC, là véc tơ pháp tuyến

Nếu (P)//(Q) biết (Q): Ax+By+Cz+D=0 thì (P) có phương trình Ax+By+Cz+D’=0 với D khác D’

Bài 1:Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;2;1), B(3;-4;5) Viết phương trình mp(P) trong các

trường hợp sau:

a) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

b) (P) đi qua điểm B và song song với mp(Q): 2x-y+4z+7=0

Bài 2: Viết phương trình mp(P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) chứa Oy và đi qua điểm M(1;-1;3)

b) (P) đi qua các điểm A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz sao cho H(1;2;-2) là trực tâm của tam giác ABC

Dạng 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1: Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x+my+4z-6+m=0 và (m+2)x+4y+(3m+2)z-10=0 Với

giá trị nào của m để hai mặt phẳng đó:

a) Cắt nhau

b) Vuông góc

c) Song song

Bài 2: Xác định các giá trị của n, m để 3 mp sau đây cùng đi qua một đường thẳng

( ) : 2 x ny 3z m 0, ( ) : x   y z 3 0, ( ) : x y 2z 1 0

Dạng 3: Các bài toán ứng dụng công thức khoảng cách

Bài 1:Trong không gian Oxyz cho hai mp (P): x+y-2z-3=0 và (Q): 2x+2y-4z+7=0

a) Tính khoảng cách giữa hai mp (P) và (Q)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox cách đều hai mp (P) và (Oyz)

Bài 2:Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x-y-2z-6=0 và hai điểm A(0;1;2), B(1;0;-2)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên mp(P)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB và d(M,(Ozx))=1

Bài 3: Tìm tập hợp các điểm trong không gian cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) trong mỗi trường

hợp sau:

a) (P): x+y-2z-3=0, (Q): x+y-2z+5=0

b) (P’): x+2y-2z-7=0, (Q’): 2x+y+2z+1=0

Bài 4: Cho mc (S): x2y2z22x2y6z 7 0 Lập phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện a) (P)//(Q): x+3y-z+2=0 và tiếp xúc với (S)

b) (P) qua 2 điểm A(1;2;-1), B(0;2;1) và tiếp xúc với (S)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:Cho tứ diện ABCD biết A(-1;1;2), B(1;0;1), C(2;1;-1), D(3;2;1)

a) Viết phương trình qua 3 điểm A, B,C

b) Viết phương trình mp(P) qua AB và song song với CD

Bài 2:Cho A(1;-2;0), B(2;-1;2), Viết phương trình của mp

a) qua các điểm M,N,P lần lượt là hình chiếu của C(1;-2;5) trên các trục Ox, Oy, Oz

b) chứa AB và song song với Oy

c) chứa Ox và qua B

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : x   y z 3 0, ( ) : 2 x y 2z 6 0 Viết

phương trình mp(P) qua giao tuyến của hai mp và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) song song với Oz

b) Qua K(1;2;3)

c) Vuông góc với mp: 2x-z+7=0

Bài 4: Cho mp(P) qua M(3;1;1) Viết phương trình mp(P) thỏa mãn điều kiện:

a) Vuông góc với hai mp ( ) : 3 x2y2z0, ( ) : 5 x4y3z 1 0

b) Cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A,B,C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC

c) Cắt các trục Ox,Oy, Oz tại các điểm A,B,C sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất

§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Phương trình tham số của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và có VTCP

1 2 3

( ; ; )

a a a a :

1 2 3

o o o





  



 Nếu a a a1 2 3 0 thì 0 0 0

( ) :d x x y y z z

đgl phương trình chính tắc của d

2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:

:



  



  



và

:

  





      

    



 d // d  0 1 0 1

,

( , )

a a cuøng phöông





       













0 0 0 0

, ( ; ; )

a a cuøng phöông





0 0

, ,

a a cuøng phöông

a M M khoâng cuøng phöông





0 0

a a

a M M







 d  d 

( , )

  





      





0 0 0 0

, ( ; ; )

a a cùng phương





  a a M M đôi một cùng phương, , 0 0

 a a, a M M, 0 00

 d, d cắt nhau  hệ

  



     



     



(ẩn t, t) cĩ đúng một nghiệm



0 0

, , ,

a a không cùng phương

a a M M đồng phẳng





, 0

a a

a a M M







 d, d chéo nhau  0 1 0 1

,

( , )

a a không cùng phương

















 a a M M không đồng phẳng, , 0 0 a a M M,  0 0 0

 d  d  aa  a a 0

3 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): AxBy Cz  D 0 và đường thẳng d:



  



  

 Xét phương trình: A x( 0ta1)B y( 0ta2)C z( 0ta3) D 0 (ẩn t) (*)

 d // ()  (*) vơ nghiệm

 d cắt ()  (*) cĩ đúng một nghiệm

 d  ()  (*) cĩ vơ số nghiệm

4 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d:



  



  



(1) và mặt cầu (S): (x a )2(y b )2 (z c)2 R2 (2)

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)

 d và (S) khơng cĩ điểm chung  (*) vơ nghiệm  d(I, d) > R

 d tiếp xúc với (S)  (*) cĩ đúng một nghiệm  d(I, d) = R

 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) cĩ hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d đi qua M 0 và cĩ VTCP a và điểm M

0 , ( , ) M M a

d M d

a



6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2

d 1 đi qua điểm M 1 và cĩ VTCP a1, d 2 đi qua điểm M 2 và cĩ VTCP a2

 

1 2 1 2

1 2

1 2

, ( , )

,

d d d

a a



Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 với mặt phẳng () chứa d 2 và song song với d 1

7 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ()

8 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP a a1, 2

Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa a a1, 2

1 2

1 2

cos ,

a a

a a

a a



9 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a( ;a a a1 2; 3) và mặt phẳng () có VTPT n( ; ; )A B C

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ()

sin , ( )

Aa Ba Ca d

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp

sau:

a) Đi qua điểm M(2;0;-3) và có véc tơ chỉ phương (-1;2;3)

b) Đi qua hai điểm A(1;2;3), B(-1;3;5)

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua M(1;-2;2) trong mỗi trường hợp sau:

a) d song song với đường thẳng

1 2

2

 





   

  



b) d vuông góc với mp(P): x+2y-3z+4=0

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d qua M(2;-1;3) và vuông góc với

:

' :

3 4 2



Dạng 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) : 1 7 3, ' : 6 1 2

b)

9

3 : 5 , ' :

18 10 2 3







   



c)

' : 2 4 , ' : 1 4 '

d)

1

2 3

 





  



Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:

2 1

1 2 4

2 ( 4)

 





   



a) Xác định m để d vuông với d’

b) Xác định m để d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau đây:



a) Chứng minh d và d’ cắt nhau Tìm giao điểm của d và d’

b) Lập phương trình mp(P) chứa d và d’

Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mp Các bài toán về hình chiếu của một điểm trên đường thẳng, trên mp, hình chiếu của đường thẳng trên mp…

Bài 1: Cho đường thẳng

2 4 : 1 , ( ) : 2 3 2 0

1 3

 





  



a) Xác định m để d cắt (P), khi đó tìm tọa độ giao điểm I của d và (P) theo m Với giá trị nào của

m thì I có tọa độ là các số nguyên

b) Xác định m để d//(P), d( )P

Bài 2:Cho điểm M(2;-1;0) và mp(P): x+2y-z+2=0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên (P)

b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng của M qua (S)

Bài 3:Cho điểm M(1;2;0) và đường thẳng : 1 2 2

 a) Viết phương trình đường thẳng  qua M, cắt d và vuông góc với d

b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d

Dạng 4: các bài toán về góc, khoảng cách

Bài 1:Cho M(1;2;3) và hai đường thẳng : 1 3 4, ' : 2 1 1

a) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d

b) Chứng minh: d và d’ chéo nhau Tính d(d,d’)

Bài 2(KA-2004): Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt

BD tại gốc O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2) Gọi M là trung điểm của SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai dường thẳng SA và BM

b) Giả sử mp(ABM) cắt đường SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài 3: Cho điểm A(-2;0;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt trục Oy và hợp với Oy góc

45o