GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNHGIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Trang 1

Nguyễn Anh Tỳ 0169 721 7658

FB: Nguyễn Anh Tỳ

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG

TRèNH ( Sỏng tỏc - Tổng hợp - Sưu tầm - Biờn soạn )

- Cỏc bài toỏn cú liờn quan đến yếu tố hỡnh học

Bài 1 : Trớch đề thi mụn Toỏn vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2010 - 2011

Phõn tớch bài toỏn :

Trong một hỡnh chữ nhật, độ dài đường chộo bỡnh phương bằng độ dài chiều dài bỡnh phương cộng độ dài chiều rộng bỡnh phương

Cỏc bài toỏn này chủ yếu yờu cầu kiến thức hỗ trợ về hỡnh học nờn sau khi phõn tớch lời giải ta cú cỏc hướng giải sau

Cỏch 1 : Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất hỡnh chữ nhật là x ( x > 0 , m )

Gọi độ dài chiều dài của mảnh đất hỡnh chữ nhật là y ( y > 0 , m )

Theo hỡnh vẽ, ta cú : x2 + y2 = 132 = 169 (1)

Theo đề bài, ta cú : y - x = 7 hay y = x + 7 (2)

Từ (1) + (2) , ta cú hệ phương trỡnh :

2 2

2

169

7 169 x 7x 60 0 7

5x 12x 60 0 5 12 0 5 Vì x > 0 nên x + 12 > 0 Với x = 5 thì y = 12 Vậy m°nh đất có chiều d¯i l¯ 12m , chiều rộng l¯ 5m

x y

x x

y x



 



Lời giải trờn vận dụng cỏch đặt 2 ẩn rồi đưa bài toỏn về việc giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp thế Cỏc em học sinh chưa quen nờn thực hiện cỏch này từ đú thụng qua đề bài, hỡnh vẽ minh họa để lập hệ phương trỡnh và giải

Trang 2

Nguyễn Anh Tú 0169 721 7658

FB: Nguyễn Anh Tú

Cách 2 : Ta trực tiếp đưa bài toán về việc giải phương trình thông qua đặt một ẩn phụ

Bài 2 : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 Biết chiều dài mảnh đất lớn hơn chiều rộng mảnh đất 2 m, tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó

Phân tích bài toán :

Đây là bài toán quen thuộc và cơ bản khi chỉ cần vận dụng công thức diện tích hình chữ nhật

Giải

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x ( x > 0 , m )

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng 2 m nên chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là x + 2 ( x > 0 , m ) Theo đề bài , ta có phương trình :

4 v× x > 0 nªn x + 6 > 0

x

 

Vậy chiều rộng mảnh đất là 4m và chiều dài mảnh đất là x + 2 = 6m

Bài 3 : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 24 m2 Biết nếu tăng chiều rộng mảnh đất thêm 2m và giảm chiều dài mảnh đất đi 2m thì diện tích mảnh đất tăng 6 m2

Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Phân tích bài toán : Mối liên hệ Diện tích = Chiều dài Chiều rộng

Chiều dài ( m )

Chiều rộng ( m ) Diện tích ( m

2

)

Thay đổi x - 2 y + 2 30

Trang 3

Gọi chiều dài mảnh đất là x ( x > 0 , m ) , chiều rộng mảnh đất là y ( y > 0 , m )

Diện tích mảnh đất là x.y = 24 ( m2 )

Chiều rộng mảnh đất tăng thêm 2m là y + 2 ( y > 0, m ), chiều dài mảnh đất giảm đi 2m là

x - 2 ( x > 2 , m )

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

2 2 30 2x 2 34 24 2x 2 34 5

5 24 5 24 0 3 8 24 0 3 8 0

8

Ta chän nghiÖm y = 3 v× y > 0

3

x

y











Vậy chiều dài mảnh đất là 8 m và chiều rộng mảnh đất là 3 m

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 50 m2 Biết nếu tăng chiều rộng mảnh đất thêm 3m

và giảm chiều dài mảnh đi 2m thì mảnh đất sẽ có hình vuông Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

2 Trích đề thi môn Toán vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2016 - 2017

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng đi 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn

3 Hai cạnh của mảnh đất hình chữ nhật hơn kém nhau 10m Tính chu vi mảnh đất biết diện tích của mảnh đất là 1200 m2

Trang 4

Nguyễn Anh Tỳ 0169 721 7658

FB: Nguyễn Anh Tỳ

- Dạng toỏn tỡm số

Bài 1 : Tỡm hai số tự nhiờn biết rằng bốn lần số thứ nhất cộng năm lần số thứ hai bằng 100 và

sỏu lần số thứ nhất trừ số thứ hai bằng 48 Tỡm hai số tự nhiờn đú

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm thứ nhất l¯ x, số tự nhiên cần tìm thứ hai l¯ y ,

4 5 100 4 5 100 10 Theo đề b¯i, ta có :

6 48 30 5 240 12 Vậy hai số tự nhiên cần tìm l¯ 10 v¯ 12

x y N



Bài 2 : Tỡm hai số tự nhiờn cú hai chữ số biết nếu giảm số thứ nhất đi 2 đơn vị rồi nhõn với số

thứ hai ta được 150 Nếu tăng mỗi số thờm 3 đơn vị rồi nhõn với nhau ta được 270 Tỡm hai số

đú

Giải

Gọi số tự nhiên cần tìm thứ nhất l¯ x, số tự nhiên cần tìm thứ hai l¯ y , , 10, 10

Nếu gi°m số thứ nhất đi 2 đơn vị ta được số mới l¯ x-2

Nếu tăng mỗi số thêm 3 đơn vị ta được hai số mới l¯ x +

x yN x y

2

3 v¯ y + 3

Theo đề b¯i, ta có :





15 Vì y 10

Với y = 15 ta có x = 12 Vậy hai số tự nhiên cần tìm l¯ 15 v¯ 12

y



1 Tỡm hai số tự nhiờn hơn kộm nhau 5 đơn vị và tớch của chỳng bằng 50

2 Tỡm hai số biết số thứ nhất chia cho 5 cộng số thứ hai chia cho 3 bằng 12 và số thứ nhất nhõn với 5 trừ đi số hai được 76

3 Bài toỏn dóy ghế, mối liờn hệ Số người = Số dóy ghế Số người trờn một dóy ghế

Trang 5

Một phòng có 70 người đi họp được xếp đều trên các dãy ghế Nếu bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế phải xếp thêm 4 người mới đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có mấy dãy ghế và mỗi dãy được xếp bao nhiêu người

4 Một lớp có 40 học sinh Trong một buổi chuyên đề, lớp có thêm 15 học sinh nữa đến dự nên phải kê thêm một dãy ghế và phải xếp thêm một người vào mới đủ chỗ Hỏi ban đầu có bao nhiêu dãy ghế biết mỗi dãy có số người ngồi như nhau và không quá 5 người

5.Trong phòng họp có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế thêm 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi Nếu xếp mỗi ghế thêm 6 người thì thừa một ghế Hỏi phòng họp có bao nhiêu ghế và

có bao nhiêu người đi họp

Trang 6

- Dạng toán năng suất - công việc - bài toán vòi nước

Kiến thức cần nhớ : A = N.T , trong đó A là khối lượng công việc , N là năng suất , T là thời gian

Bài 1 : Trích đề thi môn Toán vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2014 - 2015

Tổng sản phẩm

Số sản phẩm làm được trong 1 ngày ( Sản phẩm )

Thời gian

x

5

x

1100 1100

2 5

x x



Trình bày : Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng làm được theo kế hoạch là x ( x > 0 , sản

phẩm ) Vậy thời gian cần để hoàn thành kế hoạch là 1100

x ( ngày )

Trên thực tế, mỗi ngày phân xưởng sản xuất được x + 5 ( sản phẩm ) nên thời gian hoàn thành

trên thực tế là 1100

2

x ( ngày ) Theo đề bài, ta có phương trình :

1100 1100

2 5

x  x 

 (1)

Hoặc

Sản phẩm Năng suất

( Sản phẩm/ngày) Thời gian

Thực tế 1100 x + 5 y - 2

Ta có : x.y = 1100 và ( x + 5 ).(y - 2) = 1100

Trình bày : Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng làm được theo kế hoạch là x ( x > 0 , sản

phẩm ), thời gian cần để hoàn thành kế hoạch là y ( ngày )

Trang 7

Trên thực tế, mỗi ngày phân xưởng sản xuất được x + 5 ( sản phẩm ) nên thời gian hoàn thành trên thực tế là y - 2 ( ngày ) Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

1100

5 2 1100

x y







Ta thường lựa chọn cách 1 do nó đơn giản và dễ giải hơn

Do x > 0 nên (1)  

1100 5 1100x

2 2x 10x 5500 0 5x 2750 0 5

x

x x

 



 50 55 0 50 ( nhËn ) 

55 ¹

x

x lo i





Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm

Bài 2 : Trích đề thi môn Toán vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2012 - 2013

Phân tích bài toán : Ta coi khối lượng công việc là 1

Liên hệ : Phần công việc làm được trong 1 giờ Thời gian = 1

Khối lượng công việc

Năng suất ( Phần công việc làm được trong 1 giờ )

Thời gian

Người thứ nhất làm một

1

Người thứ hai làm một

1

Hai người cùng làm 1 1 1

x  y

1

xy





 2

12

5

xy

 





 



Hoặc :

Trang 8

Khối lượng công việc

Năng suất ( Phần công việc làm được trong 1 giờ )

Thời gian

Người thứ nhất làm

một mình 1

1

Người thứ hai làm một

1 2

Hai người cùng làm 1 1 1

2

x  x



 2

2

x x



Trang 9

Bài 3 : Trích đề thi môn Toán vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2009-2010

Hướng dẫn : Bài toán này khá đơn giản

Năng suất ( Số áo may được trong một ngày )

Tổ thứ nhẩt x

Tổ thứ hai x - 10

Theo đề bài , 3x + 5(x-10) = 1310 ( áo )

Bài 4 : Trích đề thi môn Toán vào lớp 10 - Sở GD&ĐT Hà Nội 2008-2009

Bài toán có yếu tố %

Phân tích bài toán : Chú ý bài toán nói đến việc cả hai tổ cùng làm

Năng suất tổ I ( Số chi tiết máy tổ I làm được trong một tháng )

Năng suất tổ II ( Số chi tiết máy tổ II làm được trong một tháng )

Năng suất chung ( Số chi tiết máy cả hai tổ làm được trong một tháng ) Tháng thứ nhất x ( 100%) y x + y = 900

Tháng thứ hai x + 15%.x = 115%x y + 10%.y = 110%y 115%x + 110%y = 1010 Chú ý : a% =

100

a

Giải

Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x ( x > 0 , chi tiết máy )

Gọi số chi tiết máy tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là x ( x > 0 , chi tiết máy )

Trong tháng thứ hai tổ I sản xuất được x + 15%.x = 15 23

100 20

x

x  x( x > 0 , chi tiết máy )

Trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được y + 10%.y = 11

10 10

y

y  y( y > 0 , chi tiết máy )

Trang 10

Theo đề bài, ta có :

900

1010

x

 



Vậy trong tháng thứ nhất, tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy

Bài 5 : ( Bài toán hai vòi nước )

Hai vòi nước cùng chảy thì sau 6 giờ đầy một cái bể không chứa nước Nếu để vòi thứ nhất chảy

riêng trong 3 giờ rồi khóa lại để vòi thứ hai chảy riêng trong trong 2 giờ rồi khóa lại thì được 2

5

bể Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu để đầy bể ?

Phân tích bài toán : Ta coi việc bể đầy nước là 1

Năng suất Thời gian = 1

Năng suất ( Lượng nước chảy được trong 1 giờ, bể ) ( Để chảy đầy bể ) Thời gian ( h ) Vòi 1 chảy

riêng

1

Vòi 2 chảy

riêng

1

Cả 2 vòi

cùng chảy

x  y

1

xy





= 6

Giải

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đến khi đầy bể là x ( x > 6, giờ ) , vậy trong 1 giờ vòi thứ

nhất chảy riêng được 1

x( bể )

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đến khi đầy bể là y ( y > 6, giờ ) , vậy trong 1 giờ vòi thứ hai

chảy riêng được 1

y( bể )

Trong 3 giờ chảy riêng, vòi thứ nhất chảy được : 3.1 3 ( bÓ )

x  x

Trang 11

Trong 2 giờ chảy riêng, vòi thứ hai chảy riêng được : 2.1 2 ( bÓ )

Nếu cả hai vòi cùng chảy thì trong 1 giờ chảy được 1 1

x  y ( bể ) Thời gian cả hai vòi cùng chảy

đến khi đầy bể là 1

xy





6( h ) hay 1 1 1

6

x  y

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

15

10

x

y y



Nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x > 6 , y > 6 Vậy vòi thứ nhất chảy riêng mất 15 giờ để đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng mất 10 giờ để đầy bể

1 SBT Toán 9, Tập 2

2 SGK Toán 9, Tập 2

Trang 12

3 SGK Toán 9, Tập 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN KHÁC

- Trích dẫn SGK, SBT Toán 9, Tập 2

1

2

3

4

5

Trang 13

6

7

8

9

10

11

12

Trang 14

- Dạng toán chuyển động

Công thức cần nhớ : s = v.t Trong đó, s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian

Liên hệ : v s,t s

t v

1

Phân tích bài toán : Đổi 30 phút 1

2

 ( giờ )

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Thời gian ( giờ ) Lúc đi

( A đến B) 24 x ( x > 0 ) 24x

Lúc về

( B về A ) 24 x + 4

24 4

x Theo đề bài, ta có phương trình : 24 24 1

4 2

x  x 



2

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Thời gian ( giờ ) Trường hợp

1 x ( x > 0 ) 35 35

x

Trường hợp

2 x ( x > 0 ) 50 50

x

Ở bài toán này ta cần phải suy luận, ở trường hợp 1 xe sẽ đến B lúc 14h, còn ở trường hợp 2 xe

sẽ đến B lúc 11h Thời gian đi từ A đến B của xe trong 2 trường hợp chênh lệch 3 giờ

3

35 50

x x

Trang 15

Giải

Gọi độ dài quãng đường AB là x ( x > 0 , km )

Nếu ô tô chạy với vận tốc 35 km/h thì thời gian để ô tô đi từ A đến B là

35

x

( giờ ) và đến B lúc 14h

Nếu ô tô chạy với vận tốc 50 km/h thì thời gian để ô tô đi từ A đến B là

50

x

( giờ ) và đến B lúc 11h

Theo đề bài, ta có phương trình : 3 10x 7x 3 350

35 50 350

x x

x



Vậy quãng đường AB dài 350 km

Với quãng đường AB dài 350 km, ta có : 10

35

x

 ( h ), vậy xe xuất phát lúc : 14 - 10 = 4 giờ

3

Trang 16

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Thời gian ( giờ )

Dự định x ( x > 0 ) 48

48

x

Thực tế

1 giờ đầu 48.1 = 48 km

6

6 Dừng 10 phút 0 km

Giai đoạn sau x - 48 54 48

54

x

Tổng x

48

x

54 6 48 54 9 6 48 432 18

x

Giải

Gọi chiều dài quãng đường AB là x ( x > 48 , km )

Theo dự định, ô tô đi với vận tốc 48 km/n nên thời gian dự định là

48

x

( giờ )

Trên thực tế, xe đi 1 giờ với vận tốc 48 km/h, rồi dừng lại 10 phút = 1 giê

6 nên trong 1

1

6

6giờ đầu xe đi được 48 km

Thời gian tiếp theo, xe đi trên quãng đường x - 48 ( km ) với vận tốc 48 + 6 = 54 ( km/h )

nên xe đi hết 48

54

x ( giờ )

Theo đề bài, ta có phương trình : 48 7 8 7 5 120

54 6 48 54 9 6 48 432 18

x



Vậy quãng đường AB dài 120 km

Trang 17

4

Hướng dẫn :

5

Hướng dẫn :

Trang 18

6 Bài toán cano ( Xuôi dòng - Ngược dòng )

- Các vấn đề cần chú ý :

+ Dòng nước yên lặng thì vận tốc dòng nước ta coi là 0 km

Vận tốc riêng của cano > Vận tốc dòng nước

+ Khi xuôi dòng, vận tốc thực = vận tốc riêng của cano + vận tốc dòng nước

Khi ngược dòng, vận tốc thực = vận tốc riêng của cano - vận tốc dòng nước

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Thời gian ( giờ )

A đến B

( Xuôi dòng ) 80 x + 4

80 4

x

B đến C

( Ngược dòng ) 72 x - 4 ( x > 4 ) x724

Đổi : 15 phút = 15 1

60  4( giờ )

Ta có phương trình : 72 80 1

4 4 4

x  x 

Giải

Đổi : 15 phút = 15 1

60  4( giờ ) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( x > 4 , km/h )

Khi xuôi dòng, vận tốc thực của ca nô là x + 4 ( km/h ) nên ca nô đi hết quãng đường AB = 80

km trong 80

4

x ( giờ )

Khi ngược dòng, vận tốc thực của ca nô là x - 4 ( km/h ) nên ca nô đi hết quãng đường BC = 72

km trong 72

4

x ( giờ )

Trang 19

Theo đề bài, ta có phương trình : 72 80 1

4 4 4

x  x 

8x 608 1

16 4

x

 

Vì x > 4 nên 2

16

x  nên (1) 2 2

  

2

36x 68x 2448 0

36 68 0

36 ( V× x > 4 )

x

  Vậy vận tốc riêng của ca nô là 36 km/h

7

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Tổng thời gian ( h ) Lần 1 Xuôi dòng 81 x 81 105 8

Ngược dòng 105 y

Lần 2 Xuôi dòng 54 x 54 42 4

Ngược dòng 42 y

Giải hệ ta được vận tốc xuôi dòng là 27 km/h, ngược dòng là 21 km/h

Câu hỏi khác : Nếu bài toán yêu cầu tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước ta làm như thế nào ?

Hướng dẫn : Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x và y ( 0 < y < x , km/h )

Quãng đường ( km ) Vận tốc ( km/h ) Tổng thời gian ( h ) Lần 1 Xuôi dòng 81 x + y 81 105 8

Ngược dòng 105 x - y

Lần 2 Xuôi dòng 54 x + y 54 42 4

Ngược dòng 42 x - y

Đặt ẩn phụ 1 a, 1 b

  , ta giải ra được

27 24

21 3

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,12 MB