GIẢI CHI TIẾT phương trình đường thẳng

1.Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : 2 2 3 2 1 3 x t y t z t  = −   = −   = − và d’: 6 2 3 2 7 9 x t y t z t  = +   = +   = + . Xét các mệnh đề sau: (I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a (2;2;3)  (II) d’ đi qua A’ (0;3;11) và có véctơ chỉ phương a 2;2;9 ( )  (III) a  và a  không cùng phương nên d không song song với d’ (IV) Vì   a a AA ;. 0 =       nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II),1.Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : 2 2 3 2 1 3 x t y t z t  = −   = −   = − và d’: 6 2 3 2 7 9 x t y t z t  = +   = +   = + . Xét các mệnh đề sau: (I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a (2;2;3)  (II) d’ đi qua A’ (0;3;11) và có véctơ chỉ phương a 2;2;9 ( )  (III) a  và a  không cùng phương nên d không song song với d’ (IV) Vì   a a AA ;. 0 =       nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II),

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

CHỦ ĐỀ 29 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d :

(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a(2; 2;3)

(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a' 2; 2;9( )

(III) a

và a' không cùng phương nên d không song song với d’

(IV) Vì a a   ; '  AA'=0

nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:

A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai

B Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai

C Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai

D Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có phương trình tham số

23

d đi qua điểm A(2; 0; 1− ) và có vectơ chỉ phương ad =(1; 3;5− )

Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1

3

3

1 5

15

∆ đi qua điểm A(3; 1;0− ) và có vectơ chỉ phương a∆ =(2; 3;1− )

Vậy phương trình tham số của ∆ là

d đi qua điểm M(−2;1;3) và có vectơ chỉ phương ad =(2; 1;3− )

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng

Đường thẳng d đi qua

điểm M và có vectơ chỉ phương ad

d đi qua M(−2;2;1) và có vectơ chỉ phương ad =(1;3;1)

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường

thẳng d qua điểm M(−2;3;1) và có vectơ chỉ phương a =(1; 2; 2− )

Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M(−2;3;1) và có vectơ chỉ phương

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của

đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2;5− )và B(3;1;1)?

∆đi qua hai điểmAvà B nên có vectơ chỉ phương AB=(2; 3; 4− )

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 1 2 5

x− y+ z−

−

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có A(−1;3; 2 ,) (B 2;0;5 ,) (C 0; 2;1− )

Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là

AM đi qua điểm A(−1;3;2) và có vectơ chỉ phương AM =(2; 4;1− )

Vậy phương trình chính tắc của AM là 1 3 2

x+ = y− = z−

−

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác , ABC với A(1; 4; 1 ,− ) (B 2; 4;3 ,) (C 2; 2; 1− )

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

dqua A(1;4; 1− và có vectơ chỉ phương ) ad

Vậy phương trình tham số của d là

14

A

1

3 4

y y

x y

x y

d đi qua M(1;3; 4) và có vectơ chỉ phương ad

Vậy phương trình tham số của d là

134

y y

Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a ∆ =a d = −( 2;1; 2)

∆ đi qua điểm A(3;1; 1− ) và có vectơ chỉ phương a∆ = −( 2;1; 2)

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 3 1 1

Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a ∆ =a d =(2; 1;3− )

∆ đi qua điểm M(1;3; 4− và có vectơ chỉ phương a) ∆

Vậy phương trình tham số của ∆ là

1 23

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng ( )P : 2x− + − =y z 3 0 Phương trình

chính tắc của của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−2;1;1) và vuông góc với ( )P là

A x+2 = y−1= z−1

B.x−2= y−1= z−1

Vì ∆ vuông góc với ( )P nên d có vectơ chỉ phương a ∆ =n P =(2; 1;1− )

∆ đi qua điểm M(−2;1;1) và có vectơ chỉ phương a∆

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 1 1

x+ = y− = z−

−

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x−2y+2z− =3 0.Phương trình

tham số của đường thẳng d đi qua A(2;1; 5− và vuông góc với ) ( )α là

Vì d vuông góc với ( )α nên d có vectơ chỉ phương a d =nα =(1; 2; 2− )

d đi qua A(2;1; 5− và có vectơ chỉ phương ) ad =(1; 2; 2− )

Vậy phương trình tham số của d là

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1;3− )

và vuông góc với mặt phẳng (Oxz là )

A

2

1 3

(Oxz) có vectơ pháp tuyến j=(0;1;0)

Vì ∆ vuông góc với (Oxz) nên ∆ có vectơ chỉ phương a ∆ = =j (0;1;0)

∆ đi qua điểm A(2; 1;3− ) và có vectơ chỉ phương a∆

Vậy phương trình tham số của ∆ là

213

d đi qua G(2; 1;0− ) và có vectơ chỉ phương là ad =(1; 2; 2− − )

Vậy phương trình tham số của d là

2

1 22

Câu 17 (ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2) và B(−1; 2; 4)

Phương trình d đi qua trọng tâm của OAB∆ và vuông góc với mặt phẳng (OAB là )

∆ đi qua điểm M(2;1; 5 ,− ) và có vectơ chỉ phương a∆ =a b , = −( 1;5;1)

Vậy phương trình chính tắc của ∆ là 2 1 5

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+ +y 2z− = 1 0 và đường

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )α :x−2y+2z+ = và 3 0

( )β : 3x−5y−2z− =1 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;3; 1− ), song song với hai mặt phẳng ( ) ( )α β, là

A

1 14

3 8 1

d đi qua điểm M(1;3; 1− ) và có vectơ chỉ phương là ad = n n α, β=(14;8;1)

Vậy phương của d là

1 14

3 81

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : 2x− +y 2z− =3 0 Phương trình

đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 1− − ), song song với hai mặt phẳng ( ) (α , Oyz) là

A

2

3 1

d đi qua điểm A(2; 3; 1− − và có vectơ chỉ phương là ) ad =n i α, =(0;2;1)

Vậy phương của d là

2

3 21

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )α :x−3y+ = và z 0 ( )β :x+ − + = =y z 4 0 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

A

2

d đi qua điểm M(−2;0; 2) và có vectơ chỉ phương là ad

Vậy phương trình tham số của d là

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )α :x−2y− + = và z 1 0 ( )β : 2x+2y−3z− =4 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm (1; 1; 0)

M − và song song với đường thẳng ∆ là

d đi qua điểm (1; 1;0)M − và có vectơ chỉ phương là ad =n n α, β=(8;1;6)

Vậy phương trình của d là 1 1

x− = y+ = z

Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

− Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1; 3 ,− − ) vuông góc với trục Ozvà d là

A

2

1 2 3

∆ đi qua điểm A(2; 1; 3 ,− − ) và có vectơ chỉ phương là a∆ =k a , d= −( 1;2;0)

Vậy phương của ∆ là

2

1 23

Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−3y+5z− =4 0 Phương

trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−2;1; 3 ,− ) song song với ( )P và vuông góc với trục tung là

∆ đi qua điểm A(−2;1; 3 ,− ) và có vectơ chỉ phương là a∆ = j n, P=(5;0; 2− )

Vậy phương của ∆ là

2 51

và vuông góc với đường thẳng : 1 6 2

d đi qua điểm I(1; 2;3− ) và có vectơ chỉ phương là ad =a n ∆, α= −( 1;5;8)

Vậy phương của d là

A.

1 2

1 0

x y

d đi qua điểm B(12;9;1)

Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P

( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )

BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH =n P =(3;5; 1− )

( ) ( )

12 3: 9 51

d đi qua A(0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương ad' =(62; 25; 61− )

Vậy phương trình tham số của d' là

6225

• Gọi ( )Q qua d và vuông góc với ( )P

d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương ad =(4; 3;1) ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )

( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =a n d, P= −( 8;7;11) ( )Q : 8x−7y−11z−22=0

• d' là giao tuyến của ( )Q và ( )P

Tìm một điểm thuộc d', bằng cách cho y= 0

chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: M(1; 2;3)− Gọi A là

hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz)theo phương : 1 6 2

• d đi qua điểm A(3; 2; 1− − ) và có vectơ chỉ phương AB= −( 5;1; 1− )

Vậy phương trình chính tắc của d là 3 2 1

x− = y+ = z+

Câu 35 (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2

d đi qua điểm M(−3;1;1) và có vectơ chỉ phương là ad

Vậy phương trình tham số của d là

3

1 2 1

∆ đi qua điểm A(1; 2;3) và có vectơ chỉ phương AB=(1; 3; 5− − )

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 3

x− = y− = z−

Câu 37 (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

∆ đi qua điểm A(− −4; 2; 4) và có vectơ chỉ phương AB=(3; 2; 1− )

Vậy phương trình của ∆ là 4 2 4

− và mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 2z+ =9 0 Gọi A là giao điểm của d và ( )P

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong ( )P , đi qua điểm A và vuông góc với d là:

A

1

1 4

Vậy phương trình tham số của ∆ là 1

4

x t y

∆ đi qua điểm A(1; 2; 1− ) và có vectơ chỉ phương AB=(1; 2; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 1

∆ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB=(0; 1; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là

233

d đi qua điểm A(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương a d =n P =(7;1 4− )

Vậy phương trình của d là 2 1

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB

Vậy phương trình của ∆ là 3 6 2

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB

Vậy phương trình của ∆ là 6

x = y− = z

− và

6

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC

Vậy phương trình của ∆ là 1 1 2

d đi qua điểm A(2;1; 2) và có vectơ chỉ phương a d =AB=(1;2; 1− )

Vậy phương trình của d là

2

1 2 2

mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ = và 5 0 A(1; 1; 2− ) Đường thẳng ∆ cắt d và ( )P lần lượt tại M và

N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ là

∆ đi qua điểm M(3; 2; 4) và có vectơ chỉ phương a ∆ =AM =(2; 3; 2)

Vậy phương trình của ∆ là 1 1 2

S x− + y+ + +z = và A(1; 2;1− ) Đường thẳng ∆ cắt d và ( )S lần lượt tại M

và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ là

∆ đi qua điểm A(1; 2;1− ) và có vectơ chỉ phương a ∆ =MN

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 1

Câu 48 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− = 5 0

và hai điểm A(−3; 0;1 , 1; 1; 3 ) (B − ) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( )P , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là

BH qua B và có vectơ chỉ phương a BH =n Q =(1; 2; 2− )

vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 Phương trình đường thẳng ∆ là

Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1; 2), hai đường thẳng 1

• d đi qua điểm I(1;1; 2) và có vectơ chỉ phương ad =n n 1, 2= −( 40; 20; 20− − )

Vậy phương trình đường thẳng d là

1 212

a AB

Vậy phương trình của ∆là

65292

( 3; 3; 3)

AB= − − −



d đi qua điểm A(1; 2; 2) và có vectơ chỉ phương ad =(1;1;1)

Vậy phương trình của d là x− = − = −1 y 2 z 2

Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 2,

mặt phẳng ( )P : 2x− − + = và y z 5 0 M(1; 1; 0− ) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt d và tạo với ( )P một góc 0

∆ đi qua điểm M(1; 1; 0− ) và có vectơ chỉ phương a d =MN

Vậy phương trình của ∆ là 1 1

Câu 55 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(3; 1;1− ), nằm trong mặt phẳng

( )P :x− + − =y z 5 0, đồng thời tạo với : 2

23

Câu 56 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; 1; 2− ), song song với

( )P : 2x− − + =y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

− một góc lớn nhất Phương trình đường thẳng d là

cos ,

t d

−

− + Xét hàm số ( ) (2 )2

3 6 14 9

t d

Do đó min cos (∆,d)= ⇔ = ⇒0 t 0 AM =(2; 2 1− )

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1

x+ = =y z+

−

Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba đường thẳng 1: 4

∆ đi qua điểm B(0;2;0,) và có vectơ chỉ phương là CB=(1;1;1)

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 2

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys

Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser