chuyen de dao ham bai toan van toc, gia toc, cuong do

1.1.1 Đạo hàm các hàm số cơ bản 1.1.2 Đạo hàm hàm số lượng giác 1.1.3 Quy tắc tính đạo hàm 1.2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 1.3.1 Bài toán vận tốc tức thời 1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời 1.3.3 Bài toán cường độ dòng điện tức thời

Tài li u ôn thi THPT qu c gia ệu ôn thi THPT quốc gia ốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM

§1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1.1 Đạo hàm các hàm số cơ bản

Ví dụ

 f u( ) ' f u u'( ) '

  x n ' nx n 1,n N n, 1

    u n ' nx u n 1 '

 (2x1)4'4(2x1) 2 8(23  x1)3

  x ' 21

x

u

x x





'

2

 



 

 

' 2

 



 

 

'

x



  e x ' e x  e u 'e u u ' e 2x' e 2x( 2 ) 'x 2e 2x

 ln x' 1

x

u

x x



1.1.2 Đạo hàm hàm số lượng giác

 sinx' cosx sin(ax b )' acos(ax b ) sin(2x1)' 2cos(2x1)

 cosx' sinx cos(ax b )' asin(ax b ) cos(2 )x ' 2sin(2 )x

 tan ' 12

cos

x

x

cos ( )

a

ax b

ax b

 tan(2 1)' 2 2

cos (2 1)

x

x



 cot ' 12

sin

x

x

sin ( )

a

ax b

ax b

 cot(2 1)' 2 2

sin (2 1)

x

x



1.1.3 Quy tắc tính đạo hàm

 (u v ) ' u v' '  ( ) 'uv u v uv'  '

 ( ) 'u u v uv' 2 '



  ( ) 'ku ku'

1.1.4 Ví dụ

1 Đạo hàm của hàm số 3 2

Tài li u ôn thi THPT qu c gia ệu ôn thi THPT quốc gia ốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa

2 Đạo hàm của hàm số y x x 2 2x là:

A 22 2

2

x

y





2 2

2

y





2 2

2

y





2 2

2

y

 





Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm ( ) 'u u v uv' 2 '



3 Đạo hàm của hàm số ycos 22 x là:

A y2sin 2x B y2sin 2x C y4sin 2x D y4sin 2x

Hướng dẫn: Áp dụng đạo hàm hàm số lượng giác và đạo hàm hợp

4 Đạo hàm của hàm số

2 3 1 khi 1 ( )

2 2 khi 1

f x



A '( ) 2 3 khi 1

2 khi 1

f x

x







2 khi 1

f x

x









C '( ) 2 3 khi 1

2 khi 1

f x

x







2 khi 1

f x

x









Hướng dẫn:

 Nếu x 1, f x( ) 2 x 2 f x'( ) 2

 Nếu x 1, lim ( ) lim1 1 2 3 1 1 (1) 4

Suy ra hàm số không liên tục tại x 1, do đó hàm số không có đạo hàm tại x 1

2 khi 1

f x

x









§1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 1.2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1.2.2 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số yf x( ) tại M x y( ; )0 0

Phương trình tiếp tuyến có dạng: :yf x'( )(0 x x 0)y0 (*)

Bước 1: Xác định x y0, 0

Bước 2: Tính đạo hàm y'f x'( ) Suy ra f x'( )0

Bước 3: Thế vào phương trình (*)

Chú ý:

Tài li u ôn thi THPT qu c gia ệu ôn thi THPT quốc gia ốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa

 Đề bài thường chỉ cho biết trước x0 hoặc y0 Có x0 thế vào hàm số yf x( )tìm

0

y , ngược lại, có y0 ta cũng thế vào hàm số yf x( )giải phương trình tìm x0

 Thường x y0, 0phải tìm thông qua các giả thiết của đề bài: tìm x0 bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong đề bài cho

1.2.3 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số yf x( ) biết hệ số góc k

Phương trình tiếp tuyến có dạng: :yf x'( )(0 x x 0)y0(*)

Bước 1: Xác định hệ số góc k

Bước 2: Giải phương trình f x'( )k tìm x0; có x0 thế vào hàm số yf x( )tìm y0 Bước 3: Thế vào phương trình (*)

Chú ý:

Cho phương trình đường thẳng d y ax b:  

 Nếu  song song d suy ra k a

 Nếu  vuông góc d suy ra k 1

a





 Phương trình tiếp tuyến hợp với trục ox một góc suy ra k  tan

1.2.4 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số yf x( ) qua A x y( ;A A)

Phương trình tiếp tuyến có dạng: :y k x x (  A)y A (y g x ( )) (*)

Bước 1: Tính đạo hàm y'f x'( )

Bước 2: Giải hệ phương trình:

'( ) ( ) ( )









 Tìm được x suy ra giá trị k

Bước 3: Thế giá trị k tìm được vào phương trình (*)

Chú ý: Chỉ thế giá trị k tìm được vào phương trình (*), không thế cả giá trị x tìm được vào phương trình (*)

1.2.4 Ví dụ

1 Cho hàm số 3

yf x x  x (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ x 0 3 là?

Tài li u ôn thi THPT qu c gia ệu ôn thi THPT quốc gia ốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa

0 3 0 19

2

' '( ) 3 3 '(3) 24

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y24(x 3) 19  y24x 53

2 Cho hàm số yf x( )x3 3x1 (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng d y: 9x2là?

Hướng dẫn:

2

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y9(x 2) 3  y9x15

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y9(x2) 1  y9x17

3 Cho hàm số 3

yf x x  x (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số qua điểm ( ; 1)2

3

Hướng dẫn:

3

y k x

   

Hệ số góc k là nghiệm của hệ phương trình:

2

3

2

3









3

Suy ra: x  0 k  3; x  1 k  0

§1.3 Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM 1.3.1 Bài toán v ận tốc tức thời

Tài li u ôn thi THPT qu c gia ệu ôn thi THPT quốc gia ốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa

Cho một vật chuyển động với quảng đường có phương trình y s t ( ) Khi đó,

vận tốc tức thời (v) tại thời điểm t t0 (nếu có) là giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

t t

t t





Từ đó suy ra: v t( )0 s t'( )0

1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời

Cho một vật chuyển động với vận tốc có phương trình y v t ( ) Khi đó, gia tốc

tức thời (a) tại thời điểm t t0 (nếu có) là giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

t t

t t





Từ đó suy ra: a t( )0 v t'( )0

1.3.3 Bài toán c ường độ dòng điện tức thời

Điện lượng chuyền trong dây dẫn có phương trình y q t ( ) Khi đó, cường độ

dòng điện tức thời (i) tại thời điểm t t0 (nếu có) là giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

t t

t t





Từ đó suy ra: i t( )0 q t'( )0

1.3.4 Ví dụ

1 Một cano chạy với phương trình chuyển động 3 2

s t  t  t  t Vận tốc tại t 3

và gia tốc tại t 6 là bao nhiêu?

Av(3) 53; (6) 116 a  B v(3) 107; (6) 374 a 

C v(3) 62; (6) 374 a  D v(3) 107; (6) 116 a 

( ) '( ) 9 8 2 (3) 107

v t s t  t  t  v  ;a t( )v t'( ) 18 t 8 a(6) 116

2.(TS 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

3

s t  t  t với (giây) là khoảng 𝑡 (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di chuyển 𝑠 (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn:

Suy ra v 36(m/s) lớn nhất khi t 6 (s