Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

Phương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông gócPhương pháp và bài tập quan hệ vuông góc

Trang 1

WWW.DAYHOCTOAN.VN Fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

(ÔN TẬP CHƯƠNG III)

 Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :

; 90

a   b a b 

 b / / c

a b

a c



 

 

 a   b   a b   0 Nếu   a , b

lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b

 Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc

( )

a

a b b



 

 



 a / /

b a b



  



 



 

'

a hch a

b a





   



 

;

 

'

a hch a

b a





   



 

 ABC a ; AB

a BC

a AC

 



 Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :

 a       a b 



a b

b c O



 



    



  



 a / / b     a 

   / /    a a 

 AB       M MA |  MB  (  là mặt phẳng trung trực của AB)



 

ABC

OA OB OC







   

 

   

 



   



   

Trang 2

WWW.DAYHOCTOAN.VN fanpage: www.facebook.com/dayhoctoan.vn



   

 

 



   



  

 Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :

, 90

P  Q  P Q 

  

P a

a Q

   



 

   



 Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp :Có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Cách 1:(theo phương pháp hình học)

 Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng

lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho

 Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O

 Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính

 Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)

 Tìm   u1 , u2

lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng     1 à 2

 Khi đó     1 2

1 2

cos , cos u u , u u

u u



 

 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp :

      0

, 90

a    a   ;

 / /    0

, 0

a

a a





 

      ,   , ' 

'

a

a hch a





 

o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH     tại H , suy ra

 

hch a   a AH A   a     a  ,   MAH 

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 Cách 1 : Dùng định nghĩa :

    

 P , Q     a b  , trong đó :  

 

a P

b Q

 



q

Trang 3

 Cách 2 : Dùng nhận xét :

       

   

    

    



  

 Cách 3 : Dùng hệ quả :

 

   

    

P



.

 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp :Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ

điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :

 Cách 1 :

 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)

 Xác định m      P  Q

 Dựng MH   m     P  Q ,

 

MH P

suy ra MH là đoạn cần tìm

 Cách 2:Dựng MH / /     d  

o Chú ý :

 Nếu MA / /     d M  ,      d A  ,    

 Nếu MA      I    

 

 , , 



 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:

 Khi  

a P

d a P

a P









 Khi a / /   P

 

 ,   ,   

d a P d A P

  với A    P

 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :

    P Q d      P , Q  0









 Khi     P / / Q

   

 ,   ,   

d P Q d M Q

với A    P

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Trang 4

    '      , '  0

  



   



  

 Khi      / /   ' d         , '  d M  ,     '  d N  ,     với M     , N     '

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

   và    ' là đường thẳng   a cắt    ở M và cắt

   ' ở N đồng thời vuông góc với cả    và    '

 Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau    và    '

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đườngthẳng đó

 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b Tính khoảng cách từ b đến

mp(P)

 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai

mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm

 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :

 Cách 1:Khi a  b

 Dựng một mp P    b P ,    a tại H

 Trong (P) dựng HK  b tại K

 Đoạn HK là đoạn vuông góc

chung của a và b

 Cách 2:

 Dựng   P  b P ,   / / a

 Dựng a '  hch a P , bằng cách lấy M  a

dựng đoạn MN     , lúc đó a’ là

đường thẳng đi qua N và song song a

 Gọi H   a ' b , dựng HK / / MN

HK

 là đoạn vuông góc chung cần tìm

(a)

'



M

N

Trang 5

 Một số bài tập ôn tập chương

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,ABBCa AD, 2a, các mặt phẳng

 SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD 

a) Chứng minh SA   ABCD 

b) Chứng minh  SAC    ABCD 

c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S ABCD đều là các tam giác vuông

d) Khi SAa 6 Tính góc giữa SD với mặt phẳng  ABCD  và góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và

 SCD 

d) Tính các khoảng cách : d A SCD  ,    ; d CD  ,  SAB   ; d SD AC  , 

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a

a) Tính đường cao của hình chóp

b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy

c) Tính d(O, (SCD))

d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC

e)Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’ Tứ giác ABC’D’ là

hình gì? Tính diện tích của thiết diện

Cho hình chữ nhật ABCDcó AD6,AB3 3 Lấy điểm M trên cạnh ABsao cho MB2MBvà N là trung điểm của AD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại Mlấy điểm S sao cho SM 2 6 a) Chứng minh AD   SAB   ; SBC    SAB  ;

b) Chứng minh  SBN    SMC  ;

c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng  SMC  :

d) Xác định vị trí điểm P SM sao cho      0

(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM)

(*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC)

a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB BE, CF lần lượt là đường cao của SBC Chứng minh (MBE) vuông

góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC)

c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC Chứng minh OH vuông góc với (SBC)

d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC) Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi ()

khi SA = 2a

e) Gọi K là giao điểm của SA và OH Chứng minh AK.AS không đổi Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất

a Khi SA = a 3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD)

a) Chứng minh SCD cân

b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC

Cho OAB cân tại O OA = OB = a ,  0

120

AOB Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho AM x BN,  y

a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuông tại O

b) Cho OMN vuông tại O và x + y =

2

3a Tính x, y ( x < y )

Trang 6

c) Với kết quả câu b) Tính gĩc OMN OAB, 

d) Giả sử M , N lưu động sao cho y 2x Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định

(*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI  x , 0    x a 

a) Chứng minh khi x4 15a thì gĩc giữa DI và AC’ bằng 600

b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích ấy

nhỏ nhất

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x

Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ ABa SA, a 2 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

SA SB CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với đường thẳng SP Tính khoảng cáh từ P đến

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , ABa AA, '2 ,a A C '  3 a Gọi

M là trung điểm của đoạn thẳng A C ' ', I là giao điểm của AM và A C ' Tính theo a khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng  IBC  (KHỐI D NĂM 2009)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'cĩ BB '  a, gĩc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng  ABC bằng 600

;

ABC là tam giác vuơng tại C và  0

60

BAC Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng  ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính khoảng cách ttừ A'đến mặt phẳng  ABC  và diện tích của tam giác ABC

(KHỐI B NĂM 2009)

Cho hình chóp S.ABCDcĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D,AB AD2 ,a CDa, ; góc giữa hai mặt phẳng  SBC và  ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng  SBI  và

 SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD và diện tích của hình thang ABCD (KHỐI A NĂM 2009)

Cho hình chóp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh S trên

mă ̣t phẳng (ABCD) là điểm H thuơ ̣c đoa ̣n AC,

4

AC

AH  Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứ ng minh

M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC theo a

(KHỐI D NĂM 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' 'cĩ AB  a, gĩc giữa hai mặt phẳng  A BC '  và  ABC bằng 600

Gọi G là trọng tâm tam giác A BC ' Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A B C ' ' '  Tìm điểm M

cách đều bốn điểm G A B C, , , tính khoảng cách từ M đến các điểm đĩ theo a

(KHỐI B NĂM 2010)

Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCDlà hình vuơng cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD ; Hlà giao điểm của CN và DM Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng  ABCD  và SH a 3 Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

(KHỐI A NĂM 2010)

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng , ABBCa AA, 'a 2 GọiM là trung điểm của đoạn thẳng BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C '

(KHỐI D NĂM 2008)

Trong mặt phẳng   P cho nửa đường trịn đường kính AB2R và điểm C thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho

AC  R Trên đường thẳng vuơng gĩc với   P tại A lấy điểm S sao cho  SAB , SBC   600 Gọi H K,

lần lượt là hình chiếu của A trên SB SC, Chứng minh tam giác AHK vuơng và tính diện  ABC và khoảng cách từ S đến   P (KHỐI A NĂM 2007)

Trang 7



Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	620,08 KB