chuyen de luat manh so lon

6.5 Luật mạnh số lớn (điều kiện cần và đủ) Định lý 6.12 Để dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số , điều kiện cần và đủ là thỏa mãn điều kiện: Ước lượng tăng của tổng của biến ngẫu nhiên độc lập trong số hạng tổng moment của chúng

6.5 Luật mạnh số lớn (điều kiện cần và đủ)

Bổ đề 6.15 Giả sử và là hai dãy các biến cố Chúng ta giả sử rằng cho mỗi Biến cố và là những biến cố độc lập (

là phần bù của và giả sử rằng và là độc lập Nếu cho tất

Chứng minh:

Bổ đề 6.16 Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên và là hai dãy số thực.Với mọi , ta có bất đẳng thức sau:

i)

ii)

Chứng minh:

Chúng ta xét một dãy biến ngẫu nhiên , với mỗi , và có chung phân phối, và và là độc lập Chúng ta đặt

Với mọi Chúng ta đặt suy ra Bổ đề 6.15 và bất

Từ đây chúng ta thu được kết quả i) Nếu chúng ta thay bởi - trong i), chúng ta được kết quả đầu tiên của ii) Còn chú ý rằng

Bổ đề 6.17 Giả sử là dãy các biến ngẫu nhiên và là hai dãy số thực Nếu

a.s., khi đó a.s và .Nếu a.s., khi đó a.s Với mọi dãy số thỏa điều kiện

Chứng minh: Bổ đề này là hệ quả của Bổ đề 6.8 và 6.16

Giả sử là dãy số thực khác không Chúng ta cố định hằng số tùy ý Giả

sử là số nguyên lớn nhất sao cho , nếu có nhiều hữu hạn số nguyên; với những số nguyên đó ta đặt Hơn nữa, chúng ta đặt và

Định lý 6.12 Để dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số , điều kiện cần và đủ là thỏa mãn điều kiện:

i) hoặc tất cả là suy biến

ii)

Chứng minh:

Chứng minh điều kiện cần Nếu tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số , khi đó a.s theo bổ đề 6.17 giả sử không cố định Khi đó, tồn tại dãy

số nguyên vô hạn sao cho Chúng ta có a.s Thật vậy, chuổi , hội tụ hầu khắp nơi (Chúng ta đặt ) Hơn nữa, tổng của

chuổi này bằng không Với mọi chuổi hội tụ hầu khắp nơi và tổng của nó bằng - a.s Chuổi cuối cùng và - là những biến ngẫu nhiên độc lập, và đẳng thức này kéo theo sự suy biến của biến ngẫu nhiên cùng phân phối Tất cả biến ngẫu nhiên cùng phân phối theo điều kiện i) nói đến bất đẳng thức , chúng ta thu được a.s và a.s Ứng dụng bổ đề 6.17 và bổ đề Borel-Cantelli, chúng

ta thu được ii)

Chứng minh điều kiện đủ Trường hợp tất cả suy biến cùng phân phối là tầm thường Giả sử điều kiện ii) và được thỏa mãn Sử dụng bổ đề 6.17 và Lévy’s bất đẳng thức , chúng ta có được

Chúng ta đặt

Nếu theo (*) , bổ đề Borel-Cantelli và bổ đề 6.8 thì a.s Thật vậy, a.s Nếu ,

cho Áp dụng bổ đê 6.17 hơn một lần, chúng ta kết luận rằng dãy tuân theo luật mạnh số lớn dãy số

6.6 Ước lượng tăng của tổng của biến ngẫu nhiên độc lập trong số hạng tổng moment của chúng

Định lý 6.13 Giả sử là hàm chẵn, liên tục, dương tăng nghiêm ngặt trong khoảng và giả sử khi Giả sử ít nhất một rong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

i) không giảm trong khoảng

ii) và không tăng trong khoảng

Và

Đặc biệt, nếu điều kiện ii) được giữ và giả sử

Khi đó

a.s

Với mọi hàm Ở đây là hàm ngược của

Chứng minh được từ cơ sở của định lý 6.4 và theo mệnh đề cơ sở

Bổ đề 6.18 Giả sử là dãy số không âm, Khi đó chuổi

hội tụ với mọi

Chứng minh

Giả sử sao cho và Chuổi hội tụ và tích phân

Theo định lý giá trị trung bình, chúng ta có

Từ và

Chúng ta thu được sự khẳng định của bổ đề

Chúng ta hoàn thành chứng minh định lý 6.13 Giả sử Theo giả thiết của định lý, tồn tại một hàm ngược, dương trong khoảng Chúng ta đặt

Khi đó

Chúng ta chú ý rằng Theo định lý 6.4 và chuổi

hội tụ a.s Do đó a.s.theo bổ đề 6.11

Định lý 6.14 Giả sử là hàm chẵn, liên tục, dương tăng nghiêm ngặt trong

tồn tại một dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập, thỏa mãn điều kiện

), ,nhưng không thỏa mãn điều kiện a.s.

Chứng minh:

Chúng ta xét dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cho nhận giá trị

, với mỗi xác suất và giá trị không với xác suất , trong khi cho , nhận giá trị với xác suất Ở đây và thỏa

và , Theo giả thiết chúng ta có , thỏa mãn điều kiện

Cuối cùng chuổi phân kỳ, từ Trong kết quả của bổ đề 6.12 và đẳng thức chúng ta kết luận rằng biểu thức a.s không đúng

Định lý 6.15 Giả sử

lực

Định lý 6.16 Với mọi hàm và với mọi số p dương thì tồn tại một dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập thỏa mãn điều kiện:

i)

Định lý 6.18 Với mọi hàm tồn tại một dãy biến ngẫu nhiên độc lập với trung bình bằng không và phương sai hữu hạn để và

a.s không thỏa.

Chứng minh:

Định lý 6.17 kéo theo tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập của biến hữu hạn

và biến ngẫu nhiên tăng không bị chặn, , với mọi

a.s

a.s

a.s.

Trong định lý 6.18 chúng ta không thể thay bằng giá trị không

Chúng ta sử dụng kết quả này trong luật mạnh số lớn với hằng số chuẩn cổ điển

a.s

Theo định lý 4.16 và điều kiện Markov’s

Mặc dù , là điều kiện đủ áp dụng cho luật mạnh số lớn, để

theo xác suất với sự hỗ trọ của định lý 6.17 chúng ta có thể đề nghị điều kiện là điều kiện đủ cho luật mạnh số lớn

Định lý 6.19 Cho hàm , khi đó giữ điều kiện Mặt khác, với mọi để là không giảm trong miền thì thì tồn tại một dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập thỏa mãn điều kiện nhưng

Chứng minh:

Chúng ta sẽ chứng minh khẳng định đầu tiên Giả sử , với mọi hàm , chúng ta chú ý rằng với mọi hàm thỏa mãn điều kiện

Chúng ta có thể thừa nhận , từ chuổi hội tụ và ; khi đó định lý 6.7 trực tiếp cho khẳng định đòi hỏi

Với mọi chúng ta có a.s theo định lý 6.17 Thật

Sử dụng , và sử dụng hàm của tập hợp là không giảm, chúng

Bây giờ chúng ta chọn để bị chặn với n đủ lớn Để kết thúc điều này, chung ta đặt , và cho giá trị n không phải là số nguyên chung ta chọn như cách làm nó không giảm, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng hội tụ, và chúng ta sẽ chứng minh rằng

Chuổi có thể được viết lại

Rõ ràng

a.s

Bây giờ, chúng ta chứng minh khẳng định thứ 2của định lý Giả sử và

là không giảm Chúng ta xét dãy biến ngẫu nhiên độc lập để biến nhận giấ trị 0, n, và n với xác suất , , và ở đây thỏa điều kiện Cho giả sử nhận giá trị 1, -1, xác suất là ½ Khi

Theo bổ đề Borel-Cantelli, nếu dãy số thỏa điều kiện a.s., chúng

Định lý 6.20 Giả sử biến ngẫu nhiên độc lập với hàm phân phối chuẩn Giả sử hàm đặc trưng thỏa điều kiện Cramér:

Định lý 6.21 Giả sử biến ngẫu nhiên phân phối đồng nhất, độc lập với hàm đặc trưng thỏa điều kiện Cramér Giả sử và Khi đó

a.s., với mọi hàm