Điểm suy biến của giả khoảng cách kobayashi trên đa tạp phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LƯU THỊ THÀNH ĐIỂM SUY BIẾN CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯU THỊ THÀNH

ĐIỂM SUY BIẾN CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI

TRÊN ĐA TẠP PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Tài Thu

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

Phần mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Hàm chỉnh hình một biến 4

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 9

1.3 Hàm điều hòa dưới 16

1.3.1 Hàm nửa liên tục trên 16

1.3.2 Hàm điều hòa dưới 17

1.4 Định lí Hartogs 20

1.5 Đa tạp phức 22

Chương 2 Điểm suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức 25

2.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức 25

2.2 Quỹ tích suy biến 27

2.3 Bổ đề Ahlfors 28

2.4 Đường cong hầu đóng 32

2.5 Tập con giả lõm 35

2.6 Định lý Adachi - Suzuki 37

2.7 Quỹ tích điểm suy biến dọc theo đường cong 39

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu Thầy đã tận tình hướng dẫn vàgiải đáp những thắc mắc của em, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củatrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 08 năm 2017

Tác giả

Lưu Thị Thành

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS Lê Tài Thu luận văn Thạc sĩ chuyênngành Toán Giải tích với đề tài "Điểm suy biến của giả khoảngcách Kobayashi trên đa tạp phức" được hoàn thành bởi sự nhậnthức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 08 năm 2017

Tác giả

Lưu Thị Thành

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Shoshichi Kobayashi (1932 – 2012) là nhà toán học có những đónggóp quan trọng nhất đối với lĩnh vực hình học vi phân trong nửa cuốithế kỉ XX Ông đã để lại một di sản toán học vô cùng lớn trong lĩnh vựchình học vi phân Một số cuốn sách của Kobayashi là tài liệu tham khảorất có giá trị trong hình học vi phân và hình học phức, mà một trong số

đó là hai tập sách “Foundations of Differential Geometry”(1963 – 1969)

do ông và Katsumi Nomizu đồng tác giả

Lý thuyết về các không gian phức Hyperbolic được Kobayashi xâydựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỉ XX, là một trong nhữnghướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Trong những năm gầnđây, lý thuyết này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán họctrên thế giới Bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau, các nhà toán học đã

mở rộng các vấn đề có liên quan và giải quyết được nhiều bài toán đượcđặt ra trong lĩnh vực đó Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩyhướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ

Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức được Kobayashi giớithiệu năm 1967, từ đó hình thành một hướng nghiên cứu mới của giảitích phức và được gọi là giải tích phức Hyperbolic

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về metric Kobayashi, dưới sựđịnh hướng của TS Lê Tài Thu, tôi đã chọn đề tài "Điểm suy biến

của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức" để thực hiệnluận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành ToánGiải tích.

Bố cục của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 : Điểm suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạpphức

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại một số kết quả đã biết về điểm suy biến, quỹ tích điểmsuy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến của giả khoảngcách Kobayashi trên đa tạp phức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về điểm suy biến, quỹ tích điểmsuy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến của giả metricKobayashi trên đa tạp phức

5 Phương pháp nghiên cứu

• Áp dụng một số phương pháp của giải tích phức, vận dụng các kếtquả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến

• Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có Từ đó

hệ thống lại các vấn đề liên quan đến luận văn

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Hệ thống lại một số kết quả đã biết về điểm suy biến của giả khoảngcách Kobayashi trên đa tạp phức

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống lại các khái niệm: Hàm chỉnhhình, hàm điều hòa dưới, một số tính chất của hàm chỉnh hình và hàmđiều hòa dưới Giới thiệu được định lí Hartogs và nhắc lại định nghĩa đatạp phức Nội dung được chọn lọc từ tài liệu số [1],[8]

Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ C với giátrị trong C và z0 là điểm tụ của Ω hữu hạn hay là điểm xa vô tận

Số phức a ∈ C gọi là giới hạn của hàm f (z) khi z dần đến z0 và viết

lim

z→z 0

f (z) = a,nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho f (z) ∈ Vvới mọi z ∈ U ∩ Ω, z 6= z0

Hàm f gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau đượcthỏa mãn

(i) z0 là điểm cô lập của Ω Nói cách khác tồn tại lân cận U của z0(trong Ω) sao cho U ∩ Ω = {z0}

(ii) Nếu z0 không là điểm cô lập của Ω thì lim

z→z 0

f (z) = f (z0) Hàm f được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi z ∈ Ω Hàm f được gọi là liên tục đều trên Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1, z2 6=

∞, z1, z2 ∈ Ω, |z1 − z2| < δ, |f (z2) − f (z1)| < ε

Rõ ràng nếu f liên tục đều trên Ω thì nó là hàm liên tục trên Ω

Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C Xét giớihạn

lim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z ; z, z + ∆z ∈ Ω.

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của

f tại z , kí hiệu là f0(z) hay df

f0 (z) = 2z (z − 2) − z

2

(z − 2)2 =

z2 − 4z(z − 2)2, z 6= 2Như vậy f là C− khả vi tại z 6= 2

Định nghĩa 1.1.4 Hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong

C gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là C− khả vi tạimọi z ∈ D (z0, r) ⊂ Ω

Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω

Ví dụ 1.1.3 Cho hàm f (z) = 2z3 + 3z2 − 12z + 1 xác định trên C.Khi đó f0(z) = 6z2 + 6z − 12

Như vậy f là C− khả vi tại mọi z ∈ C Khi đó f chỉnh hình trên toànmặt phẳng C

Ví dụ 1.1.4 Hàm f (z) = 1

z chỉnh hình trên tập mở bất kỳ ∆ khôngchứa điểm gốc và f0(z) = − 1

là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép đảo nghịch.Như vậy khi z0 hữu hạn còn f (z0) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu1

f (z) chỉnh hình tại z0, còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu

f (1/z) chỉnh hình tại 0

Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi Ω ⊂ C và f hữu hạn

Dưới đây là một số tính chất của hàm chỉnh hình

Định lí 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnhhình trên Ω Khi đó

(i) H(Ω) là một không gian vecto trên C;

(ii) H(Ω) là một vành;

(iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ Ω thì 1/f ∈ H (Ω);

(iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.Định lí 1.1.2 (Về hàm hợp) Nếu f : Ω → Ω∗ và g : Ω∗ → C là cáchàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω∗ là các miền trong mặt phẳng (z) và (w),thì hàm g ◦ f : Ω → C là hàm chỉnh hình

Định lí 1.1.3 Giả sử chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

Cnzn có bán kính hội tụ R > 0.Khi đó tổng f (z) của nó chỉnh hình tại mọi z với |z| < R và đạo hàmphức của nó là

∞

P

n=1

nCnzn−1.Sau đây là điều kiện Cauchy – Riemann

Giả sử f (z) = u (x, y) + iv (x, y) , z = x + iy xác định trong miền Ω ⊂ C.Hàm f được gọi là R2− khả vi tại z = x + iy nếu các hàm u(x, y) vàv(x, y) khả vi tại (x, y)

Định lí 1.1.4 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f là C− khả vi(khả vi phức) tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là hàm f là R2−khả vi tại z và điều kiện Cauchy – Riemann sau được thỏa mãn tại z

thức tích phân Cauchy

f (z0) = 1

2πiZ

f(n)(a)

≤ n!M (a, r)

Định lí 1.1.10 (Bổ đề Schwarz ) Giả sử f là hàm chỉnh hình biến hìnhtròn đơn vị D(0, 1) vào chính nó, hơn nữa giả sử f (0) = 0 Khi đó

(i) |f (z)| ≤ |z| với mọi z ∈ D(0, 1),

(ii) Nếu |f (z0)| = |z0| với điểm z0 nào đó trong D(0, 1) khác không thì,

f (z) = αz trong đó |α| = 1

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến

Không gian phức Cn là tích Descartes của n không gian vecto C Vậy

Cn là không gian vecto trên trường C

Cho z = (z1, z2, , zn) ∈ Cn Với mỗi z ∈ Cn hai chuẩn trên Cn thườngđược sử dụng là chuẩn Euclide

Đa đĩa mở tâm a bán kính r là tập hợp

P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r}

Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp

P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| ≤ r} Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm R2n− khả vi

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω.Hàm f : Ω → C gọi là R2n− khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồntại vi phân

Ta có

dxk = 1

2(dzk + dzk) , dxn+k =

12i(dzk − dzk) Theo đạo hàm của hàm hợp ta có,

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω Hàm f : Ω → C gọi là Cn khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu f làhàm R2n− khả vi tại a và tại điểm này

∂f

Cn− khả vi trong Ω.

Định nghĩa 1.2.3 Cho z0 ∈ Ω, với Ω là tập mở trong Cn Hàm f :

Ω → C được gọi là chỉnh hình tại z0 nếu f là hàm Cn- khả vi tại mọiđiểm trong một lân cận nào đó của z0

Hàm f : Ω → C được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi

P = {z ∈ Cn : |zv − av| ≤ rv, ∀v = 1, 2, , n} ,thì tại mỗi điểm z ∈ P hàm f được biểu diễn dưới dạng tích phân bộiCauchy

trong đó, Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên

γv = {|ξv − av| = rv, ∀v = 1, , n} Chứng minh Với bất kì z ∈ P , gọi z0 và P0 tương ứng là hình chiếu của

z và P trong không gian Cn−1, ta có z0 ∈ P0

Hàm f (z) = f z0, zn
chỉnh hình theo biến zn, trong hình tròn

{|zn− an| ≤ r}

Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta thu được

f (z) = 1

2πiZ

γn

f z0, ξn
(ξn− zn)dξn,với ξn ∈ γn và z0 ∈ P0 tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễnbởi tích phân Cauchy theo biến zn−1 Hơn nữa, do f liên tục theo tậphợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích

γn−1 × γn Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z1 ta thu đượccông thức (1.7)

Định lí 1.2.2 Nếu hàm f liên tục trong đa tròn đóng P ⊂ Cn theo tậphợp các biến và tại mỗi điểm z0 ∈ P , chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tạimỗi điểm z ∈ P hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa

Z

Γ

f (ξ)(ξ − a)k+1dξ,

ở đây dξ = dξ1 dξn, trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích củacác vòng tròn biên

Mặt khác, với bất kì z ∈ P chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối và đều trên Γtheo ξ Nhân chuỗi (1.10) với hàm f (ξ)

(2πi)n, hàm này liên tục trên Γ nên

bị chặn trên Γ Sau đó lấy tích phân từng phần ta thu được biểu diễn(1.8)

Định lí 1.2.3 Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a ∈ Cn và (1.8) là khaitriển thành chuỗi lũy thừa của f trong một lân cận của a, thì các hệ sốcủa chuỗi lũy thừa này được xác định theo công thức Taylor

z=a

,trong đó k! = k1! kn!

Định lí 1.2.4 (Bất đẳng thức Cauchy ) Nếu f là hàm chỉnh hình trong

đa tròn đóng P = {|zv − av| ≤ rv} và |f | ≤ M trên khung Γ của nó, thìcác hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn bất đẳngthức

a ∈ Ω, thì f ≡ 0

Chứng minh Đặt G = {z ∈ Ω : f = 0} trong một lân cận của z

Hiển nhiên, G mở và vì f có khai triển thành chuỗi lũy thừa trong mộtlân cận của a, do đó f = 0 trong một lân cận của a Vậy a ∈ G

Ta chứng minh G đóng trong Ω Giả sử z0 ∈ ∂G Khai triển f thànhchuỗi lũy thừa

ck = 1k

∂kf (z)

∂zk = 0,

z0 ∈ G Do Ω liên thông G = Ω có nghĩa là f ≡ 0.

Định lí 1.2.6 (Nguyên lý môđun cực đại) Nếu f chỉnh hình trên miền

Ω ⊂ Cn sao cho |f | đạt cực đại tại a ∈ Ω thì f là hàm hằng trên Ω.Chứng minh Xét đường thẳng giải tích tùy ý l (ξ) = a + ωξ đi qua a.Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm ϕω(ξ) = f ◦ l (ξ) , hàm nàychỉnh hình trong hình tròn {|ξ| < ρ} nào đó, còn |ϕω| chỉ đạt cực đại khi

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n = 1 định lý đã được chứng minh cho hàm một biến

Giả sử định lý đúng cho hàm n−1 biến Ta chọn các điểm tùy ý a, b ∈ Cn,

do theo giả thiết quy nạp nên hàm f z0, an
là hàm hằng

Do đó, f (a) = f b0, an

Mặt khác, hàm f b0, an
cũng là hằng số, như vậy f b0

, an
= f (b) Do

đó, f (b) = f (a), nghĩa là định lý đúng cho hàm n biến

Định lí 1.2.8 (Weierstrass) Giả sử dãy hàm {fv} chỉnh hình trên Ωhội tụ đều tới hàm f trên mọi compact trong Ω Khi đó f chỉnh hìnhtrong Ω và ngoài ra

∂kfv

∂zk → ∂

kf

∂zk

đều trên mọi compact trong Ω và mọi k ∈ Z+n.

Chứng minh Trường hợp một biến phức hàm f chỉnh hình phân biệttrên Ω

Mặt khác, f liên tục vậy nó chỉnh hình trên Ω Ngoài ra từ công thứctích phân Cauchy (1.7) suy ra

∂kfv

∂zk → ∂

kf

∂zk

hội tụ đều trên mọi compact trong Ω

Định nghĩa 1.2.5 (Tách chỉnh hình) Giả sử Ω là một tập mở trong

Cn, n ≥ 2 Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theomỗi biến khi ta cố định các biến còn lại

1.3 Hàm điều hòa dưới

1.3.1 Hàm nửa liên tục trên

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm nửa liên tục trên) Giả sử Ω là một tập con

mở trong Cn và hàm u : Ω → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tụctrên nếu lim

z→z0 sup u (z) ≤ u (z0), với mọi z0 ∈ Ω Một cách tương đương

u−1([−∞, a)) là mở với mọi −∞ < a < +∞

Định lí 1.3.1 Giả sử hàm u là nửa liên tục trên và bị chặn trong khônggian metric (X, d) Khi đó tồn tại một dãy các hàm liên tục Φn : X → Rvới

lim

n→∞Φn(x) = u (x) , x ∈ X

1.3.2 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.3.2 (Hàm điều hòa dưới) Giả sử Ω là tập mở trong C.Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu hàm u là nửaliên tục trên trên Ω, u 6= ∞ trên bất kì một thành phần liên thông của

Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi

z ∈ Ω tồn tại ς > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < ς ta có

Kí hiệu tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên Ω là SP (Ω)

Định lí 1.3.2 Hàm u : Ω → [−∞, +∞) nửa liên tục trên trên miền

Ω ⊂ Cn là điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi: Với mỗi z ∈ Ω và mọi

Do u nửa liên tục trên nên tồn tại ε > 0 và cung γ ⊂ ∂U sao cho

u (ξ) < u (z0) − ε, ∀ξ ∈ γ Lấy cung z1 ∈ γ1 ⊂ γ và xây dựng trên ∂Umột hàm liên tục h (ξ) sao cho

h|γ

1 = u (z0) − ε, h|∂U \γ = u (z0)

nhưng vế phải của (1.11) < u (z0)

Định lí 1.3.4 Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Ω và miền G ⊂ Ωthì với mọi hàm h liên tục trên G điều hòa trong G mà h ≥ u trên ∂Gthì h ≥ u trên G

Chứng minh Đặt v = u − h Hàm này nửa liên tục trên trên G vì vậy

nó đạt cực đại trên G với giá trị cực đại là M

Ta chỉ cần chứng minh M ≤ 0

Kí hiệu C = {z ∈ G : v (z) = M }

Theo định lý trên C là tập mở trong G Ngoài ra do v nửa liên tục trên

và M là giá trị cực đại của v trên C đồng thời là tập đóng

Nếu C = ∅ thì giá trị M đạt trên ∂G, vì vậy M ≤ 0

Nếu C 6= ∅ thì C = G và khi đó v ≡ M trên G Do tính nửa liên tụctrên của v ta suy ra v ≡ M trên G Do tính nửa liên tục trên V ta suy

ra V ≡ M trên G Vì thế M ≤ 0

Hàm h thỏa mãn h ≥ u trên ∂G thì h ≥ u trên G được gọi là chặn trênđiều hòa của hàm u đối với miền G

Định lí 1.3.5 Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Ω và tại một điểm

z0 nào đó trong miền G ⊂ Ω trùng với hàm chặn trên điều hòa h của u

đối với G, thì u = h trong G.

Chứng minh Hàm v = u − h điều hòa dưới và ≤ 0 trong G vì vậy v đạtcực đại tại các điểm z ∈ G ở đó v (z) = 0

Nếu u nửa liên tục trên, thì u điều hòa dưới

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh, nếu u ≤ h trên biên ∂U của hìnhtròn U ⊂ Ω, ở đây h là hàm liên tục trên U và điều hòa trong U , thì

u ≤ h trong U Bởi vì uk là điều hòa dưới và uk ≤ h trên ∂U ta có

uk ≤ h trong U với mọi k ∈ A Vì thế,

u (z) = sup

k∈A

uk(z) ≤ h (z) , z ∈ U

Điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.3.3 (Hàm đa điều hòa dưới) Hàm u : Ω → [−∞, +∞),

Ω ⊂ Cn được gọi là một hàm đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và

b ∈ Cn, ánh xạ λ → u (a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặc u đồng nhấtbằng −∞ trên mỗi thành phần của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Kí hiệu tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới là P SP (Ω)

Ví dụ 1.3.1 Nếu f ∈ H (Ω) thì log |f | ∈ P SP (Ω)

Với n = định lý chứng minh cho hàm biến

Giả sử định lý cho hàm n−1 biến Ta chọn điểm tùy ý a, b ∈ Cn,

do theo giả thiết quy nạp nên hàm f z0, an
... (1.7)

Định lí 1.2.2 Nếu hàm f liên tục đa trịn đóng P ⊂ Cn theo tậphợp biến điểm z0 ∈ P , chỉnh hình theo tọa độ, tạimỗi điểm z ∈ P hàm f biểu diễn chuỗi lũy thừa... có,

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử Ω tập mở Cn cho điểm a ∈ Ω Hàm f : Ω → C gọi Cn khả vi (hay khả vi) điểm a ∈ Ω f làhàm R2n− khả vi a điểm

∂f