Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh của một lớp phương trình parabolic suy biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGÔ THỊ LAN HƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... NGÔ THỊ LAN HƯƠNGDÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ LAN HƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH

CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC SUY BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

NGÔ THỊ LAN HƯƠNG

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH

CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC SUY BIẾN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT

HÀ NỘI, 2017

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đào TrọngQuyết, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn

để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy côphòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyênngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thànhtới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn

Hà Nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Ngô Thị Lan Hương

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Đào TrọngQuyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài

"Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh của một lớp phươngtrình Parabolic suy biến " được hoàn thành bởi nhận thứccủa bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả

đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trântrọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Ngô Thị Lan Hương

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi cácphương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương trình viphân hàm, vấn đề đầu tiên đặt ra là nghiên cứu sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của bài toán (nghiệm ở đây có thể là nghiệmmạnh hoặc nghiệm yếu) Sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cậnnghiệm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn.Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ độnglực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàncục Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn vàchứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đangxét Trong những năm qua, sự tồn tại tập hút toàn cục đã đượcnghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyếndựa trên những kết quả tổng quát của lí thuyết hệ động lực tiêuhao vô hạn chiều, xem cuốn tham khảo [1] Bên cạnh đó, lớp cácphương trình Parabolic suy biến là một trong các bài toán thời

sự được rất nhiều nhà toán học trong nước và ngoài nước nghiêncứu chẳng hạn xem [2], [5] Có thể kể đến lớp toán tử suy biếnkiểu Grushin

Gαu = 4xu + |x|2α4yu, α ≥ 0,

được giới thiệu lần đầu trong [10] Tiếp theo, Thuy và Tri trong[8] xét toán tử suy biến có dạng

Pα,βu = 4xu + 4yu + |x|2α|y|2β4zu; α, β > 0

Trong luận văn này, theo tài liệu tham khảo [2] của C.T.Anh

và L.T.Tuyet, chúng tôi trình bày sự tồn tại, duy nhất nghiệmmạnh và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh cho lớp phương

trình với toán tử suy biến Pα,β như trên.

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận và tài liệu thamkhảo, luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trình bày các khái niệm về tập hút toàn cục

Thiết lập kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cụccủa hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều

Chương 2: Tập hút toàn cục của một lớp phươngtrình Parabolic suy biến

Áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để nghiên cứu sự tồntại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi lớp phương trìnhParabolic suy biến sau khi đã chứng minh được sự tồn tại, duynhất nghiệm mạnh của bài toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm mạnh của lớpphương trình Parabolic suy biến

• Chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinhbởi bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm mạnh và tập hút toàn cục

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiệm mạnh và tập hút toàn cục củalớp phương trình Parabolic suy biến

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp Galerkin

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục: các phương phápcủa lí thuyết hệ động lực

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Thiết lập được kết quả về sự tồn tại của tập hút toàn cục Ápdụng được kết quả tổng quát này để xét sự tồn tại tập hút toàncục của một lớp phương trình Parabolic suy biến

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tôitrình bày lý thuyết cơ bản về tập hút toàn cục, đây là công cụđược sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của mộtlớp phương trình parabolic suy biến xét trong chương 2

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Khái niệm hệ động lực

Định nghĩa 1.1.1 Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm mộtkhông gian metric đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X

vào X thỏa mãn:

a) S(0) = I ;

b) S(t + s) = S(t).S(s)với mọit, s ≥ 0;

c) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C0(X, X);

d) với mọi u ∈ X, t 7→ S(t)u ∈ C0((0; +∞), X)

Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên

X Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái).Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X

(chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị dim X

gọi là số chiều của hệ động lực

1.1.2 Quỹ đạo và tập bất biến

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (X, S(t)) là một hệ động lực

a) Quỹ đạo dương của x ∈ X là tập hợp

γ+(x) = {S(t)x | t ≥ 0}.Nếu E ⊂ X, quỹ đạo dương của E là tập hợp

b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂R là một ánh xạ

u : I → X thỏa mãnu(t+s) = S(t)u(s),với mọis ∈ I, t ≥ 0

sao cho t + s ∈ I

Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X, thì u gọi làquỹ đạo âm xuyên qua z và kí hiệu là γ−(z) Nếu I = R vàu(0) = z, thì u gọi là quỹ đạo đầy đủ xuyên quaz và kí hiệu

a) bất biến dương nếu S(t)Y ⊂ Y với mọi t ≥ 0;

b) bất biến âm nếu S(t)Y ⊃ Y với mọi t ≥ 0;

c) bất biến nếu nó vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức là

S(t)Y = Y với mọi t ≥ 0

Bổ đề sau đây đưa ra đặc trưng của các tập ω-giới hạn và tập

α−giới hạn theo giới hạn của dãy

Bổ đề 1.1.5 Giả sử A là một tập con khác ∅ của X Khi đó

ω(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, yn ∈ A sao cho

tn −−−−→ +∞n→+∞ và S(tn)yn −−−−→ yn→+∞

,α(A) = y ∈ X|∃tn ≥ 0, xn ∈ X, zn ∈ A sao cho tn →+∞, xn → y

với xn = uzn(−tn) và uzn là một quỹ đạo âm xuyên qua z

c) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là

a) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A

B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X

Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại mộttập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T =

T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0, ∀t ≥ T Tập B0 như vậy gọi làmột tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)) Một hệ động lựctiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao

Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm.Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các

hệ động lực hữu hạn chiều

1.1.6 Tính compact tiệm cận

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử X là một không gian Banach Hệ

động lực(X, S(t))gọi là compact tiệm cận nếu với mọit > 0, S(t)

có thể biểu diễn dưới dạng

t≥t 0

S(2)(t)B



(1.2)

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ

Một hệ động lực là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta

có thể lấy S(1)(t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1) Rõ ràng bất kì một

hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồntại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn

B ⊂ X, tồn tại t0(B) sao cho S(2)(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0(B) Nóiriêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụcompact

Bổ để sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệmcận

Bổ đề 1.1.10 Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếutồn tại một tập compact K sao cho lim

x→x0dist(S(t)B, K) = 0, vớimọi tập B bị chặn trong X

1.2 Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Để đơn giản trong mục này ta giả sử không gian pha X là mộtkhông gian Banach, mặc dù các kết quả chính vẫn đúng với mộtlớp rộng hơn các không gian pha Định lí sau đây là kết quả chính

của mục này.

Định lý 1.2.1 Giả sử hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao vàcompact tiệm cận Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của hệ

(X, S(t)) thì A = ω(B) là một tập compact khác rỗng và là tậphút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) Hơn nữa, tập hút toàncục A là liên thông trong X

• (F) f : R →R là một hàm thuộc lớp C1 sao cho ∀s ∈ R,

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh

Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa nghiệm mạnh

Định nghĩa 2.2.1 Một hàm u(.) được gọi là nghiệm mạnh củabài toán (1) trong khoảng (0, T ) nếu

u ∈ C0([0, T ]; S01(Ω)) ∩ L∞(0, T ; Lp(Ω)) ∩ L2(0, T ; S02(Ω)),du

dt ∈ L2(0, T ; L2(Ω)), u(0) = u0 và du

dt − Pα,βu + f (u) = g

trong L2(Ω), ∀t ∈ [0, T ]

Kết quả sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứngminh sự tồn tại của nghiệm mạnh.

Bổ đề 2.2.2 Nếu Ω là một miền bị chặn thì phép nhúng

S02(Ω) ,→ S01(Ω) là compact Hơn nữa, với mọi u ∈ S02(Ω) tacó:

kukS1 (Ω) ≤ kuk1/2S2 (Ω)kuk1/2

Chứng minh Với mọiu ∈ C0∞(Ω), ta có:

0(Ω) ,→ L2(Ω), ta có

kukS1 (Ω) ≤ C.kukS2 (Ω) hay phép nhúng S2

0(Ω) ,→ S01(Ω) là liêntục Tính compact của phép nhúng này được suy ra từ tínhcompact của phép nhúng S1

ở đó (., ) biểu thị tổng trong trong L2(Ω).

Bây giờ ta thiết lập một vài ước lượng tiên nghiệm cho un Ta có

12

Mặt khác, nhân (5) với −Pα,βun và lấy tích phân trên Ω, ta có

12

dt và lấy tích phân trên Ω, ta có

2

Theo Bổ đề 1.3 trong ([7], chương 1) ta có f (uµj) * f (u) trong

L2(0, T ; L2(Ω)) Vì giới hạn yếu là duy nhất, ta có f (u) = χ

Hơn nữa, lấy qua giới hạn (5) ta có

0(Ω) ⊂ L2(Ω), theo Định lí 1.8 trong ([6], trang 33), ta có

u ∈ C0([0, T ]; S01(Ω)) Bây giờ ta chứng minh u(0) = u0

vìun(0) = Pnu0 → u0 (trongL2(Ω)) khin → ∞ Vậyu(0) = u0.

(ii) Tính duy nhất : Cho u, v là hai nghiệm của bài toán (1)với giá trị ban đầu u0, v0

Ta có điều phải chứng minh

2.3 Tính liên tục của nghiệm mạnh

Trước tiên, tương tự lập luận được sử dụng trong Định lí 2.2.3

để có ước lượng nghiệm xấp xỉ un, ta có kết quả sau

Bổ đề 2.3.1 Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,

nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn

du

dt(X, t)

2

dXdt ≤ N,

ở đó N là một hằng số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R là số saocho

ku0kS1 (Ω)∩L p (Ω) ≤ R

Chứng minh Nhân (1) với |u|p−2u và lấy tích phân trên Ω ta có

1p

ddt

Sử dụng Bổ đề 2.3.2 ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.3.3 Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn

Bổ đề 2.3.4 Với giả thiết (F)-(G), khi đó với mọi T > 0,nghiệm u(X, t) của bài toán (1) thỏa mãn

ktPα,βuk ≤ Nvới mọi t ∈ [0, T ],

tdu

dt t Pα,βudX

các nghiệm mạnh của bài toán (1) với điều kiện ban đầu un,0, u0

2.4 Tập hút toàn cục của nghiệm mạnh

Trong phần này ta giả sử số mũ p trong giả thiết (F) đảm bảorằng S1

0(Ω) ,→ Lp(Ω), cụ thể 2 ≤ p ≤ 2Nα,β

N α,β −2 ở đó Nα,β =

N1 + N2 + (α + β + 1)N3

Khi đó ta có thể xây dựng một nửa nhóm liên tụcS(t) : S01(Ω) →

2C0|Ω|+kgk2

λ21

,

Bổ đề 2.4.2 Với giả thiết (F)-(G), khi đó tồn tại một hằng sốdương ρ3 sao cho

du

dt(t) ≤ ρ3 với ∀t ≥ t0(ku0kS1 (Ω)),trong đóu(t) = S(t)u0

0(Ω) hay có một hằng số dương ρ0 sao cho:

ku(t)kS2 (Ω) ≤ ρ0, ∀t ≥ t0, trong đó u(t) = S(t)u0

Chứng minh Nhân (1) với −Pα,βu và lấy tích phân trên Ω ta có

0(Ω).Chứng minh Vì S1

0(Ω) là liên thông và S(t) có một hấp thụtrong S2

0(Ω), và tập này compact trong S1

0(Ω), do phép nhúng

S2

0(Ω) ,→ S01(Ω)là compact, nên ta có điều phải chứng minh

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chương 1 chúng tôi trình bày một cách hệthống lý thuyết của tập hút toàn cục trên cơ sở nghiên cứu tàiliệu tham khảo [1] Tiếp theo, trong chương 2, theo bài báo [2],chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệmmạnh của một lớp phương trình Parabolic suy biến và dáng điệutiệm cận của nghiệm mạnh thông qua chứng minh sự tồn tại tậphút toàn cục

Do năng lực nghiên cứu và trình độ bản thân tác giả cònhạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giảrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạnđọc để luận văn được hoàn thiện nhiều hơn

Tài liệu tham khảo

[1] C.T.Anh, Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXBĐại học Sư phạm Hà Nội, 2012

[2] C.T.Anh, L.T Tuyet: Strong solutions to a stronglysegenerate semilinear parabolic squation Viet J Math (2013)41: 217-232

[3] C.T.Anh: Pullback attractors for non-autonomous parabolicequations involving Grushin operators Electron J Differ.Equ 2010 (11), 1–14 (2010)

[4] C.T.Anh, T.D.Ke: Existence and continuity of globalattractor for a semilinear degenerate parabolic equation.Electron J Differ Equ 2009 (61), 1–13 (2009)

[5] C.T.Anh, L.T.Tuyet: On a semilinear strongly degenerateparabolic equation in unbounded domains J Math Sci.Univ Tokyo Vol 20, 91-113, (2013)

[6] Chepyzhov, V.V., Vishik, M.I.: Attractors for Equations ofMathematical Physics Am Math Soc Colloq Publ., vol

49 Am Math Soc., Providence (2002)

[7] Lions, J.-L.: Quelques Méthodes de Résolution desProblèmes aux Limites Non Linéaires Dunod, Paris (1969).[8] P.T.Thuy, N.M.Tri: Nontrivial solutions to boundaryvalue problems for semilinear strongly degenerate ellipticdifferential equations Nonlinear Differ Equ Appl 19,279–298 (2012)

[9] P.T.Thuy, N.M.Tri: Long-time behavior of solutions tosemilinear parabolic equations involving strongly degenerateelliptic differential operators Nonlinear Differ Equ Appl.(2012) Vol 20, 1213 - 1224, (2013)

[10] V.V, Grushin: A certain class of elliptic pseudo differentialoperators that are degenerated on a submanifold Sb Math.

84, 163–195 (1971) English transl Math USSR Sb 13,155–185 (1971)

Do lực nghiên cứu trình độ thân tác giả cònhạn chế nên luận văn... tơi trình bày cách hệthống lý thuyết tập hút toàn cục sở nghiên cứu tàiliệu tham khảo [1] Tiếp theo, chương 2, theo báo [2],chúng tơi trình bày kết tồn tại, tính nghiệmmạnh lớp phương trình Parabolic. .. class="page_container" data-page="28">

các nghiệm mạnh toán (1) với điều kiện ban đầu un,0, u0

2.4 Tập hút toàn cục nghiệm mạnh

Trong phần ta giả sử số mũ p giả