Tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục

Nhà toán học Ucraina Yu.M.Beredanxki đã phát triển lí thuyết tích Tenxơ các không gian Hilbert và tích Tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục và có nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng tro

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯƠNG NGỌC THANH

TÍCH TENXƠ CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯƠNG NGỌC THANH

TÍCH TENXƠ CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY

HÀ NỘI, 2017

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới phòng Sau đại học; các thầy,

cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Lương Ngọc Thanh

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, luân văn thạc sỹ chuyênnghành Toán giải tích với đề tài “Tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục”được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân, không trùng lặp với bất cứluận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Lương Ngọc Thanh

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Lời mở đầu 1

Chương 1 Tích tenxơ các không gian Hilbert tách 3

1.1 Đại cương về không gian Hilbert 3

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Một số định lý quan trọng 7

1.2 Tích tenxơ hai không gian Hilbert tách 12

1.2.1 Sơ đồ tổng quát của Berezanxki về tích tenxơ hai không gian Hilbert 12

1.2.2 Tích tenxơ hai không gian Hilbert tách 12

1.3 Ví dụ về tích tenxơ các không gian Hilbert tách 24

1.3.1 Tích tenxơ hai không gian Eukleides R n ⊗ R s 24

1.3.2 Tích tenxơ hai không gian L 2 (G) ⊗ L 2 (G0) 26

Chương 2 Tích Tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục 31

2.1 Khái niệm tích Tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục 31

2.1.1 Sơ đồ tổng quát của Berezanxki về tích tenxơ hai toán tử tuyến tính liên tục 31

2.1.2 Một số tính chất của tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục 35

2.2 Ví dụ 39

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tenxơ (tensor) là đối tượng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các

đại lượng vectơ, vô hướng, và các tenxơ với nhau Những ví dụ cơ bản về liên

hệ này bao gồm tích vô hướng, tích vectơ, và ánh xạ tuyến tính Đại lượng

vectơ và vô hướng theo định nghĩa cũng là tenxơ

Các khái niệm liên quan đến giải tích tenxơ xuất phát từ các nghiên cứu

của Carl Friedrich Gauss trong hình học vi phân, và hình thức luận của nó

bị ảnh hưởng nhiều bởi lý thuyết các dạng đại số và bất biến được phát triển

trong giữa thế kỷ 19 Thuật ngữ "tenxơ" do nhà toán học William Rowan

Hamilton đặt ra vào năm 1846 Woldemar Voigt là người đã sử dụng thuật

ngữ cho tên gọi chính thức của nó vào năm 1898

Nhà toán học Ucraina Yu.M.Beredanxki đã phát triển lí thuyết tích Tenxơ

các không gian Hilbert và tích Tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục và có

nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng trong ứng dụng vào phương trình đạo

hàm riêng vào giữa thế kỉ 20

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, trên cơ sở sơ đồ tích tenxơ và những

nhận xét về tích tenxơ các không gian Hilbert của Giáo sư-Viện sĩ Yu.M.Berezanxki,

và nhằm trình bày lại các kết quả một cách tổng quan, nghiên cứu thêm về

tích tenxơ toán tử tuyến tính liên tục dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn

Phụ Hy, tôi chọn đề tài:

"Tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục trong các không

gian Hilbert tách

Các ứng dụng kết quả vào các không gian Hilbert: Rn, L2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một cách hệ thống về tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tụctác dụng trong các tích tenxơ các không gian Hilbert tách.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về “tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục"

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu liên quan tới tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tụctrong các tích tenxơ các không gian Hilber tách Phân tích, tổng hợp và hệthống các kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày một cách hệ thống về tích tenxơcác toán tử tuyến tính liên tục tác dụng trong các tích tenxơ các không gianHilbert tách và áp dụng các kết quả vào các tích tenxơ các không gian Hilberttách: Rn, L2

Chương 1

Tích tenxơ các không gian Hilbert tách

Trong chương này tôi trình bày một cách khái quát về không gian Hilbert,các khái niệm và một vài tính chất quan trọng dùng cho chương sau, sau đótôi trình bày sơ đồ tổng quát về tích tenxơ hai không gian Hilbert tách và tíchtenxơ các không gian Hilbert tách Rn, L2

Tài liệu dùng để viết chương này chủ yếu là tài liệu [2,3]

1.1 Đại cương về không gian Hilbert

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số

thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian Xmọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (., ), thỏa mãn cáctiên đề sau:

1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);

2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y);

4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0 nếu x 6= θ,

(x, x) = 0 nếu x = θ, (θ là phần tử không của không gian X)

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng

Số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y

Các tiên đề 1),2),3),4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.

Định nghĩa 1.2 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích

vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.3 Ta gọi tập hợp H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, nào

đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2) H được trang bị một tích vô hướng (·, ·);

3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H làkhông gian Hilbert con của không gian H

Định lý 1.1 (Bất đắng thức Schwarz) Với mỗi x ∈ X ta đặt

= kxk2 − λ(x, y)(y, x) − λ(x, y)(y, x) + λ¯λ(x, y)(x, y)(y, y)

= kxk2 − 2λ|(x, y)|2 + λ2|(x, y)|2kyk2

Từ bất đẳng thức trên ta nhận được một tam thức bậc hai đối với λ không âmvới mọi λ ∈ R Do đó

|(x, y)|4−|(x, y)|2kxk2kyk2 ≤ 0 ⇔ |(x, y)|2 ≤ kxk2kyk2 ⇔ |(x, y)| ≤ kxkkyk.Vậy, |(x, y)| ≤ kxk.kyk (x, y ∈ X) Định lý được chứng minh 

Hệ quả 1.1 Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn xác

≤ kxn − xkkynk + kxkkyn − yk

≤ Ckxn− xk + kxkkyn − yk (∀n ∈ N∗)

Suy ra, lim

n→∞(xn, yn) = (x, y) 

Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y ∈ X gọi là trực

giao, ký hiệu x⊥y, nếu (x, y) = 0

Định nghĩa 1.5 Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A 6= ∅ Phần

tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A nếu x⊥y, ∀y ∈ A, ký hiệu x⊥A

Định nghĩa 1.6 Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂ H Tập

con F ⊂ H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi làphần bù trực giao của tập E trên không gian H và ký hiệu:

F = HΘE

Định nghĩa 1.7 Cho không gian Hilbert H Một tập (còn gọi là hệ thống)

gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (en)n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trựcchuẩn nếu

(ei, ej) = δij

δij là ký hiệu Kroneckes, δij = 0 với i 6= j, δij = 1 với i = j, (i, j = 1, 2, )

Định nghĩa 1.8 Hệ trực chuẩn (en)n≥1 trong không gian Hilbert H gọi là cơ

sở trực chuẩn của không gian H nếu trong không gian H không tồn tại vectơkhác không nào trực giao với hệ đó

Định nghĩa 1.9 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert

X vào không gian Hilbert Y , toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian

X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B được kí hiệu là A∗

Định nghĩa 1.10 Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert H

vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu

Định lý 1.2 (Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho không gian

Hilbert H và H0 là không gian con của H Khi đó mỗi phần tử bất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Đặt z = x − y, ta chứng minh z⊥H0 Thật vậy, giả sử ∃v ∈ H0 mà (z, v) =

c(v, v)v



= kzk2 − ¯c

(v, v)c −

c(v, v)¯c +

c.¯c(v, v)2(v, v) = kzk2 − |c|

2

(v, v) < d

2,

điều này vô lý Suy ra, (z, u) = 0, ∀u ∈ H0 hay z⊥H0

Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn (1.3)

Giả sử phần tử x ∈ H có thể biểu diễn dưới dạng (1.3) bằng hai cách

x = y + z = y0 + z0, y, y0 ∈ H0, z⊥H0, z0⊥H0.Khi đó,

(y − y0) + (z − z0) = 0, y − y0 ∈ H0, z − z0⊥H0

Áp dụng định lý Pythagore, ta được

ky − y0k2 + kz − z0k2 = 0 ⇔ y = y0, z = z0.Vậy biểu diễn (1.3) là duy nhất

(k không vượt quá lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho).

n≥1

(x, en).en hội tụ và gọi là chuỗi Fourier của phần tử x ∈ H theo hệ trựcchuẩn (en)n≥1 ⊂ H

Định lý 1.4 (Định lý về đẳng thức Paseval và phương trình đóng) Cho (en)n≥1

là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Khi đó, năm mệnh đề sau

là tương đương:

1) Hệ (en)n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;

Chứng minh 1) ⇒ 2) Theo nhận xét trên, chuỗi P

n≥1

(x, en)en hội tụ trongkhông gian H đối với phần tử bất kỳ x ∈ H

Kí hiệu tổng của chuỗi đó là z Khi đó, ∀m ∈ N∗ và ∀k ≥ m ta có

(x, y) =

lim

(x, en).en, x

++

X

5) ⇒ 1) Giả sử x ∈ H và x⊥en, (n = 1, 2, ) Khi đó, x trực giao với baotuyến tính của hệ (en)n≥1 Nhưng bao tuyến tính của hệ (en)n≥1 trù mật khắpnơi trong không gian H (nghĩa là, tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một sốhữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ (en)n≥1 trù mật khắp nơi trong khônggian H), nên x = θ Vậy, hệ (en)n≥1 là cơ sở trực chuẩn trong không gian H.Định lý được chứng minh 

1.2 Tích tenxơ hai không gian Hilbert tách

1.2.1 Sơ đồ tổng quát của Berezanxki về tích tenxơ hai không gian Hilbert

Trong mục này tôi trình bày sơ đồ tổng quát của Berezanxki về tích tenxơhai không gian Hilbert Tài liệu chính của mục này là tài liệu [2]

Giả sử H0 và H00 là hai không gian Hilbert trên trường P (P là trường sốthực R hoặc trường số phức C) Các phần tử của H0 và H00 lần lượt được kýhiệu là f0, g0, và f00, g00, Ký hiệu f0⊗ f00 được gọi là tích tenxơ của haiphần tử f0 ∈ H0 và f00 ∈ H00 nếu ký hiệu đó thỏa mãn các điều kiện

T 1.(f0 + g0) ⊗ f00 = f0 ⊗ f00 + g0⊗ f00;

T 2.f0 ⊗ (f00 + g00) = f0 ⊗ f00 + f0⊗ g00; (1.5)

T 3.(λf0) ⊗ f00 = f0⊗ (λf00) = λ(f0⊗ f00), ∀λ ∈ P

Ký hiệu L là bao tuyến tính các tích tenxơ của hai phần tử dạng f0 ⊗ f00

với f0 ∈ H0, f00 ∈ H00 và đưa vào L tích vô hướng dạng

(f0⊗ f00, g0⊗ g00) = (f0, g0)H 0.(f00, g00)H 00, ∀f0⊗ f00 ∈ L, g0⊗ g00 ∈ L (1.6)

Ta nhận được không gian tiền Hilbert L Làm đầy không gian tiền Hilbert

L theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.6) và ta nhận được tích vô hướng (1.6)tích tenxơ hai không gian H0 và H00, ký hiệu là H0 ⊗ H00

Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức(1.6) là một tích vô hướng không phải dễ Trong luận văn này, tôi chỉ xét cáckhông gian Hilbert tách

1.2.2 Tích tenxơ hai không gian Hilbert tách

Định nghĩa 1.11 Không gian Hilbert H = (Y, (·, ·)) được gọi là không gian

tách được, nếu tập Y chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong khônggian H

Định lý 1.5 (Điều kiện cần và đủ để một không gian Hilbert là không gian

tách) Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không gian đó

là không gian tách được.

Chứng minh.

Điều kiện cần. Giả sử không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn (en)n≥1 Kýhiệu Y là bao tuyến tính của hệ (en)n≥1 Theo Định lý 1.4 tập Y trù mật khắpnơi trong không gian H

Ký hiệu A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý vectơthuộc cơ sở trực chuẩn (en)n≥1 với hệ số hữu tỷ hoặc hệ số phức có phần thực

và phần ảo hữu tỉ Dễ dàng thấy tập A đếm được Mặt khác, với phần tử bất

kỳ y ∈ Y ta có y = a1en1+ a2en2+ + apenp Với ε > 0 cho trước tùy ý, vớimỗi j = 1, 2, 3, , p tìm được số rj hữu tỉ hoặc số phức rj có phần thực vàphần ảo hữu tỉ tùy theo số aj thực hoặc phức sao cho |aj − rj| < ε

p Ta nhậnđược phần tử z =

Vậy H là không gian Hilbert tách được

Điều kiện đủ. Giả sử không gian Hilbert H là tách được và tập A là tập đếmđược trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó các phần tử của tập Aviết được dưới dạng một dãy, giả sử A = (zn)n≥1 Nếu một phần tử nào đó

zn ∈ A là tổ hợp tuyến tính của các vectơ z1, z2, , zn−1, thì vectơ đó bịloại bỏ Ta nhận được dãy mới (xn)n≥1 gồm các vectơ độc lập tuyến tính (hữuhạn hay đếm được) Như vậy bao tuyến tính của hệ trùng với bao tuyến tínhcủa hệ (zn)n≥1 Nhờ quá trình giao hóa Hilbert-Schmidt, ta nhận được hệ trựcchuẩn (en)n≥1 Bằng phép quy nạp toán học, ta thấy bao tuyến tính của cácvectơ e1, e2, , en trùng với bao tuyến tính của các vectơ x1, x2, , xn vớimỗi số n nguyên dương Do đó bao tuyến tính của các hệ (en)n≥1 trùng vớibao tuyến tính của hệ (xn)n≥1 Từ đó suy ra bao tuyến tính của hệ trực chuẩn

(en)n≥1 trùng với bao tuyến tính của hệ (zn)n≥1 Nên bao tuyến tính của hệtrực chuẩn (en)n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian H Theo Định lý 1.3,

hệ trực chuẩn (en)n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H

Định lý được chứng minh Giả sử H0 và H00 là hai không gian Hilbert trên trường P (P là trường sốthực R hoặc trường số phức C), (e0j)j≥1 và (e00k)k≥1 là các cơ sở trực chuẩntương ứng trong các không gian H0 và H00, các phần tử của H0 và H00 được

ký hiệu lần lượt là f0, g0, và f00, g00,

Giả sử tập hợp các tích hình thức (e0j ⊗ e00k)j,k≥1 thỏa mãn các điều kiện (1.5)

và ký hiệu M là bao tuyến tính của các tích hình thức đó

Chứng minh. Ta kiểm tra tích hình thức (1.7) thỏa mãn các điều kiện (1.5)

Ta có:

T 1.(f0 + g0) ⊗ f00 =

X

Tiếp theo ta chứng minh tập hợp các tích hình thức f0 ⊗ f ”, f0 ∈ H0 và

f ” ∈ H”, lập thành không gian tuyến tính trên trường P

Giả sử f0 ⊗ f ”, g0 ⊗ g”, h0 ⊗ h” là các tích hình thức nào đó được thành lậpnhư trên, trong đó

trong đó θ = 0.e0j ⊗ e”k = (0.e0j) ⊗ e”k = e0j ⊗ (0.e”k)

(4) Phần tử không trong các không gian H0, H” được ký hiệu là θ và có biểudiễn là θ = P

Ta nhận thấy, công thức (1.8) hoàn toàn xác định một ánh xạ từ không gian

L × L vào trường P , vì vế phải của công thức (1.8) là hoàn toàn xác định.Thật vậy, ∀(f0⊗ f00, g0⊗ g”) ∈ L × L,

(f0⊗ f00, g0⊗ g00) = (f0, g0)H0.(f00, g00)H00



X

Suy ra, công thức (f0 ⊗ f00, g0 ⊗ g00) = (f0, g0)H0(f00, g00)H00 xác định một ánh

xạ từ không gian L × L vào trường P

Bây giờ ta kiểm tra công thức (1.8) thỏa mãn bốn tiên đề về tích vô hướng.Giả sử λ ∈ P , các phần tử f0 ⊗ f00, g0 ⊗ g00, h0 ⊗ h00 thuộc L, trong đó

fj0h0j



X

j≥1

g0jh0 j



X

Các tiên đề về tích vô hướng đều được thỏa mãn

Vậy hệ thức (f0 ⊗ f00, g0 ⊗ g00) = (f0, g0)H0.(f00, g00)H00 là một tích vô hướngtrên không gian L.

Định lý được chứng minh Nhờ các Định lý 1.6, 1.7, không gian L trở thành không gian tiền Hilbert.Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn

kf0 ⊗ f00k = p(f0, f0)H0(f00, f00)H00 (1.10)

ta nhận được không gian Hilbert mới, ký hiệu là H0⊗H00 Không gian H0⊗H00gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert tách H0 và H00

Định lý 1.8 Tập hợp tất cả các vector (e0j ⊗ e00k)j,k≥1 là một hệ trực chuẩn đủ trong không gian H0 ⊗ H00.

Chứng minh.Trước hết ta chứng minh, hệ (e0j⊗ e00k)j,k≥1 là một hệ trực chuẩntrong không gian H0 ⊗ H00 Thật vậy, ∀(j, k), ∀(s, t) ta có

(e0j ⊗ e00k, e0s ⊗ e00t) = (e0j, e0s)H0.(e00k, e00t)H00,với