Về góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN THỊ PHƯƠNG VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... Nguyễn Hữu Thọ, l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THỊ PHƯƠNG

VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2017

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong do thời gian và trình độ cònhạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tôi rấtmong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để luận văn này đượchoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Học viên

Phan Thị Phương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ, luậnvăn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Về góc và tọa độcực trong không gian định chuẩn thực" do tôi tự thực hiện Các kết quả

và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Phan Thị Phương

Mục lục

1.1 Không gian Euclid 6

1.2 Không gian định chuẩn 7

1.3 Khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc 9

1.4 Không gian góc 15

2 Góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn 18 2.1 Góc Thy 18

2.2 Sự tồn tại tọa độ cực trong không gian định chuẩn 24

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm góc và bán kính đã được người xưa sử dụng từ thế kỷthứ nhất trước Công nguyên Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cungcho mỗi góc Có tài liệu cho rằng ông đã sử dụng tọa độ cực để thiếtlập vị trí các thiên hà Trong tác phẩm On Spirals, Archimedes đã mô

tả đường xoắn ốc Acsimet, một hàm mà bán kính của nó phụ thuộc vàogóc Tuy nhiên, công trình của nhà khoa học Hy Lạp không đủ để xâydựng một hệ tọa độ đầy đủ Từ thế kỷ thứ 8 trở về sau, các nhà thiênvăn đã phát triển các phương pháp cho việc xấp xỉ và tính toán phươnghướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến Thánhđịa Mecca (Qibla) Sau thế kỷ thứ 9, họ đã sử dụng các hình cầu lượnggiác và các phép chiếu bản đồ để tính toán những con số này một cáchchính xác Việc tính toán về cơ bản là chuyển tọa độ cực xích đạo củaMecca thành tọa độ cực của chính Thánh địa đó so với một hệ thống cókinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và cáccực của Trái Đất, và có trục cực là đường thẳng qua các vị trí này vàđiểm đối cực của nó Thực tế thuật ngữ tọa độ cực được công nhận doGregorio Fontana đưa ra và được sử dụng bởi các nhà văn Italia thế kỷ

18 Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh tại bản dịch Differentialand Integral Calculus của Lacroix do George Peacock dịch năm 1816.Alexis Clairaut là người đầu tiên đề xuất tọa độ cực trong không gian

ba chiều, và Leonhard Euler là người đầu tiên thực sự phát triển các ýtưởng đó Trong hình học phẳng, góc là miền phẳng nằm giữa hai đườngthẳng cắt nhau Hai đường thẳng được gọi là cạnh của góc Giao điểmcủa chúng gọi là đỉnh của góc Khi hai đường thẳng song song với nhau,không cắt nhau tại điểm nào (hoặc cũng có thể hiểu là cắt nhau tại vôcực), góc giữa chúng bằng không và không có đỉnh xác định (hoặc đỉnh

ở vô cực) Trong không gian ba chiều, góc giữa hai mặt phẳng (còn đượcgọi là góc khối) là phần không gian giới hạn bởi hai mặt phẳng đó, được

đo bằng góc giữa hai đường thẳng trên hai mặt phẳng cùng trực giaovới giao tuyến của hai mặt phẳng

Với mong muốn có cái nhìn sâu rộng và tổng quan về góc và tọa độcực, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tàicho luận văn của mình là

" Về góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn thực"

2 Định hướng nghiên cứu

Trong luận văn này tôi tập trung vào hai nhiệm vụ sau: Khảo sát vềgóc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn và sự tồn tại của tọa độcực trong không gian định chuẩn

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp vànghiên cứu lý thuyết

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2chương

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian địnhchuẩn,khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc,không gian góc.Chương 2 Trình bày về góc Thy, sự tồn tại tọa độ cực trong khônggian định chuẩn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

(Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1],[2], [8] và [9])

1.1 Không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.1 Cho V là một không gian véc tơ trên trường R Mộttích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định: h, i : V × V → R,(x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau:

i hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ V ; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

ii hkx, yi = k hx, yi với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R

iii hx + x,, yi = hx, yi + hx,, yi, ∀x, x,, y ∈ V

iv hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V

Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang

bị trên nó một tích vô hướng h, i được gọi là không gian véc tơ Euclid

Kí hiệu: E = (V, h, i) với tích vô hướng trên nó là h, i

Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn, (Rn = {x = (x1, x2, , xn) |xi ∈ R}) Với x =(x1, x2, , xn) , y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn ta định nghĩa hx, yi = Pn

i=1

xiyi

Đây là một tích vô hướng trên Rn và E = (Rn, h, i) là một không gianvéc tơ Euclid.

Định lí 1.1.4 Cho E là không gian Euclid Khi đó với ∀x, y ∈ E taluôn có

|hx, yi| ≤ kxk kyk Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính

Định lí 1.1.5 Giả sử E là không gian véc tơ Euclid Khi đó:

∀x, y ∈ E : kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ kxk + kyk

1.2 Không gian định chuẩn

(Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực)Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh

xạ k.k : X → R Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tínhchất sau:

1 kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X

2 kxk = 0 ⇔ x = 0

3 kkxk = |k| kxk , với mọi x ∈ X, k ∈ R

4 kx + yk ≤ kxk + kyk , với mọi x, y ∈ X

Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian véc tơ định chuẩn(còn đọc tắt là không gian định chuẩn)

Ví dụ 1.2.2 Không gian R2 với các metric:

d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|

d2(x, y) = h(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2i

1 2

kx − yk∞ = max {|x1 − y1| , |x2 − y2|} Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, k.k) trên trường số R

và các dãy {xn} , {yn} ⊂ X, {λn} ⊂ R sao cho lim

3 Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy

đủ Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một khônggian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó

Định lí 1.2.6 Nếu hình cầu đơn vị đóng

¯

B (0, 1) := {x ∈ X : kxk ≤ 1}

của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gianhữu hạn chiều

1.3 Khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc

Cho X = (X, h | i) là không gian tích vô hướng thực Ta đã biếtrằng: tích vô hướng luôn có thể được biểu diễn bởi chuẩn, tức là với mọi

=  14

k~xkk~yk

"

~xk~xk +

~yk~yk

2

− ~xk~xk −

~yk~yk

2#

Hơn nữa với mọi ~x, ~y ∈ X, ~x 6= ~y 6= ~0, góc Euclid cũng được địnhnghĩa thông qua chuẩn

∠(−→x , −→y ) := arccos h−

→x |−→y ik−→x kk−→y k

= arccos 1

4

" −→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2

−

−

→xk−→x k −

−

→ykyk

2#

Trong luận văn này chúng tôi sẽ xét tới không gian véc tơ tô pô Xđược cho bởi ánh xạ liên tục

k k → R+∪ {0} ,ánh xạ này là thuần nhất tuyệt đối, tức là

kr−→x k = |r| k−→x k với mọi ~x ∈ X; r ∈ R

Ta sẽ gọi cặp (X, k k) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất.Tập Z := {−→x ∈ X | k−→x k = 0} ⊂ X gọi là tập không của không gian(X, k k)

Sau đây ta sẽ định nghĩa một tích vô hướng trong không gian này.Cho ánh xạ

h | i♠ : X2 → R,với mọi −→x , −→y ∈ X

h−→x |−→y i♠ = 0, nếu k−→x k k−→y k = 0h−→x |−→y i♠ =

1

4k−

→x k k−→y k

" −→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2

−

−

→xk−→x k −

−

→ykyk

2#, nếu k−→x k k−→y k 6= 0

Dễ thấy tích được định nghĩa như trên luôn có tính chất đối xứng tứclà

Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian véc tơ với trọng thuần nhất (X, k k)với −→x , −→y ∈ X\Z sao cho |h−→x |−→y i♠| ≤ k−→x k k−→y k, ta định nghĩa một góctheo góc tọa độ của góc Euclid trong không gian tích tích vô hướng nhưsau:

∠T hy(~x, ~y) := arccosh−

→x |−→y i

♠k−→x kk−→y k

= arccos 1

4

"

~xk~xk +

~yk~yk

2

− ~xk~xk −

~yk~yk

2#!

Do vậy với không gian nửa chuẩn (X, k k), bộ ba X, k k , h | i♠thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunjakowsky (CSB) tức là

Các tính chất trên đều dễ dàng chứng minh Tuy nhiên góc ′′∠T hy′′

có tính chất quan trọng dưới đây, và tính chất này không hề dễ chứngminh, đó chính là nội dung của định lí sau :

Định lí 1.3.2 Cho trước hai véc tơ độc lập tuyến tính −→x , −→y , khi đóluôn tồn tại một phép đồng phôi giảm

Θ : R → (0; π)

t 7→ ∠T hy(−→x , −→y + t−→x ).

Định lí này sẽ được chứng minh trong chương sau (trong mục "Sự tồntại của tọa độ cực") Trong luận văn chúng ta sẽ chỉ xét góc ∠T hy trongkhông gian Euclid hai chiều

Cho X = (X, τ ) là không gian véc tơ tô pô thực tùy ý, tức là mộtkhông gian véc tơ thực X được trang bị một tô pô τ với phép cộng haivéc tơ và phép nhân một véc tơ với một số thực là liên tục Hơn nữa,k k xác định một phiếm hàm dương trên X:

k k : X → R+∪ {0} liên tụcTrong đó R+∪ {0} cho ta tô pô Euclid thông thường

Chúng ta xét các điều kiện sau :

1 Với mọi r ∈ R và với mọi x ∈ X : kr−→x k = |r| k−→x k ; ("tính thuầnnhất tuyệt đối")

2 k−→x k = 0 nếu và chỉ nếu −→x = −→0 ; ("tính xác định dương")

3 Với mọi −→x , −→y ∈ X : k−→x + −→y k 6 k−→x k + k−→y k ; ("bất đẳng thứctam giác")

4 Với mọi −→x , −→y ∈ X : k−→x + −→y k2 + k−→x − −→y k2 = 2hk−→x k2+ k−→y k2i.("đẳng thức hình bình hành")

Nếu k k thỏa mãn (1) thì ta gọi k k là một trọng thuần nhất trên X;nếu k k thỏa mãn (1) và (3) thì ta gọi k k là một nửa chuẩn trên X;nếu k k thỏa mãn (1), (2) và (3) thì ta gọi k k là một chuẩn trên X;nếu k k thỏa mãn (1), (2), (3) và (4) thì ta gọi (X, k k) là một khônggian tích vô hướng

Và lúc này ta gọi (X, k k) tương ứng là một không gian với trọng thuầnnhất; không gian véc tơ nửa chuẩn hay một không gian véc tơ địnhchuẩn; hoặc không gian tích vô hướng

Bây giờ xét ánh xạ liên tục h | i : X2 → R Ta xét một số điều kiệnsau :

(1) Với mọi r ∈ R và với mọi −→x , −→y ∈ X : hr−→x |−→y i = r h−→x |−→y i ; ("tínhthuần nhất")

(2) Với mọi −→x , −→y ∈ X : h−→x |−→y i = h−→y |−→x i ; ("tính đối xứng")

(3) Với mọi −→x ∈ X : h−→x |−→x i > −→0 ; ("tính nửa xác định dương")

(4) h−→x |−→x i = −→0 nếu và chỉ nếu −→x = −→0 ; ("tính xác định")

(5) Với mọi −→x , −→y , −→z ∈ X : h−→x |−→y + −→z i = h−→x |−→y i + h−→x |−→z i ("tínhtuyến tính theo thành phần thứ hai")

Nếu h | i thỏa mãn (1), (2), (3), khi đó ta gọi h | i là tích thuần nhấttrong X;

Nếu h | i thỏa mãn (1), (2), (3), (4), (5) khi đó ta gọi h | i là một tích

vô hướng trên X

Lúc này ta gọi cặp (X, h | i) tương ứng là không gian véc tơ tích thuầnnhất hoặc không gian tích vô hướng

Chú ý 1.3.3 Hai lần ta đều gọi là không gian tích vô hướng nhưng cóthể hiểu hai định nghĩa trên là như nhau, như ta đã biết: một chuẩn đượcdựa trên một tích vô hướng nếu và chỉ nếu thỏa mãn đẳng thức hình bìnhhành

Xét k k là một phiếm hàm dương X Khi đó ta định nghĩa hai tậpcon đóng của X như sau :

S = S(X,k k) := {−→x ∈ X |k−→x k = 1}

là mặt cầu đơn vị của X

B := B(X,k k) := {−→x ∈ X |k−→x k 6 1}

là hình cầu đơn vị của X.

Bây giờ giả sử rằng X là không gian véc tơ thực được trang bị mộtphiếm hàm dương k k và một tích h | i Khi đó bộ ba (X, k k , h | i)thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunjakowsky khi và chi khivới mọi −→x , −→y ∈ X ta có bất đẳng thức |h−→x | −→y i| 6 k−→x k k−→y k Giả sử (X, k k) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất Với mỗi ~v

như vậy sign(−→v ) là hình chiếu của ~v lên mặt cầu đơn vị S(X,k k)

Lấy A là một tập con tùy ý của không gian véc tơ tuyến tính thực X.Xét A có tính chất:

với −→x , −→y ∈ A và với 0 6 t < 1 ta luôn có t−→x + (1 − t)−→y ∈ A.Tập A như vậy được gọi là tập lồi Hình cầu đơn vị B trong không giannửa chuẩn cũng là một tập lồi vì nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.Tập A lồi trong không gian véc tơ tô pô tuyến tính X = (X, τ) đượcgọi là lồi chặt nếu:

Với mọi −→x , −→y ∈ A và với ∀0 < t < 1 ta luôn có t−→x + (1 − t)−→y ∈ int(A).Xét A là một tập con của không gian véc tơ thực X, khi đó bao lồi củatập A

conv(A) := ∪

( nX

i=1

ti−→x

i |n ∈ N, ti ∈ [0, 1] , −→xi ∈ A, i = 1, n,

nX

i=1

ti= 1

),

là tập lồi nhỏ nhất chứa A Lấy cặp (X, k k) là không gian véc tơ cótrọng thuần nhất với hình cầu đơn vị B của X Xét k k|conv(B) là phiếmhàm Minkowsky của conv(B) trong X, nghĩa là với mọi ∀−→x ∈ X ta có:

k−→x kconv(B) = inf



r > 0

1r

−

→x ∈ conv(B).

Do đó k−→x kconv(B) 6 k−→x k Lưu ý rằng với không gian véc tơ với trọngthuần nhất (X, k k) cặp X, k k|conv(B) là một không gian véc tơ nửađịnh chuẩn Khi đó ta gọi k k hay cặp (X, k k) tương ứng là khả chuẩnnếu và chỉ nếu cặp X, k k|conv(B) là không gian véc tơ định chuẩn.Đặt (X, k k) là không gian véc tơ có trọng thuần nhất thực, tập con

Z của X, Z := {−→x ∈ X |k−→x k = 0} được gọi là tập không của (X, k k)

1.4 Không gian góc

Trong mặt phẳng, góc Euclid đã được nghiên cứu cách đây hơn 2000năm Với ý tưởng "khoảng cách (metric)" và "chuẩn" khi đó sẽ dẫn đếncác khái niệm về tính trực giao và góc trong không gian metric và góctrong không gian định chuẩn

Cho (X, h | i) là một không gian tích vô hướng và k k là chuẩntương ứng với tích vô hướng đó được xác định bởi

k−→x k :=

qh−→x | −→x i

Khi đó bộ ba (X, k k , h | i) thỏa mãn bất đẳng thức Schwarz-Bunjakowsky (CSB), và với mọi −→x , −→y 6= −→0 ta đã biết gócEuclid

Cauchy-∠Euclid(−→x , −→y ) := arccos h−

→x |−→y ik−→x k k−→y kvới tất cả các tính chất đẹp đẽ

Bây giờ ta sẽ tìm cách định nghĩa "Không gian góc" Tất nhiên nếuchúng ta hiểu các góc như ta đã biết ở không gian tích vô hướng thì nóhoàn toàn thỏa mãn các tính chất của góc đã biết Nhưng để tránh điều

đó và muốn có thêm các tính chất khác so với góc Euclid, ta sẽ chỉ xétkhông gian tích vô hướng như là "Không gian góc"

Định nghĩa 1.4.1 Cho (X, k k) là không gian véc tơ trọng thuầnnhất thực, tập Z := {−→x ∈ X |k−→x k = 0} là tập không Ta gọi bộ ba

(X, k k , h | i) là một "Không gian góc" nếu các điều kiện (An1) , (An2) ,(An3) , (An4) , (An5) dưới đây được thỏa mãn.

• (An1) ∠X : [X\Z]2 → [0, π] là hàm liên tục

• (An2) Với mọi −→x ∈ X\Z ta có ∠X (−→x , −→x ) = 0

• (An3) Với mọi −→x ∈ X\Z ta có ∠X (−−→x , −→x ) = π

• (An4) Với mọi −→x , −→y ∈ X\Z ta có ∠X (−→x , −→y ) = ∠X (−→y , −→x )

• (An5) Với mọi ~x, ~y ∈ X\Z và với mọi r, s > 0 ta có

∠X (r.~x, s.~y) = ∠X(~x, ~y) Hơn nữa, ta còn có thêm các tính chất sau :

• (An6) Với mọi ~x, ~y ∈ X\Z ta có ∠X (−~x, −~y) = ∠X (~x, ~y)

• (An7) Với mọi ~x, ~y ∈ X\Z ta có ∠X (~x, ~y) + ∠X (−~x, ~y) = π

• (An8) Với mọi ~x, ~y, ~x + ~y ∈ X\Z ta có

∠X (~x, ~x + ~y) + ∠X (~x + −→y , ~y) = ∠X (~x, ~y)

• (An9) Với mọi ~x, ~y, ~x − ~y ∈ X\Z ta có

∠X (~x, ~y) + ∠X (−~x, ~y − −→x ) + ∠X (−−→y , ~x − −→y ) = π

• (An10) Với mọi −→x , −→y , −→x − −→y ∈ X\Z ta có

và nếu (X, k k) |(X, k k) là một không gian tích vô hướng ⊂ K, khi

đó với mỗi không gian tích vô hướng (Y, k k) ta luôn có ∠Y = ∠Euclid

∠(−→x , −→y ) := arccos h−

→x | −→y ik−→x k k−→y k.

Nếu bộ ba (X, k k , h | i) thỏa mãn bất đẳng thức CBS, khi đó ta cóthể xác định được rằng: với mọi −→x , −→y ∈ X, k−→x k k−→y k 6= 0 ta có

∠(~x, ~y) := arccos h−

→x | −→y ik−→x k k−→y k ∈ [0, π]

Xét cặp (X, k k) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất, do đó(X, k k) thỏa mãn tính chất "thuần nhất tuyệt đối " (1) Ta định nghĩamột tích h | i♠ trên X Với mọi −→x , −→y ∈ X:

h−→x |−→y i♠ = 0, nếu k−→x k k−→y k = 0h−→x |−→y i♠ =

1

4k−

→x k k−→y k

" −→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2

−

−

→xk−→x k −

−

→ykyk

2#, nếu k−→x k k−→y k 6= 0

Chú ý rằng trong trường hợp (X, k k) là không gian tích vô hướng,định nghĩa này vẫn phù hợp với định nghĩa thông thường của tích vôhướng Ta có tích

−h−→x | −→y i♠ = −1

4k−

→x k k−→y k

" −→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2

−

−

→xk−→x k −

−

→yk−→y k

2#

→yk−→y k

2

− −−

→xk−−→x k−

−

→yk−→y k

−

→xk−→x k

2

−

−

→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2#,

vì thế

h−−→x | −→y i♠ = −h−→x | −→y i♠.Khi đó ta cũng dễ dàng suy ra, với mỗi số thực r < 0 ta cũng có:

∠Thy(−→x , −→y ) : = arccos h−

→x | −→y i

♠k−→x k k−→y k

= arccos 1

4.

" −→xk−→x k +

−

→yk−→y k

2

−

−

→xk−→x k −

−

→yk−→y k

2#!

Ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.2 • (a) Nếu (X, k k) là một không gian véc tơ nửađịnh chuẩn thực, khi đó bộ ba X, k k , h | i♠

thỏa mãn bất đẳngthức CSB, và do đó "Góc Thy" ∠T hy(−→x , −→y ) được xác định với mọi

−

→x , −→y mà k−→x k k−→y k 6= 0

• (b) Nếu (X, k k) là một không gian véc tơ nửa định chuẩn thực khi

đó bộ ba (X, k k , ∠T hy) thỏa mãn các điều kiện (An1), (An2), (An3)

và , (An4), (An5) Do đó (X, k k , ∠T hy) là một không gian góc

Z X, Z := {−→x ∈ X |k−→x k = 0} gọi tập không (X, k k)

1.4 Không gian. .. gian góc< /h3>

Trong mặt phẳng, góc Euclid nghiên cứu cách 2000năm Với ý tưởng "khoảng cách (metric)" " ;chuẩn& #34; dẫn đếncác khái niệm tính trực giao góc khơng gian metric góctrong... thêm tính chất khác so với góc Euclid, ta xétkhơng gian tích vơ hướng "Khơng gian góc& #34;

Định nghĩa 1.4.1 Cho (X, k k) không gian véc tơ trọng thuầnnhất thực, tập Z := {−→x