Phương pháp giải tích đồng luân và ứng dụng

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 14 2.1.. - Luận văn nghiên cứu cơ sở lí thuyết của phương pháp giải tích đồng luân và ứng dụng của phương pháp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI–2017

LỜI CẢM ƠN

Bằng tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn đếnthầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoànthành luận văn này Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy, cô giáotrong Khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, những người thầy đã trang

bị cho tác giả một nền kiến thức cơ sở vững vàng trong suốt khóa học

Thân ái cảm ơn các bạn học viên cao học khóa K19, chuyên ngành Toán Giảitích đã luôn sát cánh, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và trau dồikiếu thức cho bản thân

Cuối cùng, tác giả dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người đã chonguồn động viên tinh thần rất lớn để tác giả có thể hoàn thành tốt khóa họccủa mình

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Trần Thị Thu Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đềtài “ Phương pháp giải tích đồng luân và ứng dụng ” là công trình nghiêncứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừathành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc

Hà nội, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Trần Thị Thu Hà

Mục lục

1 Lý do chọn đề tài v

2 Mục đích nghiên cứu v

3 Nhiệm vụ nghiên cứu v

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu v

5 Phương pháp nghiên cứu vi

6 Dự kiến đóng góp mới vi

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Kiến thức về giải tích và phương trình vi phân thường 1

1.1.1 Một số khái niệm và định lý về phương trình vi phân thường 1 1.1.2 Chuỗi lũy thừa 2

1.1.3 Chuỗi Taylor 3

1.1.4 Không gian Tôpô 5

1.2 Cơ sở lý lý thuyết của phương pháp giải tích đồng luân 6

1.2.1 Khái niệm về đồng luân và các ví dụ 6

1.2.2 Phương trình biến dạng cấp không 10

1.2.3 Phương trình biến dạng cấp cao 12

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 14 2.1 Ứng dụng phương pháp HAM giải phương trình vi phân 14

2.2 Cải tiến phương pháp HAM 19

2.2.1 Ý tưởng cơ bản của phương pháp giải tích đồng luân 19

2.2.2 Cải tiến phương trình biến dạng cấp không 21

2.2.3 Tổng quát hóa của phương pháp giải tích đồng luân 21

2.2.4 Tiêu chí lựa chọn c và f(t) 22

2.3 Sự lựa chọn tham số điều khiển - hội tụ 25

2.4 So sánh phương pháp giải tích đồng luân và phương pháp nhiễu

đồng luân 392.4.1 Phương pháp giải 402.4.2 Ví dụ 40

MỞ ĐẦU

Một trong những phương pháp để giải xấp xỉ phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính và phi tuyến là phươngpháp giải tích đồng luân ( Homotopy Analysis Method ) viết tắt là HAM Phươngpháp này được định nghĩa dựa trên khái niệm cơ bản trong tô pô và hình học viphân là khái niệm Homotopy Phương pháp đồng luân chuyển việc giải phươngtrình vi phân phi tuyến ban đầu về giải một dãy các phương trình tuyến tínhđơn giản hơn

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp giải tích đồng luân và cácứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất VănNinh, tôi đã chọn đề tài : “Phương pháp giải tích đồng luân và ứng dụng”

để thực hiện luận văn của mình

- Luận văn nghiên cứu cơ sở lí thuyết của phương pháp giải tích đồng luân

và ứng dụng của phương pháp đó giải phương trình vi phân

- Nghiên cứu về phương pháp giải tích đồng luân và một số ứng dụng của nó

- Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải tích đồng luân

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải tích đồng luân và ứngdụng vào giải phương trình vi phân.

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, lậptrình máy tính

- Thu thập các tài liệu liên quan tới phương pháp giải tích đồng luân

- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương phápgiải tích đồng luân

- Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viêncao học về phương pháp giải tích đồng luân Áp dụng giải một số phương trình

vi phân

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này trình bày một số kiến thức về phương trình vi phân thường,chuỗi lũy thừa, không gian tô pô Một số khái niệm về đồng luân và các ví dụ.Nội dung của chương này được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6]

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)=yn−10 (1.2)Định nghĩa 1.1.1 Hàm f(x, u1, u2, , un)xác định trong miền G ⊂ Rn+1đượcgọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo các biến u1, u2, , un nếu tồn tại hằng

số L >0(hằng số Lipschitz) sao cho đối với hai điểm bất kỳ(x, u1, u2, , un)∈

Định lí 1.1.2 Giả sử trong miền G ⊂ Rn+1 hàm f(x, u1, u2, , un) liên tục vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1, u2, , un Khi đó với bất kỳ điểm trong

(x0, y0, y00, , y0(n−1)) ∈ G tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình(1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.2) Nghiệm đó xác định trong một lân cậnnào đó của điểm x0

Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thườngPhương pháp chuỗi hàm

Xét bài toán (1.1) - (1.2), giả sử nghiệm y =y(x) của bài toán đó được phântích thành chuỗi Taylor:

Lấy đạo hàm phương trình (1.1) và thay x = x0, y(k)(x0) = y0(k) (k =

0,1,2, ) ta tìm được các giá trị y(n+1)(x0), y(n+2)(x0),

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm f(x, y, y0, , y(n−1)) giải tích tronglân cận của điểm(x0, y0, y00, , y(n−1)0 )thì trong lân cận đủ nhỏ của điểm x0 bàitoán (1.1) - (1.2) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó khai triển được thành chuỗiTaylor (1.4) Khi đó tổng riêng của (1.4) là nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) -(1.2)

1.1.2 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.1.3 Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

Định lí 1.1.4 (Định lý Abel) Nếu chuỗi lũy thừa

Chứng minh Giả sử chuỗi lũy thừa

x

x0

n

≤K

x

x0

Chú ý 1.1.7 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm x0

và có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong lân cận ấy thìchuỗi lũy thừa ấy phải là chuỗi Taylor của hàm đó trong lân cận ấy

Điều kiện hội tụ của chuỗi Taylor

Ta xét xem nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) nào đó hội tụ thì với điều kiệnnào tổng của chúng bằng f(x)

Ví dụ 1.1.8 Tổng của chuỗi hội tụ không bằng hàm số

0 + 0x+ 0x2+ 0x3+· · ·+ 0xn + .

nó hội tụ và có tổng bằng không với mọi x

Định nghĩa 1.1.9 Hàm số f(x) được gọi là khai triển thành chuỗi Taylor nếuchuỗi Taylor của hàm đó hội tụ và có tổng đúng bằng f(x)

Định lí 1.1.10 Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm x0 hàm f(x) có đạohàm mọi cấp Nếu hàm lim

Chứng minh Theo giả thiết |f(n)(x)| ≤ M trong lân lận V x 0, ∀n , suy ra

thành chuỗi Taylor trong lân cận ấy

Định nghĩa 1.1.12 Cho một tập hợp X 6= ∅ Họ τ các tập hợp con nào đócủa X được gọi là một tô pô trên X nếu:

i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ

ii) Gα ∈ τ, α ∈ I ⇒ S

α∈I

Gα.iii) ∀G1, G2 ∈ τ ⇒ G1∩ G2 ∈ τ

Tập hợp X cùng với tô pô trên X được gọi là một không gian tô pô

Ký hiệu (X, τ)

Định nghĩa 1.1.13 (Ánh xạ liên tục) Cho hai không gian tô pô(X, τX);(Y, τY)

và ánh xạ f : X → Y Khi đó, f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu vớimỗi lân cận W của f(x0)∈ Y , tồn tại lân cận V của x0 sao cho f(V)⊂ W Nếu

f liên tục ∀x ∈ X thì f được gọi là liên tục trên X

Nếu f : (X, τX) → (Y, τY) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là

(τX, τY) - liên tục

Định nghĩa 1.1.14 (Phép đồng phôi) Cho hai không gian tô pô X và Y Mộtánh xạ f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y nếu f là mộtsong ánh đồng thời cả f lẫn ánh xạ ngược f−1 : Y → X là những hàm liên tục.Nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y thì hai không gian này được gọi làhai không gian đồng phôi với nhau

Định lí 1.1.15 (3 mệnh đề tương đương) Cho ánh xạ f : (X, τX)→ (Y, τY) làsong ánh liên tục Khi đó các khẳng định sau là tương đương

tích đồng luân

1.2.1 Khái niệm về đồng luân và các ví dụ

Phương pháp giải tích đồng luân (HAM) dựa trên khái niệm đồng luân làkhái niệm cơ bản trong tô pô và hình học vi phân, một đồng luân được mô tảnhư một loại biến đổi liên tục hoặc sự biến đổi trong toán học Ví dụ, một hìnhtròn có thể được biến đổi liên tục thành một hình vuông hoặc elip, hình dạngcủa một tách cà phê có thể biến đổi liên tục thành hình dạng của một chiếcbánh Bản chất, định nghĩa một đồng luân là sự kết nối giữa các vi phân trongtoán học, có cùng tính chất đặc trưng trong một vài phương diện

Ví dụ, xét hai hàm số khả vi sin(πx) và 8x(x −1) với x ∈ [0,1] có thể đượckết nối bằng cách xây dựng một họ hàm số sau

H(x, q) = (1− q) sin(πx) +q[8x(x −1)] (1.6)Trong đó q ∈ [0,1] được gọi là tham số nhúng Chú ý rằng H(x, q) không chỉphụ thuộc vào biến độc lập x ∈[0,1] mà còn phụ thuộc vào tham số nhúng

Hình 1.1: Sự biến đổi liên tục của đồng luân H(x, q) : sin(πx) ∼8x(x −1) Đườngnét đứt: q = 0; đường nét chấm: q = 1

4; đường nét liền: q = 1

2; đường nét đứt haichấm: q = 3

4; đường nét ngang dài hơn: q = 1

Bản chất khi q = 0, ta có: H(x,0) = sin(πx), x ∈ [0,1] và khi q = 1 nó trởthành

H(x,1) = 8x(x −1), x ∈ [0,1]

tương ứng

Vì thế khi tham số nhúng q ∈[0,1]tăng từ 0 đến 1 hàm thực H(x, q)biến đổiliên tục từ hàm lượng giác sin(πx)đến một hàm đa thức 8x(x −1), như biểu diễntrong hình (1.1) Trong tô pô, H(x, q) được gọi là một phép đồng luân, sin(πx)

và 8x(x −1) được gọi là đồng luân, được định nghĩa bởi:

H : sin(πx) ∼8x(x −1)

Cho C[a, b]là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn a ≤ x ≤ b Nói chung,nếu một hàm số f ∈ C[a, b] có thể được biến đổi liên tục thành một hàm liêntục khác g ∈ C[a, b], thông qua một đồng luân H :f(x)∼ g(x) Theo cách này

H(x, q) = (1− q)f(x) +qg(x), x ∈ [a, b] (1.7)

Tuy nhiên, một hàm số thực liên tục không thể biến đổi liên tục thành một hàmgián đoạn Ví dụ sin(x) không thể được biến đổi liên tục trong hàm tập

Ví dụ, xét một họ phương trình đại số

ε(q) = (1 + 3q)x2+ y2

1 + 3q = 1, q ∈ [0,1] (1.8)trong đó q ∈[0,1] là tham số nhúng Khi q = 0 chúng ta có phương trình đườngtròn

có nghiệm là y =±√1− x2 Khi q = 1 chúng ta có phương trình elip

ε1 : 4x2+ y2

Nghiệm của phương trình elip y = ±2√

1−4x2 Phương trình (1.8) thay đổiliên tục từ phương trình đường tròn ε0 trong phương trình elip ε1, trong khi

đó nghiệm y thay đổi liên tục từ nghiệm là đường tròn y = ±√1− x2 đến elip

y = ±2

√

1−4x2 như trong hình (1.2) Vì vậy nói chính xác hơn nghiệm y của(1.8) không những phụ thuộc vào x mà còn phụ thuộc vào q ∈ [0,1] và do đó(1.8) được thể hiện chính xác hơn trong công thức

ε(q) : (1 + 3q)x2+ y2(x, q)

1 + 3q = 1, q ∈ [0,1] (1.11)Công thức (1.11) là phép đồng luân của 2 phương trình (1.9) và (1.10) tươngứng y(x, q) = ±√1− x2 ∼ ±2

√

1−4x2 Ý tưởng này cũng có thể dễ dàng mởrộng với các loại phương trình khác như phương trình vi phân, phương trìnhtích phân

Định nghĩa 1.2.2 Tham số nhúng q ∈[0,1] trong một đồng luân của hàm sốhoặc phương trình được gọi là tham số đồng luân

Phương trình được ký hiệu bởi ε1, trong đó có ít nhất một nghiệm u Cho

ε0 là một trường hợp riêng, phương trình đó gọi là phương trình ban đầu, nó

có nghiệm u0 đã biết Nếu có thể xây dựng một đồng luân của phương trìnhe

ε(q) :ε0 ∼ ε1 sao cho tham số đồng luân q ∈ [0,1] tăng từ 0 đến 1, eε(q) thay đổiliên tục từ phương trình ban đầu ε0 đến phương trình ε1, trong khi nghiệm của

nó thay đổi liên tục từ nghiệm u0 của ε0 đến nghiệm u của ε1 Khi đó phươngtrình đồng luân được gọi là phương trình biến dạng cấp không Chú ý rằngchúng ta có thể xây dựng nhiều đồng luân vi phân từ khái niệm phương trìnhđường tròn (1.9) và phương trình elip (1.10)

Ví dụ phương trình biến dạng bậc không có dạng

ε(q, µ) : (1 + 3qµ)x2+ y2(x, q)

(1 + 3qµ ) = 1, q ∈ [0,1] (1.12)trong đó µ >0 là không thay đổi

H(x, q) = (1− q)f(x) +qg(x), x ∈ [a, b]

ta hoàn toàn định nghĩa được đạo hàm - đồng luân cấp 1

∂H(x, q)

∂q =g(x)− f(x), q ∈ [0,1] (1.14)Khái quát khái niệm này chúng ta có thể tiếp tục xác định đạo hàm đồng luâncấp cao

1.2.2 Phương trình biến dạng cấp không

Xét phương trình phi tuyến dạng

N [u(r, t)] = 0 (1.15)trong đó N là toán tử phi tuyến; u(r, t) là hàm số chứa ẩn, r và t là các số hạngđộc lập với biến

Cho u0(r, t) là nghiệm riêng của nghiệm tổng quát u(r, t) h 6= 0 là tham số

bổ trợ; H(r, t) 6= 0 là hàm số bổ trợ và L là toán tử tuyến tính bổ trợ có tínhchất

L[f(r, t)] = 0 ⇔ f(r, t) = 0 (1.16)

Khi đó q ∈[0,1] là tham số nhúng, chúng ta xây dựng một đồng luân

H[φ(r, t, q);u0(r, t);H(r, t), h, q] = (1−q){L[φ(r, t, q)−u0(r, t)]}−q.hH(r, t)N[φ(r, t, q)]

(1.17)Cần nhấn mạnh rằng các đồng luân ở trên chứa các tham số bổ trợ h và hàm số

bổ trợ H(r, t) Trong đó tham số bổ trợ h khác 0 và hàm số bổ trợ H(r, t) đượcđưa ra lần đầu tiên theo cách này để xây dựng một đồng luân Vì vậy đồng luânnhư vậy là tổng quát hơn so với truyền thống: Tham số bổ trợ h và hàm số bổtrợ H(r, t) đóng vai trò quan trọng trong phương pháp giải tích đồng luân Khi

đó chúng có thể tự do chọn nghiệm u0(r, t)ban đầu, toán tử tuyến tính L, tham

Khi q = 0, phương trình biến dạng cấp không (1.18) trở thành

L[φ(r, t,0)− u0(r, t)] = 0 (1.19)

Sử dụng tính chất (1.16) ta có

φ(r, t,0) =u0(r, t) (1.20)Khi q = 1, từ h 6= 0 và H(x, t) 6= 0 thì phương trình biến dạng (1.18) tươngđương với phương trình

nó chính là phương trình (1.15) ban đầu, ta có

φ(r, t,1) =u(r, t) (1.22)

Do đó từ (1.20) và (1.22) cùng với tham số nhúng q tăng từ 0 đến 1, φ(r, t, q)

biến đổi liên tục từ nghiệm u0(r, t)ban đầu đến nghiệm u(r, t) của phương trình

(1.15) ban đầu Chúng ta gọi (1.18) là phương trình đồng luân cấp không.

Ký hiệu

u[m]0 (r, t) = ∂mφ(r, t, q)

∂qm

... data-page="14">

tích đồng luân< /h3>

1.2.1 Khái niệm đồng luân ví dụ

Phương pháp giải tích đồng luân (HAM) dựa khái niệm đồng luân làkhái niệm tơ pơ hình học vi phân, đồng luân mô... 2

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

TÍCH ĐỒNG LN VÀO GIẢI PHƯƠNG

Mục 2.3: Trình bày ví dụ chọn tham số điều khiển hội tụ

Mục 2.4: So sánh phương pháp giải tích đồng. .. luân phương pháp nhiễuđồng luân

Nội dung chương tham khảo tài liệu [5], [6], [7], [8],[9], [10]

trình vi phân

Muốn ứng dụng phương pháp giải tích đồng luân vào giải