Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân

TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV 24 2.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian E -lớp.. 25 2.2 Sự tồn tại đa tạp bất biế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Ngành: Toán học

Mã số: 9460101

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TSKH NGUYỄN THIỆU HUY

TS PHAN XUÂN THÀNH

Hà Nội - 2018

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN HÓA 11 1.1 Không gian hàm 11

1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được 11

1.1.2 Bất đẳng thức nón 15

1.2 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ 16

1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 16

1.2.2 Tính ổn định và nhị phân mũ 18

1.3 Họ tiến hoá, nhị phân mũ 20

Chương 2 TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV 24 2.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian E -lớp 25

2.2 Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định trong không gian E -lớp và tính hút 28

2.3 Ứng dụng trong mô hình Fisher-Kolmogorov 38

Chương 3 ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHÔNG ỔN ĐỊNH THUỘC E -LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN

3.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ trong

không gian E -lớp 46

3.2 Đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định và tính hút 54

3.3 Ứng dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov 65

Chương 4 ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ỔN ĐỊNH ĐỊA PHƯƠNG THUỘC E -LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 71 4.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa có trễ 72

4.2 Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phương thuộc E-lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ 80

4.3 Ứng dụng vào mô hình Hutchinson 84

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 96

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, TS Phan Xuân Thành.Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực vàchưa được tác giả khác công bố

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.Nguyễn Thiệu Huy, TS Phan Xuân Thành, người thầy vô cùng mẫu mực đãtận tình giúp đỡ tôi trên con đường nghiên cứu khoa học Thầy đã chỉ bảotôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán họcđầy thú vị, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sángtạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ người thầy đáng kính củamình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đãnhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ mônToán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tôi xin đượcchân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi họctập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và toànthể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đườngtoán học mình đã chọn

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,

nhận giá trị trong X với chuẩn kukC = sup

với chuẩn kf kM := sup

EI : không gian hàm Banach chấp nhận được trên I

X, Y : không gian Banach

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹthuật đa dạng, như là hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quầnthể, Bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó

có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tácđộng trong không gian Banach

Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổngquát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triểngần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất củanghiệm phương trình đó

Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biếnthuộc lớp chấp nhận được, từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận(ổn định, không ổn định, ) nghiệm của các phương trình tiến hóa mô tả các

hệ thống kể trên khi thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán họchiện đại như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhómliên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đatạp bất biến, vv

Bài toán về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được là vấn đề nhậnđược sự quan tâm lớn của nhiều tác giả Để nghiên cứu sự tồn tại của đatạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ của phần tuyếntính trong các không gian hàm Tính nhị phân mũ của phần tuyến tính trongcác phương trình tiến hóa được trình bày trong các tài liệu ([4, 20, 33, 34])

Và điều kiện quan trọng của phần phi tuyến cho sự tồn tại của đa tạp làtính liên tục Lipschitz đều với hằng số Lipschitz đủ nhỏ Ta có thể tìm hiểusâu vấn đề này trong các tài liệu tham khảo ([2, 6, 10, 18, 29]) Tuy nhiên,

trong các mô hình thực tế phần phi tuyến có hệ số Lipschitz có thể phụthuộc vào thời gian và không đủ nhỏ Gần đây, bằng cách sử dụng phươngpháp Lyapunov-Perron và không gian hàm chấp nhận được người ta đã đưa

ra được điều kiện tổng quát hơn cho phần phi tuyến đối với sự tồn tại đatạp tích phân (xem [23, 22, 21]), đó là điều kiện liên tục Lipschitz không đều(tính ϕ-Lipschitz) với ϕ là hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhậnđược Sự tồn tại của các đa tạp bất biến kiểu mới này đã được chứng minhtrong các kết quả của PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy

Luận án "Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình

vi phân" nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được ổnđịnh hoặc không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tính hút của

đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định Từ đó, áp dụng các kết quảthu được cho một số mô hình thực tế

Cụ thể như sau: Chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa nửatuyến tính có dạng

d

dtu(t) = A(t)u(t) + f (t, u), t ∈ R, (1)

và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ liên tục

d

dtu(t) = A(t)u(t) + f (t, ut), t ∈ R hoặc t ∈ R+, (2)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trong khônggian Banach X và sinh ra họ tiến hóa U (t, s), phần phi tuyến f là toán tửϕ-Lipschitz; ut là hàm lịch sử ut(s) = u(t + s)

Một số kết quả ban đầu về không gian hàm chấp nhận được, nhị phân

mũ và đa tạp bất biến chấp nhận được đã được Nguyễn Thiệu Huy và một

số tác giả khác nghiên cứu Luận án này nhằm phát triển và bổ sung các kếtquả về sự tồn tại các đa tạp bất biến chấp nhận được đối với các phươngtrình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa và ứng dụng vào các

mô hình hệ thống cụ thể

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:

Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình (1), (2) mang đếnnhững hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vậtchất theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹthuật và công nghệ Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng

về quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông quanhững dữ liệu ban đầu và phổ của hệ thống vốn có thể tính được tronghiện tại và quá khứ

Nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp bất biến ổn định hoặc không

ổn định đưa ra cấu trúc hình học của nghiệm đối với phương trình viphân nửa tuyến tính, mặt khác nó giúp làm đơn giản hóa khi nghiêncứu tính chất nghiệm trên các đa tạp thay cho việc nghiên cứu nghiệmbất kỳ của phương trình

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng;

Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định củacác phương trình (1), (2) và tính hút của các đa tạp không ổn định

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic group) và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễnnghiệm các phương trình kể trên

Semi-• Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh của các bài toán không ô-tô-nôm tuyếntính

• Lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễu tuyếntính và phi tuyến của hệ động lực vô hạn chiều Lý thuyết các đa tạpbất biến thông thường và đa tạp chấp nhận được

4 Ý nghĩa các kết quả của luận án

Luận án nhằm phát triển và bổ sung lý thuyết về sự ổn định, không

ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính khác của nghiệm cácphương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn là mô hình của cácquá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ Bổ sung lý thuyết về đa tạpbất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian hàmBanach chấp nhận được E -lớp, từ đó đơn giản hóa việc đánh giá quy mô vàtích chất trong tương lai của các hệ thống thông qua các điều kiện ban đầu

đã biết ở hiện tại và quá khứ

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở sử dụng trong các chươngtiếp theo Trước tiên là khái niệm về không gian hàm Banach chấpnhận được trên nửa đường thẳng R+(hoặc toàn bộ đường thẳng R)(xem [20]) Tiếp theo là khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một sốtính chất của nó Sau đó là khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ của

họ tiến hoá (xem [20, 21, 22])

• Chương 2: Nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhậnđược không ổn định thuộc E -lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyếntính có dạng

(3)

trong đó, toán tử tuyến tính A(t) có thể không bị chặn sinh ra họ tiếnhóa (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X, toán tử phi tuyến f lấy giátrị trong không gian Banach và thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz Saukhi đưa ra điều kiện tồn tại đa tạp bất biến không ổn định của phương

trình (3), chúng tôi trình bày kết quả chính của chương này về tínhhút của đa tạp không ổn định và ứng dụng lý thuyết này cho mô hìnhFisher-Kolmogorov.

• Chương 3: Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của chương

2, chứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến không ổn định thuộc E -lớpcủa phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, tính hút của đa tạp

và ứng dụng vào mô hình thực tế Cụ thể, chúng tôi xét phương trình

(4)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trên khônggian Banach X, C := C([−r, 0], X) là không gian Banach với chuẩntương ứng là kφkC = supθ∈[−r,0]kφ(θ)k với φ ∈ C, hàm f : R × C → X

là toán tử phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, và ut làhàm lịch sử xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]

• Chương 4: Chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ

và với họ tiến hóa có nhị phân mũ chúng tôi chứng minh sự tồn tại đatạp bất biến ổn định địa phương thuộc E -lớp, kiểm tra kết quả với môhình Hutchinson

Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở "Danhmục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1] được

đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp chí quốc tế

và bài báo [3] đã gửi

Chương 1 KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN

HÓA

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất củanửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhậnđược trên nửa đường thẳng R+(hoặc toàn bộ đường thẳng R) (xem [20]),tính nhị phân mũ của họ tiến hoá Để tiện cho việc trình bày, trong chươngnày chúng tôi ký hiệu I thay cho R, R+

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàmchấp nhận được (xem [20])

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vector EI gồm các hàm thực đo đượcBorel trên I được gọi là không gian hàm Banach trên (I, B, λ), trong đó B làđại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên I, nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau:

(1) EI là dàn Banach với chuẩnk·kEI, tức là, (EI, k·kE

I) là không gian Banach

và nếu ϕ ∈ EI, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|, λ-hầukhắp nơi thì ψ ∈ EI và kψkEI ≤ kϕkE

I;(2) Hàm đặc trưng χA ∈ EI với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và

supt∈Ikχ[t,t+1]kE

I < ∞; inft∈Ikχ[t,t+1]kE

I > 0;

(3) EI ,→ L1,loc(I), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ I tồn tại βJ > 0 sao choR

0 với t ≥ 0 và t − τ < 0

Nếu I = R thì

Tτ+ϕ(t) = ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R(iv) EI là Tτ− bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó

với chuẩn kf kM := sup

Chú ý 1.1.4 Nếu EI là không gian hàm Banach chấp nhận được thì EI ,→M(I)

Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhậnđược

Mệnh đề 1.1.5 (Xem [20]) Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhậnđược Ta có các khẳng định sau:

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(I) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ EI Với mọi σ > 0 ta xác định

Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(I) (điều này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E (xem Chú

ý 1.1.4)) thì Λ0σϕ và Λ00σϕ bị chặn và ta cũng có:

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1 − e−σkΛ1T1+ϕk∞, kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1 − e−σkΛ1ϕk∞ (1.3)

(b) EI chứa các hàm giảm cấp mũ e−α|t| với mọi t ∈ I và hằng số α > 0 cốđịnh.

(c) EI không chứa các hàm tăng cấp mũ eb|t| với mọi t ∈ I và hằng số b > 0

cố định

Tiếp theo chúng ta định nghĩa không gian liên kết của không gian hàmBanach như sau

Định nghĩa 1.1.6 Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được và

ký hiệu S(EI) là hình cầu đơn vị trong EI Nếu

|ϕ(t)ψ(t)|dt ≤ k với mọi ϕ ∈ S(EI)

trong đó k chỉ phụ thuộc vào ψ Khi đó, E0

I là không gian định chuẩn vớichuẩn được cho bởi (xem [11, Chương 2, mục 22.])

Chúng ta gọi E0

I là không gian liên kết của EI.Chú ý 1.1.7 Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được và E0

I khônggian liên kết của nó Khi đó, từ [11, Chương 2, mục 22.] ta có Bất đẳng thứcH¨older:

được Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng E0

I chứa hàm EI-bất biến mũ, nghĩa làvới hàm ϕ ≥ 0 và ν > 0 cố định hàm hν được xác định bởi

hν(t) := ke−ν|t−·|ϕ(·)kE0

thuộc EI

Định nghĩa 1.1.9 Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi

là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,

(ii) x1, x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,

(iii) ±x ∈ K thì x = 0

Cho nón K trong không gian Banach W Với x, y ∈ W ta xác định quan

hệ x ≤ y nếu y − x ∈ K Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W Định lý 1.1.10 (Bất đẳng thức nón) Cho nón K trong không gian Banach

W sao cho K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1.Giả sử x, z ∈ W thoả mãn x ≤ Ax + z Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm củaphương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y

Chứng minh Đặt Sx := Ax + z suy ra x ≤ Sx Với mọi x, y : x ≤ y ta có

x ≤ Sx ≤ S2x ≤ · · · ≤ Snx

Chọn q sao cho rA = lim

trên miền xác định D(A) = x ∈ X : lim

h→0 +

1

h(T (h)x − x) tồn tại gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.Định lý 1.2.3 (xem [15]) Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tụcmạnh (T (t))t≥0 Khi đó:

(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính,

(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)

T (s)Axds nếu x ∈ D(A)

Định nghĩa 1.2.4 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach

X Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là

ρ(A) = λ ∈ C | (λI − A) là song ánh Khi đó

R(λ, A) := (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A

Định lý 1.2.5 (xem [15]) Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trênkhông gian Banach X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ M eωt, ∀t ≥

0 và (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0 Khi đó, ta có cáctính chất sau:

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ)

(iii) kR(λ, A)k ≤ Reλ−ωM , ∀λ : Reλ > ω

Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều:

Định nghĩa 1.2.6 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại  > 0 sao cho

lim

t→∞etkT (t)k = 0

Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.2.7 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi

là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp

X = X1⊕ X2, các không gian con đóng X1, X2 bất biến đối với (T (t))t≥0 saocho hạn chế (T1(t))t≥0 của (T (t))t≥0 trên X1, và (T2(t))t≥0 của (T (t))t≥0 trên

X2 thỏa mãn các điều kiện:

(i) Nửa nhóm (T1(t))t≥0 là ổn định mũ đều trên X1;

(ii) Nửa nhóm (T2(t))t≥0 có nghịch đảo trên X2 và (T2(t)−1)t≥0 ổn định mũđều trên X2

Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũcủa nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăngcủa nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2.8 Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử đóng trên khônggian Banach X Khi đó

s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}

được gọi là cận phổ của A

Định nghĩa 1.2.9 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tửsinh (A, D(A)) Khi đó, số thực

được gọi là cận tăng của T

Chú ý 1.2.10 Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0(A) < 0.Tuy nhiên, người ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán

tử sinh vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tửsinh có thể xác định cụ thể Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lýÁnh xạ phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây

Định nghĩa 1.2.11 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu:

σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0 (SMT)

Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem [15]).Định lý 1.2.12 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh Các mệnh đềsau là tương đương:

(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ

(ii) σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị.Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tửsinh của nó, thì các mệnh đề trên tương đương với

(iii) σ(A) ∩ iR = ∅

Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh

xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn

σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0

Chú ý: Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach

X, nếu ta thay t ∈ R+ bằng t ∈ R thì (T (t))t∈R là nhóm liên tục mạnh trênkhông gian Banach X, và các kết quả trên vẫn đúng

Một trong những mối quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa phương trình vi phân tuyến tính

dx

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cốđịnh, là tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân

mũ Trong trường hợp A(t) là hàm nhận giá trị ma trận và liên tục, Perron

đã tìm được sự liên hệ giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình

(1.6) và các tính chất của toán tử vi phân dtd − A(t) xác định trên không gian

Cb(R+, Rn) Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân Trong các sách chuyên khảo của Massera

và Sch¨affer [13], Daleckii và Krein [14] đã chỉ ra tính nhị phân mũ của nghiệmbởi điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t) trong trường hợp A(t) bịchặn Levitan và Zhikov [3] đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô hạn chiềuvới lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng Với phương trình xácđịnh trên nửa đường thẳng, để đảm bảo tính nhị phân mũ ngoài điều kiệntoàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t) chúng ta cần thêm điều kiện là tính

đủ của không gian con ổn định (xem [14, 26, 28]) Ở [20] N.T Huy đã đưa rađặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp nhậnđược trên nửa đường thẳng trong trường hợp A(t) không bị chặn

Xét bài toán Cauchy

(i) Yt ⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X,

(ii) mỗi x ∈ Ys thì bài toán Cauchy (1.7) có duy nhất nghiệm u(·, s, x),(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s

và Ysn 3 xn → x ∈ Ys thì ˜u(t, sn, xn) → ˜u(t, s, x) đều theo t trênmọi đoạn compact trong I, trong đó ˜u(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và

˜

u(t, s, x) := x với t < s

Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán

tử giải biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) Họ các toán tử này đượcgọi là họ tiến hoá

Định nghĩa 1.3.2 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s trênkhông gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ)nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) Ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) Tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọi

t ≥ s và x ∈ X

Nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) qua họ tiến hoá được cho bởi côngthức u(t) = U (t, s)u(s) Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xácđịnh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi toán tử A, khi đó chúng ta

có họ tiến hoá U (t, s) = T (t − s) Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnhhay sự tồn tại của họ tiến hoá, chúng ta có thể tham khảo trong Pazy [1],Nagel và Nickel [30]

Trong luận án này, chúng tôi sẽ xét những họ tiến hóa có nhị phân mũ,được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.3 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach Xđược gọi là có nhị phân mũ trên I nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính

bị chặn P (t), t ∈ I, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho

(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s và t, s ∈ I;

(b) Ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I, là đẳngcấu, chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)|)−1, s ≤ t;(c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s và t, s ∈ I;

(d) kU (s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I.

Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, được gọi là toán tử chiếu nhị phân và các hằng

số N, ν được gọi là hằng số nhị phân

Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t)

Bổ đề 1.3.4 [26, Bổ đề 4.2] Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũvới các toán tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t∈I

là bị chặn đều và liên tục mạnh

Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũ trên I với họ toán tử chiếu

P (t), t ∈ I Hàm Green được định nghĩa như sau

G(t, τ ) =

(

P (t)U (t, τ ) nếu t > τ và t, τ ∈ I,

−U (t, τ )|(I − P (τ )) nếu t < τ và t, τ ∈ I (1.8)Khi đó, chúng ta có đánh giá

Chương 2 TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN

ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH

FISHER-KOLMOGOROV

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

dx

dt = A(t)x + f (t, x), t ∈ R, x ∈ X (2.1)Trong đó A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trên khônggian Banach X với mọi t cố định và f : R × X −→ X là toán tử phi tuyến

Ta ký hiệu ER là một không gian hàm Banach, X là một không gian Banachvà

E := E(R, X) := {g : R → X : g là đo được mạnh và kg(·)k ∈ ER}với chuẩn

kgkE := kkg(·)kkE

R.Khi đó, không gian Banach E được gọi là không gian Banach tương ứng vớikhông gian hàm Banach ER

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại các kết quả về công thức nghiệm và

đa tạp bất biến không ổn định thuộc E -lớp, từ đó chứng minh kết quả chính

là tính hút của đa tạp bất biến không ổn định và ứng dụng kết quả đó vào

mô hình Fisher-Kolmogorov

2.1 Nghiệm của phương trình tiến hóa trong

không gian E -lớp

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm củaphương trình tiến hóa trong không gian E -lớp xác định trên toàn bộ đườngthẳng thực R với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ (trên toàn

bộ đường thẳng thực) và phần phi tuyến f (t, x) là ϕ−Lipschitz

Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.1), trước tiên chúng

ta đưa ra định nghĩa ϕ-Lipschitz cho phần phi tuyến f như sau

Định nghĩa 2.1.1 Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được và

ϕ là hàm dương thuộc ER Một hàm f : R × X → X được gọi là ϕ-Lipschitznếu f thỏa mãn

(i) f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R hầu khắp nơi,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và mọi

x1, x2 ∈ X

Chú ý 2.1.2 Nếu f : R × X → X (với f (t, 0) = 0) thỏa mãn (ii) với x1, x2thuộc hình cầu Bρ := {x ∈ X : kxk ≤ ρ} với ρ > 0 cố định thì f được gọi làϕ-Lipschitz địa phương

Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phươngtrình tích phân sau:

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s (2.2)

Bổ đề 2.1.3 [25, Bổ đề 6.8] Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũvới họ phép chiếu (P (t))t∈R và các hằng số tương ứng N, ν; ER và E0

R tươngứng là không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian liên kết của

nó Giả sử rằng ϕ ∈ ER0 là một hàm ER-bất biến mũ xác định như trong Giả

thiết 1.1.8; f : R × X → X là ϕ-Lipschitz; u(t) là nghiệm của phương trình(2.2) sao cho với t0 cố định hàm

z(t) :=

(u(t) với t ≤ t0,

0 với t > t0thuộc E Khi đó, với t ≤ t0 nghiệm u(t) có thể biểu diễn dưới dạng

Thật vậy, thay u(t) từ biểu thức (2.3) vào phương trình (2.2) ta được

Do đó, u(t) là nghiệm của phương trình (2.3).

Định lý sau cho chúng ta cấu trúc của đa tạp bất biến không ổn định củaE-lớp

Định lý 2.1.5 [25, Bổ đề 6.10] Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân

mũ với các phép chiếu tương ứng (P (t))t∈R và các hằng số nhị phân N, ν > 0;

ER và E0

R tương ứng là không gian hàm Banach chấp nhận được và khônggian liên kết của nó Giả sử rằng ϕ ∈ E0

R là một hàm ER-bất biến mũ xácđịnh như trong giả thiết 1.1.8; hàm hν thỏa mãn (1.5) Khi đó, nếu hàm f

là ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn N (1 + H)khνkER < 1 thì tương ứng với mỗi

v1 ∈ X1(t0) phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm u(t) trên (−∞, t0] thỏamãn (I − P (t0))u(t0) = v1 và hàm

z(t) :=

(u(t) với t ≤ t0

2.2 Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được

không ổn định trong không gian E -lớp và tính hút

Chúng tôi đưa ra định nghĩa của đa tạp bất biến không ổn định trongkhông gian E -lớp

Định nghĩa 2.2.1 Một tập U ⊂ R×X được gọi là đa tạp bất biến chấp nhậnđược không ổn định thuộc E -lớp đối với nghiệm của phương trình (2.2) nếu vớimọi t ∈ R không gian pha X phân tích thành tổng trực tiếp X = X0(t)⊕X1(t)sao cho

(i) U = {(t, x + gt(x)) ∈ R × (X1(t) ⊕ X0(t)) | t ∈ R, x ∈ X1(t)}, và chúng

ta ký hiệu bởi Ut = {x + gt(x) : (t, x + gt(x)) ∈ U} được gọi là mặt của

đa tạp U tại thời điểm t

(ii) Ut đồng phôi với X1(t) với mọi t ∈ R

(iii) Với mỗi x0 ∈ Ut0 tồn tại duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2)trên (−∞, t0] thỏa mãn điều kiện u(t0) = x0 và hàm

z(t) :=

(u(t) với t ≤ t0,

0 với t > t0

thuộc E

(iv) U là bất biến theo nghĩa, nếu u(·) ∈ E là một nghiệm của phương trình(2.2) thỏa mãn điều kiện u(t0) = x0 ∈ Ut0 với t0 ∈ R thì u(t) ∈ Ut vớimọi t ∈ R.

Sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định thuộc E -lớpcho nghiệm của phương trình (2.2) đã được chứng minh cơ bản trong [25,Định lý 6.11] Chúng ta đưa ra định lý về sự tồn tại của đa tạp không ổnđịnh E -lớp

Định lý 2.2.2 (xem [25]) Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ vớicác phép chiếu tương ứng (P (t))t∈R và các hằng số nhị phân N, ν > 0; ER và

N2N1(1 + H)keνkERkϕkE0

R + N (1 + H)khνkER < 1thì tồn tại một đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định U thuộc E -lớpvới các nghiệm của phương trình (2.2)

Hơn nữa, hai nghiệm u1(t), u2(t) bất kỳ trên đa tạp U hút nhau cấp mũ, tức

là thỏa mãn đánh giá sau

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t)k(I − P (t0))(u1(t0) − u2(t0))k với t ≤ t0 (2.5)với µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào t0 và u1, u2

Chứng minh Do họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ, với mỗi t ∈ R chúng

ta có thể tách không gian pha X thành tổng trực tiếp X = X0(t) ⊕ X1(t),trong đó X0(t) = P (t)X và X1(t) = KerP (t) Hơn nữa, vì supt∈RkP (t)k < ∞chúng ta có được

inf

t∈RSn(X0(t), X1(t)) := inf

t∈R inf{kx0+ x1k : xi ∈ Xi(t), kxik = 1, i = 0, 1} > 0

Bây giờ, chúng ta xây dựng họ các ánh xạ Lipschitz (gt)t∈R thỏa mãn các điềukiện của Định nghĩa 2.2.1 Với mỗi t0 ∈ R, chúng ta xác định gt 0 : X1(t0) →

Z t0

−∞

e−ν|t−τ |ϕ(τ )kx1(τ ) − x2(τ )kdτvới t ≤ t0 Điều này kéo theo

kx1(t) − x2(t)k ≤ N (Tt+0eν)(t)ky1 − y2k + N (1 + H)hν(t)kx1 − x2kE

R.Hơn nữa,

kx1 − x2kER ≤ N N1keνkERky1 − y2k + N (1 + H)khνkERkx1 − x2kER

Do đó,

kx1 − x2kER ≤ N N1keνkER

1 − N (1 + H)khνkERky1 − y2k.

Thay bất đẳng thức này vào (2.7) ta có

Đặt U = {(t, y + gt(y)) ∈ R × (X0(t) ⊕ X1(t)) | t ∈ R, y ∈ X1(t)} Vìhằng số Lipschitz

ta có được rằng Ut đồng phôi với X1(t)

Điều kiện (iii) trong Định nghĩa 2.2.1 suy ra từ Định lý 2.1.5

Tiếp theo, chúng ta chứng minh điều kiện (iv), tức là chứng minh U bấtbiến Thật vậy, với x(·) là một nghiệm trong E của phương trình (2.2) saocho x(t0) = x0 ∈ Ut0 Chúng ta sẽ chứng minh rằng x(s) ∈ Us với mọi s ∈ R.Trước tiên, với s ≤ t0, theo Bổ đề 2.1.3 chúng ta có

Z s

−∞

G(s, τ )f (τ, x(τ ))dτ

Mặt khác, với t ≤ s chúng ta có

U (t, s)|ws+

Z s

−∞

G(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ = U (t, s)|U (s, t0)|v1+ U (t, s)|

Z t0s

Z s t

U (t, τ )|(I − P (τ ))f (τ, w(τ )).dτ

Như vậy

w(t) = U (t, s)|ν2 −

Z s t

U (t, τ )|(I − P (τ ))f (τ, w(τ ))dτ+

U (t, τ )|(I − P (τ ))f (τ, w(τ ))dτ+

Chú ý 2.2.3 Nếu phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phươngtrong hình cầu Bρ := {x ∈ X : kxk ≤ ρ} bằng cách chứng minh tương tự, ta

có sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định địa phươngthuộc E -lớp đối với các nghiệm trong hình cầu Bρ khi t → −∞ (Xem [25,Định lý 6.5])

Bây giờ, chúng ta đưa ra tính hút của đa tạp bất biến chấp nhận đượckhông ổn định thuộc E -lớp với các nghiệm của phương trình (2.2) Cụ thể,chúng ta sẽ chứng minh rằng đa tạp không ổn định E -lớp U = {(t, Ut)}t∈Rhút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình (2.2) theo nghĩa là nghiệmu(·) của phương trình (2.2) được hút theo cấp mũ tới u∗(·) nằm trong đa tạpkhông ổn định E -lớp Thật vậy, chúng ta sẽ chứng minh định lý sau

Định lý 2.2.4 Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 thỏa mãn Với mỗi

ku(t)−u∗(t)k ≤ Ce−α(t−ξ)kgξ((I−P (ξ))u(ξ))−P (ξ)u(ξ)k, t ≥ ξ hầu khắp nơi.Chứng minh Với ξ ∈ R cố định đặt

Eξ,α := {w ∈ E sao cho w(t) = 0 với t < ξ và eα(t−ξ)kw(t)k ∈ ER ∩ L∞(R)}

Eξ,αkhông gian Banach với chuẩn |w|α = max{ keα(t−ξ)kw(t)k kER, keα(t−ξ)wk∞}

ở đó keα(t−ξ)wk∞ = ess supt≥ξeα(t−ξ)kw(t)k Chúng ta sẽ tìm u∗(·) có dạng

u∗(t) = u(t) + w(t) sao cho w ∈ Eξ,α

Chúng ta thấy rằng u∗(·) là nghiệm của phương trình (2.2) khi và chỉ khiw(·) là nghiệm của phương trình

w(t) = U (t, ξ)w(ξ) +

Z t ξ

U (t, τ )[f (τ, u(τ ) + w(τ )) − f (τ, u(τ ))]dτ (2.8)

Đặt F (t, w(t)) := f (t, u(t) + w(t)) − f (t, u(t)) Khi đó, F : R × X → X làhàm ϕ-Lipschitz và F (t, 0) = 0 Và phương trình (2.8) có thể được viết dướidạng

w(t) = U (t, ξ)w(ξ) +

Z t ξ

U (t, τ )F (τ, w(τ ))dτ (2.9)Theo [20, Bổ đề 4.3] và [20, Chú ý 4.4], ta thấy rằng nghiệm w(t) của phươngtrình (2.9) xác định trên [ξ, ∞) (ở đây w(t) = 0 với t < ξ), thuộc E khi vàchỉ khi nó thỏa mãn

w(t) = U (t, ξ)ν0 +

Z ∞ ξ

G(t, τ )F (τ, w(τ ))dτ với t ≥ ξ (2.12)Như vậy, u∗(t) là nghiệm của phương trình (2.2) và thỏa mãn u∗(ξ) ∈ Uξ nếuw(t) là nghiệm của phương trình (2.12)

Tiếp theo, ta sẽ đi chứng minh sự tồn tại của u∗(t) thỏa mãn các giảthiết của định lý Chúng ta sẽ tìm nghiệm w(t) của phương trình (2.12) trongkhông gian Banach Eξ,α Trên không gian Banach Eξ,α, chúng ta xác địnhánh xạ T như sau

e−ν|t−τ |ϕ(τ )kw(τ )k dτ

≤ N kν0k + N (1 + H)

Z ∞ ξ

e−(ν−α)|t−τ |ϕ(τ )eα(τ −ξ)kw(τ )k dτ

≤ N e−(ν−α)(t−ξ)kν0k + N (1 + H)hν−α(t)keα(τ −ξ)kw(τ )k kER

Vì các hàm e−(ν−α)(t−ξ), hν−α(t) ∈ ER và tính chất lưới của không gian Banach

ER suy ra eα(t−ξ)k(T w)(t)k ∈ ER từ Vì vậy, eα(t−ξ)k(T w)(t)k ∈ ER∩ L∞(R).Điều này dẫn đến T w ∈ Eξ,α Bởi tính liên tục Lipschitz của gξ chúng ta có

kν0k ≤ kgξ((I − P (ξ))u(ξ)) − P (ξ)u(ξ)k

+ kgξ((I − P (ξ))(u(ξ) + w(ξ))) − gξ((I − P (ξ))u(ξ))k

≤ kgξ((I − P (ξ))u(ξ)) − P (ξ)u(ξ)k + qk(I − P (ξ))w(ξ)k

≤ kgξ((I − P (ξ))u(ξ)) − P (ξ)u(ξ)k + q(1 + H)|w|α