Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân tt

Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biếnthuộc lớp chấp nhận được từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận ổnđịnh, không ổn định,... của nghiệm các phư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-ĐINH XUÂN KHÁNH

ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngành: Toán học

Mã số: 9460101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Công trình được hoàn thiện tại:

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

——————————-Người hướng dãn khoa học:

PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy

Vào hồi giờ, ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội

2 Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên,

kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quầnthể, Bằng cách chọn không gian và toán tử thích hợp các phương trình đó

có thể viết dưới dạng phương trình vi phân trừu tượng với các toán tử tácđộng trong không gian Banach Khi nghiên cứu các phương trình trừu tượngtrong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương phápmới dựa trên những phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn

đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó

Luận án này nhằm nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại các đa tạp bất biếnthuộc lớp chấp nhận được từ đó có thể tìm hiểu những tính chất tiệm cận (ổnđịnh, không ổn định, ) của nghiệm các phương trình tiến hóa mô tả các hệthống kể trên khi thời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán họchiện đại như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhómliên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đatạp bất biến, vv

Bài toán về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được là vấn đề nhậnđược sự quan tâm lớn của nhiều tác giả Để nghiên cứu sự tồn tại của đatạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ của phần tuyếntính trong các không gian hàm, và tính liên tục Lipschitz đều với hằng sốLipschitz đủ nhỏ của phần phi tuyến Tuy nhiên, trong các mô hình thực tếphần phi tuyến có hệ số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và không đủnhỏ Gần đây, bằng cách sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và khônggian hàm chấp nhận được người ta đã đưa ra được điều kiện tổng quát hơncho phần phi tuyến đối với sự tồn tại đa tạp tích phân, đó là điều kiện liên

tục Lipschitz không đều (tính ϕ-lipschitz) với ϕ là hàm thực dương thuộckhông gian hàm chấp nhận được Sự tồn tại của các đa tạp bất biến kiểu mớinày đã được chứng minh trong các kết quả của PGS.TSKH Nguyễn ThiệuHuy Luận án này nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhậnđược ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tínhhút của đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định Từ đó, áp dụng cáckết quả thu được cho một số mô hình thực tế.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của các

đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định đưa ra cấu trúchình học của nghiệm đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính, mặt khác

nó giúp làm đơn giản hóa khi nghiên cứu tính chất nghiệm trên các đa tạpthay cho nghiên cứu nghiệm bất kỳ của phương trình

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Các phương trình

vi phân đạo hàm riêng; Đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định hoặc không

ổn định của các phương trình trên và tính hút của các đa tạp bất biến chấpnhận được không ổn định

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau: Sử dụng phươngpháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic Semigroup) và khái niệm nghiệm

đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm các phương trình tiến hóanửa tuyến tính Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh của các bài toán không ô-tô-nômtuyến tính Lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễutuyến tính và phi tuyến của hệ động lực vô hạn chiều Lý thuyết các đa tạpbất biến thông thường và đa tạp chấp nhận được

4 Ý nghĩa các kết quả của luận án

Luận án nhằm phát triển và bổ sung lý thuyết về sự ổn định, không

ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính khác của nghiệm cácphương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn là mô hình của các

quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ Bổ sung lý thuyết về đa tạpbất biến chấp nhận được ổn định hoặc không ổn định thuộc không gian hàmBanach chấp nhận được E -lớp, từ đó đơn giản hóa việc đánh giá quy mô vàtích chất trong tương lai của các hệ thống thông qua các điều kiện ban đầu

đã biết ở hiện tại và quá khứ

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian hàmBanach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+(hoặc toàn bộ đường thẳngR), khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa nhóm,

về họ tiến hóa, nhị phân mũ của họ tiến hoá

Chương 2: Trình bày sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không

ổn định thuộc E -lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần tuyếntính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ; phần phi tuyến thỏa mãn điều kiệnϕ-Lipschitz Từ đó nghiên cứu về tính hút của đa tạp không ổn định và ứngdụng lý thuyết này cho mô hình Fisher-Kolmogorov

Chương 3: Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của chương 2,chứng minh sự tồn tại nghiệm và đa tạp bất biến chấp nhận được không ổnđịnh thuộc E -lớp của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, tính hútcủa đa tạp và ứng dụng vào mô hình thực tế

Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trìnhtiến hóa nửa tuyến tính có trễ, và với họ tiến hóa có nhị phân mũ chúng tôichứng minh sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được ổn định địa phươngthuộc E -lớp, kiểm tra kết quả với mô hình Hutchinson

Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở "Danhmục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1] được đăngtrên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trên tạp chí quốc tế và bài báo[3] đã gửi

Chương 1 KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN

HÓA

Để tiện cho việc trình bày, trong chương này chúng tôi ký hiệu I thay cho

R, R+

Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm Banach EI được gọi là chấp nhận đượcnếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ I và mọi ϕ ∈ EI ta có

0 với t ≥ 0 và t − τ < 0Nếu I = R thì Tτ+ϕ(t) = ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R

(iv) EI là Tτ− bất biến với mọi τ ∈ I, trong đó

Tτ−ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ∈ I

Hơn nữa ∃N1, N2 > 0 sao cho kTτ+kE ≤ N1, kTτ−kE ≤ N2 với mọi τ ∈ I.Mệnh đề 1.1.2 Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được Ta cócác khẳng định sau:

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(I) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ EI Với mọi σ > 0 ta xác định

Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(I) (điều này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λ0σϕ

và Λ00σϕ bị chặn và ta cũng có:

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1 − e−σkΛ1T1+ϕk∞, kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1 − e−σkΛ1ϕk∞ (1.2)(b) e−α|t| ∈ EI với mọi t ∈ I và hằng số α > 0 cố định

(c) eb|t| ∈ E/ I mọi t ∈ I và hằng số b > 0 cố định

Chú ý 1.1.3 Cho EI là không gian hàm Banach chấp nhận được và E0

I khônggian liên kết của nó Khi đó, ta có Bất đẳng thức H¨older:

hν(t) := ke−ν|t−·|ϕ(·)kE0

Định nghĩa 1.2.1 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s trênkhông gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ)nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) Ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) Tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọi

(iii) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s và t, s ∈ I;

(iv) kU (s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I

Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và các hằng

số N, ν được gọi là hằng số nhị phân

Bổ đề 1.2.3 Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũ với các toán tửchiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t∈I là bị chặn đều vàliên tục mạnh

Cho (U (t, s))t≥s là họ tiến hoá nhị phân mũ trên I với họ toán tử chiếu

P (t), t ∈ I Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau

G(t, τ ) =

(

P (t)U (t, τ ) nếu t > τ và t, τ ∈ I,

−U (t, τ )|(I − P (τ )) nếu t < τ và t, tau ∈ I (1.5)

Khi đó, với H = sup

t∈I

kP (t)k chúng ta có đánh giákG(t, τ )k ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t 6= τ và t, τ ∈ I (1.6)

Kết luận Chương 1

Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều tàiliệu tham khảo khác nhau Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ sởnghiên cứu cho các chương sau của luận án

Chương 2 TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN

ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH

FISHER-KOLMOGOROV

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

dx

dt = A(t)x + f (t, x), t ∈ R, x ∈ X (2.1)Trong đó A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trên khônggian Banach X với mọi t cố định, và f : R × X −→ X là toán tử phi tuyến

Ta ký hiệu ER là một không gian hàm Banach, X là một không gian Banachvà

E := E(R, X) := {g : R → X : g là đo được mạnh và kg(·)k ∈ ER}

Định nghĩa 2.1.1 Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được và

ϕ là hàm xác định dương thuộc ER Một hàm f : R × X → X được gọi làϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn

(i) f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R hầu khắp nơi,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với mọi t ∈ R hầu khắp nơi và mọi

R là một hàm ER-bất biến mũ xác định như trong Giả thiết 1.1.4;

f : R × X → X là ϕ-Lipschitz; u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) saocho với t0 cố định hàm z(·) := χ(−∞,t0]u(t) ∈ E Khi đó, với t ≤ t0 nghiệmu(t) có thể biểu diễn dưới dạng

Định lý 2.1.4 Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn Khi đó,nếu hàm f là ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn N (1 + H)khνkE

R < 1 thì tương ứngvới mỗi v1 ∈ X1(t0) phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm u(t) trên (−∞, t0]thỏa mãn (I − P (t0))u(t0) = v1 và hàm z(·) = χ(−∞,t0]u(t) ∈ E Hơn nữa vớinghiệm u1(t) và u2(t) tùy ý ứng với v1, v2 ∈ X1(t0) ta có đánh giá sau:

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t)kv1 − v2k với t ≤ t0, (2.4)trong đó µ và Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào t0, u1 và u2

2.2 Sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được

không ổn định trong không gian E -lớp và tính hút

Định nghĩa 2.2.1 Một tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp bất biến chấpnhận được không ổn định thuộc E -lớp (hoặc đa tạp bất biến chấp nhận đượcthuộc E -lớp) đối với nghiệm của phương trình (2.2) nếu với mọi t ∈ R khônggian pha X phân tích thành tổng trực tiếp X = X0(t) ⊕ X1(t) sao cho

(ii) Ut đồng phôi với X1(t) với mọi t ∈ R

(iii) Với mỗi x0 ∈ Ut0 tồn tại duy nhất nghiệm u(t) của phương trình(2.2) trên (−∞, t0] thỏa mãn điều kiện u(t0) = x0 và hàm z(·) =

χ(−∞,t0]u(t) ∈ E

(iv) U là bất biến theo nghĩa, nếu u(·) ∈ E là một nghiệm của phương trình(2.2) thỏa mãn u(t0) = x0 ∈ Ut0 với t0 ∈ R thì u(t) ∈ Ut với mọi t ∈ R.Định lý 2.2.2 Giả sử các điều kiện của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn Xét cáchàm eν bởi eν(t) := e−ν|t| và hν bởi (1.4) Khi đó, nếu hàm f là ϕ-Lipschitzvới ϕ thỏa mãn

N2N1(1 + H)keνkE

RkϕkE0

R + N (1 + H)khνkE

R < 1thì tồn tại một đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định U của E -lớpvới các nghiệm của phương trình (2.2)

Hơn nữa, hai nghiệm u1(t), u2(t) bất kỳ trên đa tạp U hút nhau cấp mũ, tức

là thỏa mãn đánh giá sau

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t)k(I − P (t0))(u1(t0) − u2(t0))k với t ≤ t0 (2.5)với µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào t0 và u1, u2

Định lý 2.2.3 Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 thỏa mãn Với mỗi

ku(t)−u∗(t)k ≤ Ce−α(t−ξ)kgξ((I−P (ξ))u(ξ))−P (ξ)u(ξ)k, t ≥ ξ hầu khắp nơi

Chúng ta xét bài toán sau

Với kỹ thuật chọn không gian, toán tử tuyến tính, phi tuyến và chọn K(t) :=

1p+



2αp(α + ν)(α − ν)

1p#

< 1

thì tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn định U = {(t, Ut)}t∈Rthuộc Lp-lớp đối với nghiệm đủ tốt và đa tạp này hút mọi nghiệm đủ tốt củaphương trình

Như đã nói ở trên, giao {(t, Ut ∩ Bρ)}t∈R là đa tạp bất biến chấp nhậnđược không ổn định địa phương thuộc Lp-lớp cho nghiệm đủ tốt của phươngtrình (2.6) xung quanh nghiệm u0(t, ·) dẫn đến sự không ổn định của nghiệmnày

Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:

• Chỉ ra được tính hút đa tạp bất biến chấp nhận được không ổn địnhthuộc không gian E -lớp cho nghiệm của phương trình tiến hóa nửatuyến tính;

• Ứng dụng kết quả thu được vào mô hình Fisher-Kolmogorov về sự lâytruyền của lớp gen trội trong quần thể sinh thái

Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục côngtrình đã công bố của luận án

cố định; f : R × C([−r, 0], X) → X là toán tử phi tuyến liên tục, và ut

là hàm lịch sử được xác định ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Ký hiệu

C := C([−r, 0], X) là không gian tất cả các hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, vớichuẩn tương ứng là kφkC = supθ∈[−r,0]kφ(θ)k với φ ∈ C Đặt

E := E(R, C) := {g : R → C : g là đo được mạnh và kg(·)kC ∈ ER} (3.2)

với chuẩn tương ứng là kgkE := kkg(·)kCkE

R Khi đó, E được gọi không gianBanach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được ER

tuyến tính có trễ trong không gian E -lớp

Với họ các phép chiếu (P (t))t∈R trên X, chúng ta có thể định nghĩa cáctoán tử ( eP (t))t∈R trên C như sau: eP (t) : C −→ C

( eP (t)φ)(θ) = U (t + θ, t)|(I − P (t))φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0] (3.3)

Ta có ( eP (t))t∈R là các phép chiếu trên C Hơn nữa,

Im eP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t+θ, t)|v1 với mọi θ ∈ [−r, 0], với v1 ∈ KerP (t)}

Định nghĩa 3.1.1 Cho ER là một không gian hàm Banach chấp nhận được

và ϕ là một hàm dương thuộc ER Một hàm f : R × C → X được gọi làϕ-Lipschitz nếu f thỏa mãn

(i) kf (t, 0)k = 0 với t ∈ R hầu khắp nơi,

(ii) kf (t, φ1) − f (t, φ2)k ≤ ϕ(t)kφ1− φ2kC với t ∈ R h.k.n và mọi φ1, φ2 ∈ C.Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) với giá trị ban đầu φ ∈ C là nghiệmcủa phương trình tích phân sau

Khi đó, với t ≤ t0, u(t) có thể được viết như sau

u(t) = U (t, t0)|v1 +

Z t 0

−∞

G(t, τ )f (τ, uτ)dτ, (3.5)Trong đó v1 ∈ X1(t0) = (I − P (t0))X, và G(t, τ ) là hàm Green

Chú ý 3.1.3 Chúng ta gọi phương trình (3.5) là phương trình Perron Bằng tính toán tương tự như trong Chú ý 2.1.3, ta thấy rằng điềungược lại của Bổ đề 3.1.2 cũng đúng, tức là, mọi nghiệm của phương trình(3.5) thỏa mãn phương trình (3.4) với t ≤ t0.

Lyapunov-Định lý 3.1.4 Với giả thiết của Bổ đề 3.1.2 và cho hν là hàm xác địnhnhư trong Giả thiết 1.1.4 Giả sử rằng N (1 + H)eνrkhνkER < 1 Khi đó, vớimỗi φ ∈ Im eP (t0) có một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (3.4) trên(−∞, t0] thỏa mãn điều kiện eP (t0)ut0 = φ và hàm z(·) = χ(−∞,t0]u(t) ∈ E Hơn nữa, nếu N (1+H)eνr(N1+N2)kΛ1ϕk∞ < 1, thì với hai nghiệm u(t), v(t)bất kỳ tương ứng với φ1, φ2 ∈ Im eP (t0) ta có:

kut − vtkC ≤ Cµe−µ(t−s)kφ1(0) − φ2(0)k với mọi t ≤ t0,

trong đó µ, Cµ là hằng số không phụ thuộc vào t và các điều kiện ban đầu

hút

Định nghĩa 3.2.1 Một tập S ⊂ R × C được gọi là đa tạp bất biến chấpnhận được không ổn định thuộc E -lớp đối với nghiệm của phương trình (3.4)nếu với mọi t ∈ R ta có C = eX0(t) ⊕ eX1(t) với các phép chiếu tương ứng eP (t)sao cho supt∈Rk eP (t)k < ∞ và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục

Φt : eX0(t) → eX1(t), t ∈ Rvới các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t sao cho:

(i) S = {(t, ψ + Φt(ψ)) ∈ R × ( eX0(t) ⊕ eX1(t)) | t ∈ R, ψ ∈ eX0(t)}, và kýhiệu St := {ψ + Φt(ψ) | (t, ψ + Φt(ψ)) ∈ S}, t ∈ R,

(ii) St đồng phôi với eX0(t) với mọi t ∈ R,

(iii) Mỗi t0 ∈ R, φ ∈ St 0 có một và chỉ một nghiệm u(t) tương ứng củaphương trình (3.4) trên (−∞, t0] thỏa mãn ut0 = φ và hàm z(·) ∈ E ,