Một số vấn đề về tổ hợp và ứng dụng

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp trong toán họcphổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm từ cơbản đến nâng cao và ứng dụng tổ hợp trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HẮC HẢI

Hà Nội, 2017

Mục lục

1.1 Các nguyên lý cơ bản của phép đếm 1

1.1.1 Nguyên lý cộng 1

1.1.2 Nguyên lý nhân 2

1.1.3 Nguyên lý bù trừ 3

1.2 Khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 4

1.2.1 Hoán vị 4

1.2.2 Chỉnh hợp 6

1.2.3 Tổ hợp 7

1.3 Nhị thức Newton 9

1.4 Định nghĩa xác suất 10

1.4.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 10

1.4.2 Định nghĩa thống kê về xác suất 11

2 Một số bài toán về tổ hợp 12 2.1 Một số phương pháp giải bài toán tổ hợp thường gặp 12

2.1.1 Sử dụng phép đếm, các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ

hợp, nguyên lý bù trừ 12

2.1.2 Sử dụng đạo hàm, tích phân để chứng minh các đồng nhất thức tổ hợp 18

2.1.3 Sử dụng công thức truy hồi 22

2.1.4 Sử dụng phương pháp đếm bằng hai cách 26

2.2 Một số phương pháp nâng cao giải bài toán tổ hợp 29

2.2.1 Phương pháp sử dụng song ánh 29

2.2.2 Phương pháp số phức 33

2.2.3 Phương pháp quỹ đạo 38

2.2.4 Phương pháp hàm sinh 45

3 Một số ứng dụng của tổ hợp trong xác suất thống kê 51 3.1 Ứng dụng trong lý thuyết chọn mẫu 51

3.2 Ứng dụng trong các bài toán tính xác suất ở bậc phổ thông 56

3.2.1 Ứng dụng trong chương trình toán phổ thông 56

3.2.2 Ứng dụng trong sinh học 60

3.3 Ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất 65

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hắc Hải, giảng viênkhoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội đã trực tiếp giao đề tài và hướng dẫn tôitận tình, cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội 2đã dạy bảo tôi tận tình trong suốtquá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017

Học viên

Đinh Thị Giang

Lời cam đoan

Luận văn của tôi được hoàn thành với sự hướng dẫn của tiến sĩ Nguyễn HắcHải cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình thực hiện tôi có thamkhảo một số tài liệu (có nói trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những nội dung trình bày trong luận văn này là kết quảcủa quá trình tìm hiểu, học tập và tiếp thu sự hướng dẫn, chỉ dạy của thầyNguyễn Hắc Hải Những nội dung đó không trùng lặp với các kết quả của tácgiả khác

Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017

Học viên

Đinh Thị Giang

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học tổ hợp là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm.Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp là một trong những nộidung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Trung học phổthông Quốc gia Mặc dù ở mức độ không khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khănkhi giải quyết các bài toán này Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, cácbài toán tổ hợp luôn có mặt và là một thử thách thực sự với các thí sinh Vớimong muốn tìm hiểu sâu hơn nữa về các bài toán tổ hợp cũng như ứng dụng của

tổ hợp, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP

VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp trong toán họcphổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm từ cơbản đến nâng cao và ứng dụng tổ hợp trong xác suất Đây có thể coi là tài liệutham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh THPT về chủ đề này

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các bài toán tổ hợptrong luận văn còn ít, chưa có nhiều bài toán khó Ngoài ra luận văn cũng khôngthể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quýthầy cô và các bạn

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp và hệ thống lại các phương pháp giải bài toán tổ hợp thường gặp,một số phương pháp nâng cao giải bài toán tổ hợp và các ứng dụng của tổ hợptrong xác suất.Từ đó góp phần hình thành tư duy giải toán mang tính hiện đại.Xây dựng một tài liệu về phương pháp giải toán tổ hợp và ứng dụng vào việctính xác suất hay ứng dụng trong thực tế chọn mẫu Với hi vọng đóng góp mộtphần nhỏ trong hệ thống vô cùng lớn về tài liệu tổ hợp Và đặc biệt tôi hi vọngrằng các kết quả nghiên cứu được tập hợp trong luận văn có thể ứng dụng tốtvào thực tế giảng dạy môn Toán ở bậc phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết về tổ hợp bao gồm các khái niệm cơ bản về phép đếm,hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton và một số định nghĩa về xác suất.Nêu rõ một số phương pháp giải bài toán tổ hợp thường gặp và trình bày hệthống một số phương pháp nâng cao

Nêu rõ ứng dụng của tổ hợp trong xác suất để chọn mẫu, để giải quyết cácbài toán xác suất ở bậc phổ thông cả trong toán học và trong sinh học, và vàvận dụng các phương pháp nâng cao để tính xác suất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu các phương pháp giải toán tổ hợp và các bài toán tổ hợp và các kếtquả tổ hợp cơ bản, mô hình xác suất cổ điển trong các tài liệu về toán tổ hợpcủa các tác giả trong và ngoài nước

Nghiên cứu các kết quả và đề tài ứng dụng của toán tổ hợp trên các bài báo,tạp chí trong và ngoài nước

6 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được hoàn thiện dựa trên nghiên cứu lý thuyết cùng nghiên cứuthực tiễn dựa vào phân tích và tổng kết kinh nghiệm cùng quan sát khoa học

Nội dung

Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kếtluận và Tài liệu tham khảo Nội dung cụ thể trong Chương1, Chương2, Chương

3 của luận văn được phân bố như sau:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Các nguyên lý cơ bản của phép đếm

1.2 Khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1.3 Nhị thức Newton

1.4 Định nghĩa xác suất

Chương 2: Một số bài toán về tổ hợp

2.1 Một số phương pháp giải bài toán tổ hợp thường gặp

2.2 Một số phương pháp nâng cao giải bài toán tổ hợp

Chương 3: Một số ứng dụng của tổ hợp trong xác suất thống kê3.1 Ứng dụng trong lý thuyết chọn mẫu

3.2 Ứng dụng trong các bài toán tính xác suất ở bậc phổ thông

3.3 Ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Các nguyên lý cơ bản của phép đếm

Phép đếm có vai trò rất quan trọng trong đời sống cũng như trong khoa học.Trong cuộc sống hàng ngày, ta thường xuyên phải đếm các đối tượng nào đó và

vì thế mà phép đếm dường như khá gần gũi và không có gì phải bàn đến Tuynhiên, trong các kì thi Đại học trước đây và trong kì thi Trung học phổ thôngQuốc Gia và thi học sinh giỏi, bài toán đếm cũng gây không ít khó khăn chocác thí sinh

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày các quy tắc đếm cơ bản, nhờ đó có thểtìm được kết quả nhanh và chính xác mà không cần đếm trực tiếp bằng cáchliệt kê

1.1.1 Nguyên lý cộng

Định nghĩa 1.1 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động.Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiệnkhông trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có

m + n cách thực hiện

Biểu diễn dưới dạng tập hợp

Nếu X, Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

cách

Tổng quát

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ là

H1, H2, , Hk Trong đó: H1 có n1 cách thực hiện

H2 có n2 cách thực hiện, sau khi đã hoàn thành công việc H1

Hk có nk cách thực hiện, sau khi đã hoàn thành xong công việc Hk−1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2 nk cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp

Nếu A1, A2, , An là n tập hợp hữu hạn (n > 1), khi đó số phần tử của tích

đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các

A1.A2 An được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của A1 , mộtphần tử của A2 , , một phần tử của An Theo quy tắc nhân ta nhận đượcđẳng thức:

|A 1 A 2 A n | = |A 1 ||A 2 | |A n |

1.1.3 Nguyên lý bù trừ

Cho X là tập hữu hạn và A ⊂ X Gọi A = X\A Khi đó ta có

A = |X| − |A|

Định lý 1.2 (Công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp bất kì) Cho A và

B là hai tập hợp hữu hạn bất kì Khi đó ta có

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Chứng minh Ta có B và A\B là hai tập hợp không giao nhau và A ∪ B =

B ∪ (A\B) nên

|A ∪ B| = |B| + |A\B| (1)

Mặt khác A ∩ B và A\B là hai tập hợp không giao nhau và A = (A ∩ B) ∪ (A\B)

nên |A| = |A ∩ B| + |(A\B)|, do đó

|A\B| = |A| − |A ∩ B| (2)

Thay (2) vào (1) ta được điều phải chứng minh

Định lý 1.3 (Công thức tính số phần tử của của hợp ba tập bất kì) Cho A, B, C

Thay (4), (5) vào (3) ta được điều phải chứng minh

Với n tập hữu hạn A1, A2, , An ta có định lý tổng quát sau

Định nghĩa 1.5 Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Mỗi cách xếp n phần

tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi làmột hoán vị của n phần tử đã cho Kí hiệu số hoán vị của n phần tử bằng Pn.Định lý 1.6 Số hoán vị của n phần tử

Pn = n! = n.(n − 1) 2.1

Chứng minh Việc sắp xếp thứ tựn phần tử của tập hợpA cón phần tử là côngviệc gồm n công đoạn Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất:

Có n cách thực hiện Sau khi thực hiện công đoạn 1, công đoạn 2 là chọn phần

tử để xếp vào vị trí thứ hai: Có n − 1 cách thực hiện Sau khi thực hiện xong

i − 1 công đoạn (chọn i − 1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2, , i − 1), côngđoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứi: Có n − i + 1cách thựchiện

Công đoạn cuối cùng (công đoạn thứ n) có 1 cách thực hiện Theo quy tắcnhân, ta có n(n − 1) 2.1 = n! cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A, tức là

có n! hoán vị

Khi sắp xếp n đối tượng không đôi một phân biệt thì định nghĩa (1.5) khôngcòn đúng Mở rộng định nghĩa hoán vị ta có định nghĩa hoán vị lặp như sau.Định nghĩa 1.7 Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần gọi

là hoán vị lặp

Khi đó số hoán vị lặp được tính như sau

Định lý 1.8 Số hoán vị của tập n phần tử thuộc k loại khác nhau, mà các phần

tử loại i(1 ≤ i ≤ k) giống hệt nhau, xuất hiện ni lần với n1+ n2+ + nk = n,được kí hiệu là P (n1, n2, , nk) và được tính bằng công thức

1.2.2 Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.9 Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương k với

1 ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó tađược chỉnh hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một chỉnh hợp chập k

của A ) Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Akn

Từ định nghĩa, ta thấy một hoán vị của tập hợpA cón phần tử là một chỉnhhợp chập n củaA

Định lý 1.10 Số các chỉnh hợp chập k cuả tập A có n phần tử được tính bởicông thức

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!

Chứng minh Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử làcông việc gồm k công đoạn Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứnhất: Có n cách thực hiện Sau khi thực hiện công đoạn 1, công đoạn 2 là chọnphần tử xếp vào vị trí thứ hai: Có n − 1 cách thực hiện Sau khi thực hiện xong

i − 1 công đoạn ( chọn i − 1 phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2, , i − 1), côngđoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứi: Có n − i + 1cách thựchiện Công đoạn cuối cùng (công đoạn thứ k) có n − k + 1 cách thực hiện Theoquy tắc nhân, ta có n(n − 1) (n − k + 1) cách lập một chỉnh hợp chập k của tập

A có n phần tử, tức là có n(n − 1) (n − k + 1) chỉnh hợp chập k của tập A có n

phần tử

Tương tự hoán vị lặp ta mở rộng định nghĩa chỉnh hợp lặp như sau

Định nghĩa 1.11 Cho tập hợp hữu hạn A gồm n(n ≥ 1) phần tử Mỗi dãy có

độ dài k(k ≥ 1) các phần tử của tập A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần

và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập

k của n phần tử thuộc tập A

Định lý 1.12 Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập hợp A, được

kí hiệu là A k

n và được tính bởi công thức

A k

n = nk.

Chứng minh ChoA = {x1, x2, , xn} gồmn phần tử phân biệt Dãy số có độ dài

k là a1a2 ak Ta thấy a1 có n cách chọn từ n phần tử của tập A, a2 cũng có n

cách chọn vì có thể giống a1, , ak cũng có n cách chọn Vậy dãy có độ dàik có

nk cách chọn, hay A k

n = nk.

1.2.3 Tổ hợp

Định nghĩa 1.13 Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương k với

1 ≤ k ≤ n Mỗi tập con có k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của

n phần tử của tập A (gọi tắt là tổ hợp chập k củaA) Số các tổ hợp chậpk củatập hợp n phần tử được kí hiệu là Cnk

Định lý 1.14 Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được tính bởicông thức

Cnk = A

k n k! =

n(n − 1) (n − k + 1)

n!

k!(n − k)!

Chứng minh Từ định nghĩa, ta có mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A

cho ta một chỉnh hợp chập k của A Do đó, từ một tổ hợp chập k của A, ta lậpđược k! chỉnh hợp chập k của A Vậy Akn = k!Cnk = A

k n k!

Ta quy ước 0! = 1 và Cn0= A0n = 1

Định lý 1.15 (Hai tính chất cơ bản của số Cnk)

ˆ Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 ≤ k ≤ n Khi đó

Cnk = Cnn−k.

ˆ (Hằng đẳng thức Pascal) Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 1 ≤

k ≤ n Khi đó

Cn+1k = Cnk+ Cnk−1

Định nghĩa 1.16 Cho tập hợp A = {a1, a2, , an} Một tổ hợp lặp chập m (m

không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộcA là bộ gồm m phần tử,

mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A Kí hiệu số tổ hợp lặpchập m của n phần tử là C m

Chứng minh Xét một tổ hợp có lặp chậpm của n phần tử, trong đó cók1 phần

tử a1, k2 phần tử a2, , kn phần tử an, với k1 + k2 + + kn = m Với mỗi bộ

(k1, k2, , kn) như vậy, ta đặt tương ứng với một dãy nhị phân theo quy tắc sau:Viết liên tiếp từ trái sang phải k1 số 1 liên tiếp, số 0, k2 số 1 liên tiếp, số 0, k3

số 1 liên tiếp, số 0, ,số 0, kn số 1 liên tiếp

n − 1 chữ số 0 Rõ ràng phép tương ứng đó là một đơn ánh

Ngược lại, với mỗi dãy m + n − 1 kí tự với m kí tự 1 và n − 1 kí tự 0, khi tađếm từ trái sang phải mà có: k1 số1, số 0,k2 số 1, số 0, , số 0và kn số 1thì dãy

đó sẽ tương ứng với bộ (k1, k2, , kn) thỏa mãn k1+ k2+ + kn = m

Như vậy ta đã thiết lập được một song ánh giữa các tổ hợp có lặp chập m

của n phần tử với các dãy nhị phân có độ dài là m + n − 1 trong đó có m kí tự

1 và n − 1 kí tự 0 Do đó, số các tổ hợp lặp chập m của n phần tử bằng số cácdãy nhị phân có độ dài bằng m + n − 1 trong đó có m kí tự 1 và n − 1 kí tự 0.Mặt khác, một dãy nhị phân có độ dài bằng m + n − 1 trong đó có m kí tự

1 và n − 1 kí tự 0 tương ứng với cách chọn n − 1 vị trí trong m + n − 1 vị trí đểghi số 0 (m vị trí còn lại để ghi số 1) nên ta có Cm+n−1n−1 dãy nhị phân có độ dàibằng m + n − 1 trong đó có m kí tự 1 và n − 1 kí tự 0

Công thức (1.1) được gọi là công thức nhị thức Newton

Chứng minh Trước hết ta chứng minh khẳng định P (n) sau:

Với mỗi số thực x và một số nguyên dương n, ta có

Vậy P (n + 1) đúng Theo nguyên lý quy nạp ta có P (n) đúng với mọi n.

Trở lại định lý trên, nếu a = 0 thì công thức hiển nhiên đúng Giả sử a 6= 0.Đặt x = b

1.4.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Định nghĩa 1.20 Xét phép thử T với không gian mẫu Ω là hữu hạn Biến cố

A ⊂ Ω, khi đó tỉ số

P (A) = |A|

|Ω|

được gọi là xác suất của biến cố A

Nói một cách khác P là một hàm số xác định trên tập tất cả các tập con của

Ω, mà tập giá trị của P là [0, 1] vì |A| ≤ |Ω| với mọi A ⊂ Ω Ta có một số tínhchất của xác suất như sau

ˆ 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀A ⊂ Ω

ˆ P (Ω) = 1

ˆ P (∅) = 0

1.4.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa 1.21 Tần suất xuất hiện biến cố trongn phép thử là tỉ số giữa sốphép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Ta kí hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k Tần suất xuấthiện biến cố A là f (A) thì

f (A) = k

n

Định nghĩa 1.22 Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số

p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ giao độngxung quanh p, khi số phép thử của n tăng lên vô hạn thì P (A) ≈ f (A)

Ví dụ 1.23 Để dự đoán xác suất khi gieo một đồng tiền cân đối đồng chất cóxác suất xuất hiện mặt sấp là 0, 5 Các nhà toán học Buffon và Pearson đã thựchiện thí nghiệm sau:

Người gieo Số lần gieo (n) Số lần xuất hiện mặt sấp (k) Tần suất (kn)

Chương 2

Một số bài toán về tổ hợp

Trong chương này, chúng ta sẽ tiếp cận tới bài toán tổ hợp bằng cách sử dụngmột số phương pháp tương đối hiệu quả là nền tảng cho nhiều kỹ năng nângcao khác

2.1 Một số phương pháp giải bài toán tổ hợp thường

Bước2: Dùng các công thức tínhAkn, Cnk, Pnvà các phép tính toán, đưa phương

trình đã cho về các phương trình đại số.

Nghiệm của phương trình tìm được trong bước hai phải đối chiếu với cácđiều kiện đặt ra ở bước thứ nhất để loại bỏ đi các nghiệm không thích hợp

Ví dụ 2.1 Tính giá trị biểu thức

M = A

4 n+1 + 3A3n(n + 1)! ,

nếu Cn+12 + 2Cn+22 + Cn+32 + Cn+42 = 149

Lời giảiXét phương trình

Cn+12 + 2Cn+22 + Cn+32 + Cn+42 = 149 (1)

Chú ý: Khi n + 1 ≥ 2 ( thì rõ ràng n + 2 > 2, n + 3 > 2, n + 4 > 2) Vì thế điềukiện để (1) có nghĩa là n ≥ 1

Ví dụ 2.2 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối B - 2002) Cho đa giác đều

A1A2 A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết rằng số tam giác có

3 đỉnh trong 2n điểm A1, A2, , A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong

2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n?

Lời giải

Số tam giác là C2n3 Một đa giác đều 2nđỉnh thì có n đường chéo xuyên tâm Cứhai đường chéo xuyên tâm có một hình chữ nhật theo yêu cầu Vậy số hình chữnhật là Cn2

Theo bài ra ta có phương trình

Vậy đa giác đều có 16cạnh (thập lục giác đều)

Nhóm bài tập thứ hai chúng ta hay gặp trong các bài thi Đại học, cao đẳngtrước đây hay trong các bài thi THPT Quốc gia chính là các bài toán đếm, đểgiải quyết nhóm bài này chúng ta cần sử dụng thành thạo hai quy tắc cộng vànhân Trong một bài toán đếm nói chung người ta thường kết hợp sử dụng cảquy tắc cộng và quy tắc nhân

Khi giải bài toán về phép đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sauđây

Phương pháp trực tiếp: là phương pháp giải thẳng vào các yêu cầu của bàitoán đặt ra, nói một cách nôm na là "hỏi gì, đếm nấy" là nội dung của phươngpháp này

Phương pháp gián tiếp, phương pháp này dựa trên nguyên lý " Đếm nhữngcái không cần đếm, để biết những cái cần đếm" Nói theo ngôn ngữ của lý thuyếttập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất là "phép lấy phần bù"

Chú ý số phần tử của tập hợp A được kí hiệu là |A|

Ví dụ 2.3 (Đề thi tuyển sinh ĐHSP Hà Nội - 2000) Có thể lập được baonhiêu số có tám chữ số, trong đó có các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6 thỏa mãn chữ số 1và

6 có mặt đúng hai lần, còn các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần?

Lời giảiGọi số cần lập có dạng n = a1a2a3a4a5a6a7a8, trong đó chữ số 1 và 6 có mặtđúng hai lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần

Với tám vị trí, ta có C82 cách chọn hai vị trí và xếp hai chữ số 1, có C62 cáchchọn hai vị trí trong 6vị trí còn lại xếp hai chữ số 6 Sau cùng ta có P4 = 4!cáchxếp bốn chữ số 2; 3; 4; 5 vào bốn vị trí còn lại

Vậy có tất cả C82C62P4= 4! = 10080 số thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ 2.4 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối B năm 2005) Một đội thanhniên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phâncông đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi, sao cho mỗitỉnh có 4 nam và 1 nữ

Lời giảiĐầu tiên ta chọn ra 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhất Theo quy tắc nhân sốcách chọn là

n1 = C124 .C31= 1485.

Sau đó chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ hai, 4 nam này sẽ được chọn trong 8

nam còn lại và 1 nữ sẽ được chọn trong 2 nữ còn lại Vậy theo quy tắc nhân sốcách chọn là

n2= C84.C21 = 140.

(Dĩ nhiên còn lại ta đã chọn xong cho tỉnh thứ ba)

Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cách phân công là

n = n 1 n 2 = 1485.140 = 207900.

Trong ví dụ trên, ta thuần túy sử dụng quy tắc nhân để giải và sử dụngphương pháp trực tiếp để giải Tiếp theo, ta xét một ví dụ sử dụng phươngpháp gián tiếp.

Ví dụ 2.5 Một hộp đựng 4viên bi đỏ, 5viên bi trắng, 6viên bi vàng Người tachọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không

đủ cả 3 màu

Lời giảiGọi A là tập hợp cách chọn 4 viên bi trong số 15 viên bi đã cho

Gọi B là tập hợp cách chọn 4 viên bi đủ cả 3 màu trong số 15 viên bi

Gọi C là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Gọi B2 là cách chọn 4 viên bi trong đó có 1 bi đỏ,2 trắng, 1 xanh

Gọi B3 là cách chọn 4 viên bi trong đó có 1 bi đỏ,1 trắng, 2 xanh

Rõ ràng, trong bài toán này sử dụng phương pháp gián tiếp sẽ gọn gàng và

dễ hiểu hơn phương pháp trực tiếp

Bên cạch đó ta không thể nào bỏ quên được các bài toán áp dụng nguyên lý

bù trừ, một nguyên lý rất hay được sử dụng trong chương trình phổ thông

Ví dụ 2.6 Bốn cầu thủ được đánh số trên áo từ 1 đến 4 xếp thành một hàngdọc Tính số cách xếp để ít nhất một cầu thủ có số áo trùng với số thứ tự củacầu thủ đó trong hàng

Lời giải

Kí hiệu Ak là tập hợp các cách xếp hàng mà cầu thủ mang áo số k đứng ở hàngthứ k (k = 1, 2, 3, 4) Tập hợp các cách xếp hàng mà có ít nhất một cầu thủmang số áo trùng với số thứ tự trong hàng là:

|A1∩ A2| = 2!

Tương tự

|A 1 ∩ A 3 | = 2!, |A 1 ∩ A 4 | = 2!, |A 2 ∩ A 3 | = 2!, |A 2 ∩ A 4 | = 2!, |A 3 ∩ A 4 | = 2!

Xét tập A1∩ A2∩ A3 là tập hợp các cách xếp hàng mà cầu thủ mang áo số 1

đứng ở vị trí số 1,cầu thủ mang áo số 2 đứng ở vị trí số 2, cầu thủ mang áo số

3 đứng ở vị trí số 3 Khi đó có 1! cách xếp cầu thủ còn lại Suy ra

số đã chọn

Với phép lấy đạo hàm ta chọn một giá trị x phù hợp thay vào hai biểu thứcrồi tính đạo hàm của hàm số tại giá trị đó Với phép lấy tích phân thì ta chọncận tích phân thích hợp rồi tính kết quả theo hai cách trên

Đồng nhất hai kết quả ta sẽ giải được bài toán ban đầu.

Sử dụng đạo hàm, mỗi cấp đạo hàm hai vế và chọn giá trị x phù hợp cho tamột hệ thức tổ hợp Ta có

Số các số hạng giảm dần sau mỗi lần đạo hàm, đạo hàm cấp k còn n + 1 − k

số hạng Nếu thấy hệ số có dạng k.Cnk thì bài toán liên quan đến đạo hàm của

(1 + x)n

Ví dụ 2.7 (Đề tuyển sinh khối A năm 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:

C2n+11 − 2.2C2n+12 + 3.22C2n+13 − 4.23C2n+14 + + (2n + 1).22nC2n+12n+1= 2005.

Lời giảiChọn hàm số f (x) = (1 + x)2n+1 = C2n+10 + C2n+11 x + C2n+12 x2+ + C2n+12n+1x2n+1

Sử dụng phép toán đạo hàm của hai vế của hàm số ta được:

Vậy ta thu được đẳng thức cần chứng minh.

Khi sử dụng tích phân, ta lấy

Z b

a

(1 + x)ndx =

Z b a

n thì bài toán liên quan đến tích phân của

(1 + x)n Nhiều khi ta còn phải nhân cả hai vế với x, x2, rồi mới lấy đạo hàmhoặc tích phân hai vế

Ví dụ 2.9 Cho n là số nguyên dương Tính tổng

Lấy tích phân hai vế với cận a < b ta được:

Ta thấy số hạng trong tổng của ví dụ trên có dạng 1

4C

3 2n +1

6C

5 2n + + 1

2nC

2n−1 2n = 2

2n − 1 2n + 1.

1

0

= 2

2n − 1 2n + 1. (1)

x4

4 + C

5 2n

x6

6 + + C

2n−1 2n

x2n2n



6C

5 2n + + 1

2nC

2n−1 2n (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

2.1.3 Sử dụng công thức truy hồi

Trong nhiều bài toán, ta rất khó định nghĩa một đối tượng một cách tườngminh Nhưng ta có thể định nghĩa đối tượng này qua chính nó Kỹ thuật nàyđược gọi là đệ quy Định nghĩa đệ quy của một dãy số định rõ giá trị của mộthay nhiều hơn các số hạng đầu tiên và quy tắc xác định các số hạng tiếp theo từ

các số hạng đi trước Định nghĩa đệ quy có thể dùng để giải các bài toán đếm.Khi đó quy tắc dùng để tìm các số hạng từ các số hạng đi trước được gọi là các

hệ thức truy hồi

Định nghĩa 2.11 Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) đối với dãy số

{an} là công thức biểu diễn {an} qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy.Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của

nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này

Ví dụ 2.12 Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhịphân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp Có bao nhiêu xâu nhị phân nhưthế có độ dài bằng 5?

Lời giảiGọi an là số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp Để nhậnđược hệ thức truy hồi cho {an} , ta thấy rằng theo quy tắc cộng, số các xâu nhịphân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp bằng số các xâu nhị phân như thếkết thúc bằng số 1cộng với số các xâu như thế kết thúc bằng số 0 Giả sử n ≥ 3.Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bằng số 1

chính là xâu nhị phân như thế, độ dài n − 1 và thêm số 1 vào cuối của chúng.Vậy chúng có tất cả là an−1 Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liêntiếp và kết thúc bằng số 0, cần phải có bit thứ n − 1bằng1, nếu không thì chúng

có hai số 0 ở hai bit cuối cùng Trong trường hợp này chúng có tất cả là an−2.Cuối cùng ta có được:

Lời giảiBài toán tương đương với bài toán sau: Tìm số nghiệm nguyên không âm củaphương trình

m = x1+ x2+ + xn (1)

Tương đương với phương trình

m − x 1 = x 2 + + x n (2)

Gọi S(m, n) là số nghiệm của phương trình (1) Khi đó, với mỗi giá trị của

x1(0 ≤ x1 ≤ m) ta có số nghiệm của phương trình (2) là S(m − x1, n − 1)

Chú ý rằng: S(m, 1) = 1, S(m, 2) = m + 1, S(m, 3) = (m+2)(m+1)2

Như vậy bằng quy nạp ta có: S(m, n) = Cm+n−1n−1

Thật vậy, giả sử mệnh đề đúng với n, ta chứng minh mệnh đề đúng với n + 1

S(m, n + 1) =

m

X

x=0 S(m − x, n) =

Bên cạch đó, ta còn có thể sử dụng phương pháp truy hồi để đếm số phần

tử của một tập hữu hạn X, ta phân hoạch X thành các tập con rời nhau

Gọi Mn là tập các số tự nhiên có n chữ số được lập từ các chữ số 3, 4, 5, 6 và

A n , B n , C n lần lượt là các tập con của M n mà chia cho 3 có số dư là 0, 1, 2

Ví dụ 2.15 Cho n là số nguyên dương Có bao nhiêu xâu kí tự độ dài n:

a1a2 an với kí tự ai lấy trong các số {0, 1, 2, , 9} mà số lần xuất hiện của các

số 0 trong xâu kí tự là số chẵn ?

Lời giải

Đặt An là số xâu kí tự có độ dài n mà số lần xuất hiện của số 0 là số chẵn và

Với x = a1a2a3 an ∈ Y thì xâua2a3 an có độ dài n−1và số lần xuất hiện của

số0là số chẵn Do đó, cóan−1xâua2a3 an như vậy Với mỗi xâua2a3 an ∈ An−1

Nguyên lý : (Nguyên lý đếm bằng hai cách) Một đối tượng Akhi được đếmtheo nhiều cách khác nhau thì đều mang lại cùng một kết quả

Khi áp dụng phương pháp đếm bằng hai cách, ta cần chú ý đến các biểu thức

có ý nghĩa trong tổ hợp như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, tổ hợp lặp Nắm vữngđược bản chất của các biểu thức trên ta có thể chứng minh một số đẳng thức

và bất đẳng thức tổ hợp bằng phương pháp đếm bằng hai cách Trên cơ sở các

quan sát trên, ta đề ra một bài toán thực tế và giải bài toán thực tế đấy bằnghai cách Điều đó được minh họa bởi các ví dụ sau.

Ví dụ 2.16 Chứng minh đẳng thức sau

Cn0Cmk + Cn1Cmk−1+ + CnkCm0 = Cm+nk ; k ≤ n ≤ m.

Lời giải

Để chứng minh bài toán này ta sẽ dùng phương pháp đếm bằng hai cách, cụ thể

là ta xét bài toán sau:

Bài toán: Lớp 12A gồm n bạn nam và m bạn nữ cần chọn ra k bạn để lập độivăn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách để thành lập đội ?

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.17 Chứng minh đẳng thức sau với n ≥ 1 là số tự nhiên

Cn1+ 2Cn2+ 3Cn3+ + nCnn = n2n−1.

Lời giải

Ta thấy n chính là số cách lấy một phần tử từ một tập gồm n phần tử, còn 2n−1

chính là số tập con của tập gồm n − 1 phần tử Do đó ta đưa bài toán ban đầu

về bài toán sau:

Bài toán: Cho tập X = {x 1 , x 2 , , x n } Hãy đếm số cặp (a, A) trong đó a ∈ X

và A là tập con của tập X = X\ {a}.

Cách 1

Ta có n cách chọn a, với mỗi cách chọn a ta có 2n−1 cách chọn A Theo quytắc nhân ta có n2n−1 cặp (a, A)

Cách 2 Ta chọnA là một tập con có k phần tử tậpX với k = 0, n − 1, nên ta có

Cnk = Cnn−k cách chọn A Mỗi cách chọn tập A ta sẽ chọn a ∈ X\A nên có n − k

cách chọn a Khi cho k chạy từ 0 đến n − 1 và lấy tổng thì ta có được số cặp

A gồm n − 1 phần tử của X Nên mỗi trường hợp này ta có kCnkCnn−k = k(Cnk)2

Định nghĩa 2.19 Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tươngứng mỗi phần tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y Phần tử nàyđược gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x)

i Tập X được gọi là tập xác định của f Tập Y được gọi là tập giá trị của f

ii Ánh xạ f từ X tới Y được kí hiệu là

f :X → Y

x 7→ y = f (x)

iii Khi X và Y là các tập số thực, ánh xạ f được gọi là một hàm số xác địnhtrên X

iv Cho a ∈ X, y ∈ Y Nếu f (a) = y thì ta nóiy là ảnh của a và a là nghịch ảnhcủa y qua ánh xạ f.

v Tập hợp Y = {y = Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là tập ảnh của f

Định nghĩa 2.20 Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu với a ∈ X, b ∈ X

mà a 6= b thì f (a) 6= f (b) tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với a ∈ X, b ∈ X mà

f (a) = f (b),ta phải có a = b

Định nghĩa 2.21 Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần

tử y ∈ Y đều tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x)

Như vậy f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Y = f (X)

Định nghĩa 2.22 Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơnánh vừa là toàn ánh

Như vậy ánh xạ f : X → Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Y, tồn tạiduy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x)

Định nghĩa 2.23 Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu là f−1, là ánh xạ từ Y

đến X gán cho mỗi phần tử y ∈ Y, phần tử duy nhất x ∈ X sao cho y = f (x).Như vậy f−1(x) = y ⇔ f (x) = y

Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh xạ ngượccủa f Do đó chỉ có thể nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh

Định nghĩa 2.24 Nếu g : A → B và f : B → C và g(A) ⊂ B thì ánh xạ hợp

f.g : A → C được xác đinh bởi (f.g)(a) = f (g(a)) Kí hiệu pn = p.p.p p

| {z }

n

Định lý 2.25 Cho A và B là các tập hữu hạn khác rỗng và f : A → B là mộtánh xạ Khi đó

a Nếu f là đơn ánh thì |A| ≤ |B|

Một số toán tổ hợp< /h2>

Trong chương này, tiếp cận tới toán tổ hợp cách sử dụngmột số phương pháp tương đối hiệu tảng cho nhiều kỹ nângcao khác

2.1 Một số phương pháp... A gọi tổ hợp chập k

n phần tử tập A (gọi tắt tổ hợp chập k củaA) Số tổ hợp chậpk củatập hợp n... A3 tập hợp cách xếp hàng mà cầu thủ mang áo số 1

? ?ứng vị trí số 1,cầu thủ mang áo số 2 ? ?ứng vị trí số 2, cầu thủ mang áo số

3