CHINH PHỤC ĐỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRƯỜNG ĐHBK ĐÀ NẴNG NĂM 2018

SÁCH NÀY LUÔN BÁM SÁT DẠNG ĐỀ THI ĐẠI SỐ TRƯỜNG ĐHBK ĐÀ NẴNG.VỚI NHỮNG DẠNG BÀI ĐẦY ĐỦ VA THỦ THUẬT GIẢI NÓ LÀ ĐIỀU MÀ MỖI SINH VIÊN CẦN CHÚ Ý.ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CỦA TRƯỜNG BÁCH KHOA SẼ LUÔN LẶP DẠNG TRONG NHỮNG NĂM LẠI ĐÂY CHÍNH VÌ VẬY CHINH PHỤC ĐIỂM ĐẠI SỐ LÀ VẤN ĐỀ KHÔNG KHÓ.CỐ LÊN CÁC BẠN NHÉ.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÃ NẴNG

MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

- TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI TRƯỜNG ĐHBK

ĐÀ NẴNG TỪ NĂM 2010-2017

-CÁC ĐỀ THI NĂM 2018 CỦA CÁC TRƯỜNG THÀNH VIÊN

-THAM KHẢO CẤU TRÚC RA ĐỀ NĂM 2018

-CÁC DẠNG CHẮC CHẮN SẼ RA TRONG NĂM NAY -TRÊN 7 ĐIỂM LÀ MỤC TIÊU TỐI THIỂU MÀ CUỐN SÁCH

SẼ MANG LẠI CHO BẠN

-CÁC PHƯƠNG PHÁP LẠ ĐỂ CHINH PHỤC 10Đ

NGƯỜI VIẾT:TRẦN QUỐC ĐẠT

ĐÀ NẴNG,THÁNG 5/2018

Bài tập

1 Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của hay không ?

a) W1 ={ (a,0,0 a) ∈ }

b) W2 ={ (a,1,1 a) ∈ }

ĐS: a) W1 là một không gian con của 3 vì với u =(a,0,0 , v) = (b,0,0)∈W1

(a, b ∈ ) và với k ∈ bất kỳ, ta có u v+ = (a b,0,0 , ku+ ) =(ka,0,0)∈W1

b) W2 không là một không gian con của 3 vì với u =(a,1,1 , v) = (b,1,1)∈W2

(a, b ∈ ) và với k ∈ , k 1≠ , bất kỳ, ta có u v+ =(a b,2,2 , ku+ ) =(ka, k, k)∉W2

2 Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố định thuộc V Chứng minh rằng tập hợp W ={ka k∈ } là một không gian vectơ con của V

ĐS: Với u ha, v ka W= = ∈ ( h, k ∈ ) và α ∈ bất kỳ, ta có

u v+ = h k a, u+ α = αh a W∈

3 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3− ), u2 = (0,1, 3− ) Xét xem vectơ u =(2, 3,3− )

có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2 hay không ?

Hệ vô nghiệm : u không là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2

4 Trong 3, xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u ,u1 2 3 không a) u1 =(1,0,1 ,u) 2 =(1,1,0 ,u) 3 =(0,1,1 ,u) =(1,2,1)

Hệ có nghiệm (0,0,0 : u là một tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +0u2 +0u3)

5 Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho bốn vectơ

Hệ có nghiệm (0,1,2 : u là tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +u2 +2u3)

6 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3 ,u− ) 2 =(0,1, 3− ) Tìm m để vectơ u =(1, m, 3− )

là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2

Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính

10 Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không ?

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )2 3

Hệ phương trình không luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh ra 3

11 Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của 3

= = B3 không là một cơ sở của 3

d) B4 không là một cơ sở của 3 (B4 không độc lập tuyến tính)

12 Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ 4)

b) Biến đổi

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dim 3= và một cơ sở là {e1 =(1,2,0, 1 ,e− ) 2 =(0,1,3, 2 ,e− ) 3 = (0,0, 4,7− ) }

14 Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )1 4

dim 2= và một cơ sở là {e1 = −( 2,3,0,0,0 ,e) 2 =(4,0,0, 9,3− ) }

15 Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B′ ={f , f , f1 2 3}

b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W

1

v = 1,0,0, 1− , v2 =(0,1,0, 1− ), v3 = (0,0,1, 1− ),v4 =(1,1, 1, 1− − )

c) Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho W

ĐS: W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất

là một cơ sở cho W

17 Trong 3, cho cơ sở chính tắc

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B

ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có

Suy ra

1 1 1 2 1 1 1 1 01

a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở ′ B

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B

a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của 3

b) Tìm tọa độ của vectơ u =(a, b,c) trong cơ sở B1

c) Tìm m để B2 là một cơ sở của 3

′

B b1 = (1,0,2, 1− ), b2 =(0,3,0,2), b3 =(0,1,3,1), b4 =(0, 1,0,1− )

a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của 4

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B

c) Tìm tọa độ của v= (2,0,4,0) đối với cơ sở ′B

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ĐS: Với k , k , , k ∈1 2 r sao cho k u1 1 +k u2 2 + k u+ r r =0, ta có

Vậy S độc lập tuyến tính

3 Cho ánh xạ f : 2 → 2 xác định bởi

f x, y = x 2y,2x y+ +a) Chứng minh rằng f là một toán tử tuyến tính trên 2

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B ={u1 = ( )2,1 ,u2 =( )3,2}

3 và cơ sở C ={f1 =( )1,0 , f2 =( )0,1} trong 2

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B trong 3 và cơ sở C′ ={f1′ =( )1,2 , f2′ = ( )1,1}

trong 2

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B′ ={e1′ =(1,1,1 ,e) 2′ =(0,1,2 ,e) 3′ =(0,0,1) } trong

3 và cơ sở ′C trong 2

a) Chứng minh rằng ϕ là một ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của ϕ trong cặp cơ sở (B C , với , )

Với u =(3, 2,0− ), tìm tọa độ của f u( ) đối với cơ sở B

ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có

x x

5x 6x 5x 3

Do đó ( ) ( ) (x 2x 3x 1 2 3 x x 1 3 5x 6x 5x 1 2 3)

f x , x , x = f u = − − , − , + +

Với u =(3, 2,0− ), ta có

1 2 5 2 5 2

5 2

= − ≠ nên hệ phương trình thuần nhất nhận được là hệ Cramer

Suy ra Kerf ={ }0 và không có cơ sở

9 Cho ánh xạ tuyến tính f : 4 → 3 xác định bởi

f x , x , x , x = 2x +3x +5x +6x ,3x +4x +6x +7x ,3x +x + x +4x

Tìm một cơ sở của Ker f và một cơ sở của Im f

ĐS: Ta có Kerf ={ (x , x , x , x f x , x , x , x1 2 3 4) ( 1 2 3 4)= 0}, với

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 5 2

10 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 → 3 xác định bởi

f x , x , x = x −2x +x , x +x , x +x −2x

Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho Ker f, Im f

ĐS: Ta có Kerf ={ (x , x , x f x , x , x1 2 3) ( 1 2 3) =0}, với

ta suy ra Im f = (1,0,1 , 0,1,3 , 0,0, 6) ( ) ( − ) = (1,0,1 , 0,1,3 , 0,0,1) ( ) ( ) và dim Im f =3

ta nhận được một cơ sở cho Im f là { (1,0,1 , 0,1,3 , 0,0,1 ) ( ) ( ) }

11 Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được ? Nếu chéo hóa được, xác định ma trận chéo hóa nó cũng như ma trận chéo nhận được

Ta được một trị riêng λ = 2 Lúc đó không gian riêng V2 tương ứng là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ số

dim V = < =1 2 dim , ta suy ra

ma trận này không chéo hóa được

dim V +dim V = =2 dim nên ma trận này chéo hóa được Với cơ sở của 2

gồm các vectơ riêng C = −{ ( 1,1 , 1,2) ( ) } và với ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của 2 sang cơ sở C , P 1 1

( ) ( ) ( )

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11

( ) ( ) ( )

4 6

dim V +dim V = =3 dim nên ma trận này chéo hóa được Với cơ sở của 3

gồm các vectơ riêng C = −{ ( 1,1,0 , 3,0,2 , 1, 1,1) (− ) (− − ) } và với ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của 2 sang cơ sở C ,

, ta có P là ma trận chéo hóa A

và ma trận chéo nhận được là 1

dim V +dim V = =3 dim nên ma trận này chéo hóa được Với cơ sở của 3

gồm các vectơ riêng C ={ (1, 2,0 , 0, 2,1 , 2,1,2− ) ( − ) ( ) } và với ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của 3 sang cơ sở C ,

, ta có P là ma trận chéo hóa A

và ma trận chéo nhận được là 1

, ta có P là ma trận chéo

hóa A, và ma trận chéo nhận được là 1

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

, ta có P là ma trận chéo hóa A và

ma trận chéo nhận được là 1

Bài tập

1 Trong không gian 3 cho cơ sở e1 =(1,2,3 ,e) 2 =(0,2,0 ,e) 3 = (0,0,3) Hãy trực chuẩn hóa cơ sở này

ĐS: Dùng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt, ta xây dựng cơ sở trực giao

( )v xác định bởi k v1 = e1 và k k k 1 k i i

6 5 1 5

Với cơ sở {u1 =(3,2,1 ,u) 2 =(0,1, 2 ,u− ) 3 = −( 5,6,3) } Chéo hóa cơ sở này, ta nhận được cơ sở trực chuẩn các vectơ riêng và suy ra ma trận trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc